流动沸腾汽泡脱离直径尺寸分布研究

何 雯，赵陈儒，薄涵亮，赵崇岩

(清华大学 核能与新能源技术研究院，北京 100084)

由于换热效率较高，沸腾现象在核反应堆中得到了广泛应用，沸腾换热量的计算也一直是研究的热点[1]。在换热计算中，广泛采用RPI模型，该模型将换热分为蒸发换热、瞬态导热和对流换热3部分。蒸发换热是指汽泡从生长到脱离带走的热量，瞬态导热是指汽泡脱离壁面后较冷的液体填充汽泡原来的位置重新形成过热液层带走的热量，而对流换热则是指由于液体流动所造成的换热[2]。可见，沸腾换热与汽泡行为息息相关，研究汽泡动力学参数对计算换热具有重要的意义。

脱离表示汽泡在核化点生长到一定大小离开核化点的行为，汽泡脱离直径即指汽泡离开壁面核化点时的直径，该值的大小将直接影响汽泡蒸发带走的热量[3]。目前，研究汽泡脱离直径的方法主要有3种，即力平衡法、能量平衡法和经验关系式法，但由于前两种方法通常较复杂，且需要的参数较多，如汽泡周围速度梯度、汽泡生长倾斜角，因此通过考虑影响脱离直径的因素，进而通过实验数据拟合经验关系式的方法被广泛采纳。Basu等[4]和Brooks等[5]通过实验研究，分析了壁面热流密度、液体过冷度、质量流量和系统压力对脱离直径的影响，最后得到一套综合考虑这些因素的经验关系式。Du等[6]对汽泡进行受力分析，通过大量的实验数据，发现这些力的影响可通过普朗克数(Pr)、雅克比数(Jaw)、汽液密度比(ρ*)和汽泡雷诺数(Reb)反映，因此分别提出了一套适用于水平和竖直管道下的脱离直径关系式。Ren等[7]对窄矩形通道内的汽泡脱离直径进行了研究，发现与壁面过热度、液体过冷度、质量流量相比，压力对脱离直径的影响可忽略不计，因此得到的经验关系式仅是雅克比数和雷诺数的函数。可见，目前已有较多的经验关系式用于预测流动沸腾下汽泡脱离直径的平均值。

然而，沸腾是一非常复杂的换热过程，大量实验表明，在相同工况下，不同核化点的脱离直径存在区别，即使同一核化点产生的脱离直径也会大小不一，一些大气泡虽占比较少，但对于换热的贡献不可忽略，因此，仅采用一个平均值来反映脱离直径会对换热计算造成较大的误差[8-9]。Abdelmessih等[8]研究了液体流速对汽泡生长和破灭的影响，然后将同一核化点汽泡尺寸大小不一的原因归因于液体中的涡流。Klausner等[10]观察到汽泡脱离直径呈正态分布，并认为壁面过热度和汽泡质心处液体速度的正态分布是汽泡直径呈正态分布的主要原因。Kaiho等[9]通过实验得到22组不同工况下的流动沸腾汽泡脱离直径分布，每组分布基于200个以上的汽泡，实验发现这些分布的标准差均值是脱离直径均值的0.51倍，因此认为脱离直径的分布不可忽略，并发现伽马分布用于该分布的拟合准确度更高。Yoo等[11]研究了不同轴向位置的脱离直径尺寸分布，并分析了壁面过热度、热通量、过冷度和质量流量对尺寸分布的影响，实验发现正态分布的拟合准确度更高。张旺[12]和杜静宇[13]同样采用正态分布，其中杜静宇通过对大量数据的分析，认为脱离直径分布的标准差为0.131这一定值，并对其进行了验证，但实际上这种方法忽略了质量流速、过热度等一系列因素的影响，不具有广泛的适用性。

综上，流动沸腾下的汽泡脱离行为是一个复杂的过程，呈现某种概率分布，如果仅采用一个均值来描述脱离直径，不仅忽略了壁面过热度、液体流速的随机性对脱离直径的影响，还会对换热计算造成较大的误差。因此，有必要对流动沸腾下脱离直径的尺寸分布做进一步研究，进而充分认识汽泡脱离行为，提高后续换热计算的准确性。

