基于频控阵的改进ESB波束形成算法

赵英健, 田 波, 王春阳, 宫 健, 谭 铭

(空军工程大学防空反导学院, 陕西 西安 710051)

0 引 言

为了提高信号处理性能,相控阵天线在民用和军用领域得到了广泛的应用。然而,在没有多个相控阵天线阵列或基于相控阵的多波束天线情况下,仅通过波束形成无法直接抑制距离相关干扰。在2006年的IEEE国际雷达会议中,Antonic首次提出频控阵(frequency diverce array,FDA)概念[1],FDA是在相控阵基础上通过在阵元间附加远小于载频的频偏增量,使波束方向图具有距离-角度二维依赖特性[2-3]。通过结合多输入多输出(multiple input multiple output, MIMO)技术[4-5],FDA-MIMO可以在发射和接收两个方面提供可控的自由度[6-9],获得距离-角度耦合的导向矢量,从而为抑制距离相关干扰创造了条件。

自适应波束形成技术广泛应用于雷达、声呐、医学成像、无线通信等领域,其利用不同位置处的传感器阵列进行信号采集,再调整各阵元加权系数实现对期望信号的有效接收和干扰的有效抑制[10]。利用采样协方差矩阵直接求逆获得权值的采样协方差矩阵求逆(sample matrix inversion, SMI)算法[11]是一种经典的自适应波束形成算法,但是波达方向(direction of arrival,DOA)估计等误差造成的目标导向矢量失配会严重影响该算法的性能,而实际应用中相对于无信号训练数据,采样协方差矩阵混有期望信号也必然会降低算法的收敛性,并且在小训练样本时算法性能也将严重下降[12]。

为解决上述问题,国内外学者提出了许多方法用于提高算法的稳健性。线性约束最小方差(linearly constrained minimum variance, LCMV)波束形成器[13]通过在有用信号附近进行多点约束实现主瓣展宽,对期望信号到达角估计误差有一定稳健性,但会消耗阵列的自由度并且不能克服一般类型的失配。Feldman在文献[14]中提出基于特征空间(eigenspace-based, ESB)的自适应波束形成算法,该算法在阵列数据含期望信号时,可改善低快拍或指向误差对算法性能的影响,但在低信噪比(signal to noise ratio,SNR)情况下算法性能下降严重[15-16]。对角加载(diagonal loading, DL)算法能够提高对于一般失配的稳健性,并抵制有限样本引起的采样协方差矩阵失配[17],但存在加载系数难以确定的缺陷[18]。近年来,更多的自适应波束形成算法建立在清晰的最优化理论框架上,如文献[19]和文献[20]提出最差性能最优化(worst-case performance optimization, WCPO)法,为精确的对角加载因子提供了指导,但是导向矢量误差2-范数上确界未知可能导致该算法性能过于保守。Li等人提出基于导向矢量不确定集约束的稳健Capon波束形成(robust Capon beamforming, RCB)算法[21],尽管给出准确的最优加载系数计算方法,但性能改善不是很明显。基于迭代处理的递推最小二乘(recursive least squares, RLS)算法和最小均方(least mean square, LMS)算法[22]存在运算时耗长,不利于雷达实时处理的问题。

当前对于自适应波束形成算法的研究主要基于相控阵体制进行,对于FDA-MIMO体制下的波束形成算法研究较少。文献[23]将FDA与MIMO结合,提出一种基于直接数据域的稳健波束形成方法,但该算法仅对训练数据中存在目标信号的情况具有稳健性。文献[24]和文献[25]分别分析了基于FDA不同接收处理机制下的RCB算法和RLS算法性能,并未对算法本身的缺陷进行改进。因此,本文研究了多种稳健波束形成算法在FDA-MIMO下的应用并提出一种基于FDA-MIMO处理机制的改进ESB算法。仿真结果表明:本文所提算法对目标导向矢量失配有较强的稳健性,并且克服了ESB算法在低SNR情况下性能严重下降的问题,因此有较好的应用前景。

1 FDA-MIMO信号处理模型

1.1 FDA发射信号模型

考虑由N个间距相等的阵元构成的均匀线性FDA(uniform linear array-FDA, ULA-FDA),附加频偏增量Δf线性递增,设第1个阵元为参考阵元,目标相对参考阵元位置为(θ,r0),其结构如图1所示。

图1 ULA-FDA发射阵列

在远场窄带假设下,不考虑信号包络,阵元n发射信号形式可以表示为

sn(t)=exp(j2πfnt),n=0,1,…,N-1

(1)

式中:fn=f0+nΔf(n=0,1,…,N-1)为阵元n的发射载频,f0为参考阵元载频。

从阵元n发射到达目标的信号可表示为

(2)

式中:rn=r0-ndsinθ,d为阵元间距;c为光速。

(3)

则加权后到达目标的信号为

(4)

(5)

(6)

由式(4)可得

(7)

式中:wf=πΔf;wc=πdfc/c;fc表示为

(8)

式中:exp(jΦ0)为附加固定相位,其数值为

(9)

由式(7)显然可知,FDA发射波束具有时间-距离-角度三维依赖特性。

1.2 FDA接收处理机制

阵元发射的信号到达目标后,经反射返回接收阵列,文献[26]提出3种FDA信号处理机制,其中FDA-MIMO机制被认为是最有效率的一种,本文采用该机制对信号进行处理。设有N个接收通道,每个接收通道接收的回波信号均包含所有发射通道的信号,之后通过各个通道的N个窄带滤波器hnm将接收的所有通道的发射信号进行分离,对分离后的回波数据按接收通道进行重排,数据重排后大小为N×N,对重排后的数据进行普通波束扫描,即

(10)

此时对接收数据加载的权矢量wr可以表示为

(11)

式中:

(12)

(13)

经过加权处理后的接收信号输出为

(14)

化简式(14),得到加权后接收信号输出的结果为

(15)

式中:Φ1为固定相位偏移,其数值为

(16)

对式(15)求模值,则有

(17)

在对FDA-MIMO接收的回波信号进行处理提取信息时,文献[27-28]提出在各个接收阵元均采用多个匹配滤波器来利用FDA的距离角度相关特性。其设计的信号处理方式为:当接收信号进入各个接收阵元,首先在模拟设备中与频率为f0的信号进行混频,经低通滤波输出后再进行模数转换,最后在数字设备中用特定滤波器组进行匹配滤波。其信号处理架构如图2所示。

图2 接收端匹配滤波信号处理

目标回波信号经过最终的匹配滤波输出为

(18)

因此,在整个FDA-MIMO的处理系统中,时间参数的影响可以在接收端经信号处理后消除。

2 自适应波束形成技术

2.1 SMI算法

基于最小方差无失真准则得到的最优波束形成器,即MVDP波束形成器,其原理的数学表达式如下:

(19)

解得算法的自适应权矢量wMVDR为

(20)

(21)

式中:xi+n(l)为第l个样本数据元素；L为可利用的样本总数。

将该算法扩展到FDA的应用上,则自适应权矢量表示为

(22)

2.2 传统ESB算法

在研究自适应波束形成算法稳健性问题时,非理想因素主要包括DOA估计误差造成的目标导向矢量失配和小快拍数引起的采样协方差矩阵失配[29]。假设有1个期望信号,J个干扰,对有限快拍下的采样协方差矩阵Rs进行特征分解

(23)

式中:Us∈CM×(J+1)包含了Rs中信号加干扰子空间的J+1个特征向量；Σs∈C(J+1)×(J+1)其中的对角线元素为其对应的特征值;矩阵UN∈CM×(M-J-1)包含噪声子空间M-J-1个特征向量；ΣN∈C(M-J-1)×(M-J-1)其中的对角线元素为其对应特征值。

由式(23)可以看出,阵列接收信号的空间由信号加干扰子空间和噪声子空间分量构成,而理想情况下期望信号仅存在于信号加干扰子空间中,ESB算法便基于此原理,摒弃权矢量在噪声子空间中的分量而仅保留在信号加干扰子空间中的分量。于是,ESB算法权矢量[29]表示为

(24)

将ESB算法扩展到FDA的应用上,则自适应权矢量表示为

(25)

在计算波束形成算法的权矢量时,假定的目标导向矢量受DOA估计误差等因素影响会存在一定的失配,但是真实的目标导向矢量一定存在于信号加干扰子空间。因此，用假定的导向矢量在信号加干扰子空间的投影作为估计的导向矢量,排除了噪声扰动的影响,改善了目标导向矢量失配条件和小快数条件下的雷达检测性能。

2.3 空间扩展ESB算法

传统的ESB算法在输入SNR较低时,信号子空间与噪声子空间会发生混叠现象,无法保证良好的正交性,此时直接舍弃权矢量在噪声子空间的分量会有较大的误差,获得的权矢量不是最优权矢量。

(26)

式中:um(m=1,2,…，j)为干扰对应的特征向量,之后对Es进行奇异值分解：

Es=UDVH

(27)

将算法获得的权矢量w0向Es的大特征值对应的左奇异向量列空间UUH投影,即

wIESB=UUHw0

(28)

由于引入期望信号导向矢量,空间扩展ESB算法可以在低输入SNR条件下具有较好的波束保形能力,但是该算法计算量大,需要进行一次特征分解和一次奇异值分解。

3 改进的ESB算法

本文提出一种ESB改进算法,能在阵列接收信号和波达方向估计的先验信息之间实现一种平衡。在高SNR条件下,传统ESB波束形成器利用阵列接收的信号进行处理具有很好的稳健性,而低输入SNR条件会发生噪声子空间和信号子空间纠缠,故需要对采样协方差矩阵进行重构来消除此影响。

于是我们确定一个判决门限η来进行先验信息的选择：

λJ+1/λJ+2η

(29)

式中:λJ+1,λJ+2为第J+1个和第J+2个特征值,当比值小于判决门限时,可认为是低SNR条件,ESB算法性能严重下降,甚至在较低快拍数时协方差矩阵近似为奇异矩阵。此时剔除信号和噪声所在的子空间,仅保留大特征值对应的干扰子空间,重构的协方差矩阵写为

(30)