1 汽泡分布描述

汽泡脱离直径(Dd)的概率密度函数(PDF)是指不同直径范围内的汽泡数占总汽泡数的比例呈现的函数分布，如正态分布、伽马分布，而累计分布函数(CDF)则是指概率密度函数的积分。对于概率函数的选择，Kaiho等[9]对22组实验数据进行分析，发现伽马函数(Gamma)的误差为6.98%，而正态分布函数(Gaussian)的误差为14.8%，因此认为伽马函数准确度更高，但杜静宇[13]则认为当数据足够多时，正态分布函数能更准确地描述脱离直径的分布，Yoo等[11]、张旺[12]同样发现正态分布函数准确度更高，而Ooi等[14]则认为函数的选择和压力有关，低压下对数正态分布或伽马分布准确度更高，高压下正态分布更高，但该结论仅适用于水。可见，概率密度函数的选择尚无确定的结论，当工质不仅为水时，函数的选择还需进一步确定。

因此，本文选择60组不同工况下的汽泡尺寸分布实验数据，每组实验得到的分布均是基于大量的重复实验，具体工况列于表1[9,11,15-17]，其中μ和σ分别为这组分布的均值和标准差。由前文可知，在尺寸分布的描述中采用较频繁的两种概率密度函数分别为伽马函数和正态分布函数，表1列出了部分工况的具体实验条件以及两种概率密度函数的拟合误差，图1则对两种函数应用到其中两组工况(工况3、14)的准确性进行了详细比较。可发现，伽马函数和正态分布函数均能较准确地描述脱离直径尺寸分布，但两者的相对准确性还有待进一步确定。

图1 伽马函数和正态分布函数误差对比

为比较两种函数应用于流动沸腾汽泡脱离直径尺寸分布的准确性，本文采用累计分布函数计算误差，具体定义[9]如下：

(1)

其中：ER为平均绝对误差；nb为数据点数；CDFfit,j为第j个数据点的拟合值；CDFexp,j为第j个数据点的实验值。

表1后两列为该工况下两个函数的误差。根据对比分析，本文得到伽马函数的平均绝对误差(ERGamma)为27.5%，正态分布函数的平均绝对误差(ERGaussian)为23.7%。可发现，在本文数据范围内，正态分布函数和伽马函数准确度差异不大，相较之下，正态分布函数准确度更高。两种函数拟合不同工况时PDF和CDF的误差示于图2，因此，本文采用正态分布函数描述汽泡尺寸分布。

表1 部分工况下的脱离直径尺寸分布

图2 概率密度函数误差对比

2 结果与讨论

2.1 概率密度函数

本文选择正态分布函数来描述流动沸腾下的汽泡脱离直径分布，函数表达式如式(2)所示。其中x为自变量，μ和σ是决定函数特征的两个重要参数。均值μ通常表示出现频率最高的值，标准差σ则表示数据与平均值的偏离程度，决定分布函数的展宽。因此，为得到脱离直径在不同工况下的分布情况，可分别对均值和标准差进行确定。

(2)

脱离直径的均值即指某一工况下脱离直径出现频率最高的值，通常也是经验关系式预测的值，常见关系式的具体形式列于表2。通常，汽泡脱离直径随壁面过热度的增大而增大，随液体流速和过冷度的增大而减小，原因在于壁面温度升高可增大汽泡生长速率，进而增大汽泡生长力，有利于汽泡附着于壁面，而液体过冷度的影响恰好和壁面温度相反。而当流体流速增大时，促进汽泡脱离的曳力增大，进而脱离直径变小。可见，大多数现有经验关系式都考虑了这几个因素的影响，因此，首先对现有关系式进行验证，对比其应用于本文数据库范围内汽泡脱离直径均值的准确度，绝对误差ER列于表3，其中由于Yoo和Thorncroft两个实验的接触角未知，因此未对Basu关系式在这两个实验下的准确度进行验证。

表2 常用汽泡脱离直径经验关系式

表3 脱离直径均值预测误差

可发现，几个关系式应用在各组实验的误差都较大，且普遍低估了实验值，其中Du关系式虽然整体误差很大，但应用于水的准确度较高，误差主要来源于HFE-301和FC-87工质。经过分析，原因在于Du认为脱离直径与普朗克数呈3次方增长关系。普朗克数表达式如下：

(3)

其中：cp为比定压热容；λ为导热系数。

但得到这一结论所基于的普朗克数范围较小(1.027～1.75)，当普朗克数进一步增大后，可发现脱离直径与普朗克数并没有呈现共同增长的趋势，如图3所示，这就导致当应用于HFE-301和FC-87时该关系式得到的值远大于实验值。因此，为对本文数据库进行较好的拟合，提高Du关系式在较大普朗克数范围下的准确度，本文对其进行一定的修正，认为普朗克数对脱离直径没有明显影响，修正后的经验关系式绝对误差为25.8%，误差对比如图4所示，其中汽泡雷诺数Reb的计算方法同Du，对于竖直管道Dd取0.162 mm，对于水平管道Dd取0.322 mm。

图3 汽泡脱离直径随普朗克数的变化

图4 修正经验关系式误差对比

(4)

对于标准差，该值决定了脱离直径分布曲线的宽度，通常情况下，当正态分布的均值增大时，曲线会变得更加“矮胖”，标准差也会随之增加。对于标准差和均值的关系，Kaiho等[9]发现标准差和均值之比与过热雅可比数Ja呈正相关，具体形式如下：

(5)

但通过验证，该关系式在本文数据库下的绝对误差为34.6%，还可进一步提高。标准差和均值之比(σ/μ)随过热雅可比数、汽泡雷诺数和普朗克数的变化示于图5。可发现，σ/μ不仅与雅可比数关系密切，与汽泡雷诺数和普朗克数的关系也不可忽略(式(6))。σ/μ随汽泡雷诺数的增大而增大，随普朗克数的增大而减小，两者分别反映质量流量和物性参数对该比值的影响。基于此，本文通过多次拟合，得到新的标准差经验关系式，经验证，新关系式的相对误差为-0.2%，绝对误差为21.5%，具有较好预测准确度，具体误差验证如图6所示。

图5 σ/μ随无量纲数的变化

图6 σ/μ误差验证

(6)

2.2 验证

由于本文选取的汽泡尺寸分布数据有限，为验证方程(2)的准确度，将该关系式应用到Basu[18]、Brooks[5]、Zhou[19]、Colgan[20]和尚靖武[21]等的实验数据中，如图7所示，具体实验工况列于表4，总的绝对误差为33.8%。因此，可认为方程(2)能较准确地预测不同工况下流动沸腾汽泡脱离直径的均值。此外，分别选择不同工况下的水、HFE-301和FC-87验证方程(2)和方程(6)同时应用于汽泡脱离直径分布的准确性，误差(图8)均在可接受范围内，FC-87误差相对较大的原因在于该实验工况下汽泡脱离直径的范围较小(0.1～0.2 mm)，可见分布函数的准确度对均值和标准差的预测值非常敏感。

图7 脱离直径均值新关系式的准确度验证

图8 新经验关系式误差验证

表4 脱离直径实验数据范围

可见，新的经验关系式能较准确地预测流动沸腾汽泡尺寸分布，关系式的适用范围列于表5，由于计算尺寸均值的方程(式(4))较计算标准差的方程(式(6))有更多的验证数据，所以两者的适用范围单独列出。

表5 新经验关系式适用范围

3 结论

伽马分布和正态分布是两个常用于描述汽泡尺寸分布的概率密度函数，将两种分布应用到多组实验数据中，得到两者的绝对误差分别为27.5%和23.7%，因此认为正态分布更适用于汽泡尺寸分布的描述。正态分布的两个重要参数分别为均值和标准差，本文首先对4个现有经验关系式用于脱离直径均值计算的准确度进行了评价，发现误差均较大，其中Du关系式用于水时准确度较高，但用于普朗特数较高的制冷剂时，准确度大幅下降。因此，本文对Du关系式进行了修正，新关系式不仅能预测本文尺寸分布数据库中的均值，应用到其他组实验数据中也具有较高的准确度。此外，分布函数的均值和标准差通常呈正相关，因此本文对标准差和均值的比值进行了拟合，得到的经验关系式是过热雅可比数和汽泡雷诺数的函数。最后，得到一套描述流动沸腾汽泡脱离直径尺寸分布的经验关系式，该关系式考虑了壁面过热度、质量流速等的影响。