式中:Uj∈CM×J包含了Rs中干扰子空间中J个特征向量；Σj∈CJ×J其中的对角线元素为其对应的特征值。

但此时的重构协方差矩阵近似为奇异矩阵,直接求逆会出现缩放错误造成算法失效,于是对目标函数增加一个二次惩罚项ξwHw,表示为

(31)

式中:ξ为对角加载因子；w为改进ESB算法的自适应权矢量。

类似于对角加载方法,改进ESB算法在重构的协方差矩阵上人为地引入一个固定加载电平ξ,从而避免了协方差矩阵接近奇异阵导致的求逆运算错误。不同于对角加载算法加载因子难以确定,改进ESB算法对ξ的选取不敏感。

最终通过改进ESB算法得到的低输入SNR条件下的自适应权矢量为

(32)

将该算法扩展到FDA的应用上,则相应的自适应权矢量为

(33)

通过以上分析,所提基于FDA-MIMO的改进ESB算法完整步骤如下：

步骤 1设定初始权矢量,在发射端对发射信号进行加权,并向目标空域照射;

步骤 2在FDA-MIMO接收端对发射信号进行分离,并进行数据重排获得各通道接收数据;

步骤 3对接收数据进行下变频,模数变换,匹配滤波处理,消去时间参数的影响;

步骤 4对经信号处理后的数据进行特征分解,并将获得的特征值由大到小进行排列;

步骤 5设置判决门限η,将λJ+1/λJ+2的结果与η进行比较,若λJ+1/λJ+2>η,执行传统ESB算法获得自适应权矢量wESB,若λJ+1/λJ+2<η,执行步骤6;

步骤 6仅保留大特征值对应的干扰子空间,并人为地引入一个固定加载电平,根据MVDR准则对重构的协方差矩阵求解,便可获得波束形成器的自适应权矢量w。

所提改进ESB算法在低输入SNR条件下保形效果良好,对于发射阵元与接收阵元数均为N的FDA-MIMO体制,其满自由度为N2,改进ESB算法的时间复杂度渐进式表示为O((NN)3)。相比于扩展ESB 算法,本文所提算法减少一步奇异值分解,故实际运算复杂度要低于扩展ESB算法。但是与扩展ESB算法相同的是,由于低SNR条件下波束形成依赖于波达方向估计的先验信息,故其对导向失配的稳健性相比算法在高SNR条件下有所损失。

4 仿真分析

4.1 FDA-MIMO常规波束形成

结合式(18), FDA-MIMO处理机制仿真参数设置如表1所示。

表1 仿真参数

图3为理想条件下,仅有目标存在情况时的常规波束形成方向图。

图3 常规波束形成方向图

由图3可以看出,FDA-MIMO处理机制在目标位置形成了高增益,空域滤波效果良好。

4.2 SMI波束形成器

考虑空间中存在多点源干扰的情况,干扰源的位置和干扰强度如表2所示。

表2 干扰参数

采用SMI算法,在目标没有导向矢量失配且较大的快拍数(快拍数为2 000)下进行自适应波束形成,获得的波束方向图如图4所示。

图4 理想条件SMI方向图

图4中绿色圆圈标识目标位置,红色方框标识干扰位置。由图4可以看出,在理想条件下,SMI算法能够在目标位置处形成高增益,干扰源位置处形成零陷。下面进一步研究非理想条件下SMI的稳健性,即在小的快拍数(快拍数为200)和目标导向矢量失配情况下的波束形成情况如图5所示。

图5 非理想条件SMI波束方向图

由图5可以看出,在小快拍数条件下算法无法在目标位置形成高增益;当存在导向矢量失配时,峰值位置也相应发生了一定偏移。故非理想条件使得SMI波束形成器的性能严重下降。

4.3 WCPO算法

设置采样快拍数为200,其他仿真参数保持不变,目标导向矢量存在5°的失配,利用WCPO算法获得的波束方向图如图6所示。

图6 非理想条件下WCPO算法方向图

由图6可知,WCPO算法对小快拍数和导向矢量失配有一定的稳健性,但会提高旁瓣电平,且无法彻底解决目标导向矢量失配问题。

4.4 ESB算法

仿真参数保持不变,利用传统ESB算法获得的波束方向图如图7所示。

图7 高输入SNR条件下ESB算法方向图

由图7可以看出,在较小的快拍数,较高的输入SNR(SNR=0 dB)条件下,传统ESB算法对目标导向矢量失配具有很好的稳健性。将输入SNR设置为-20 dB,其他参数保持不变,得到此时传统ESB算法的波束方向图如图8所示。由图8可知,传统ESB算法在低SNR条件下失效导致了波束畸变,这会严重影响雷达检测性能。

图8 低输入SNR条件下ESB算法方向图

4.5 改进的ESB算法

由第4.4节分析可知,在高SNR条件下,改进的ESB算法具有与传统ESB算法相同的公式形式与性能,即输入SNR为0 dB时得到的改进的ESB算法方向图与图7一致。设置输入SNR为-20 dB,加载电平为-100 dB, 采样快拍数为200的波束形成方向图如图9所示。

图9 低输入SNR条件下改进的ESB算法方向图

对比图8和图9可知,改进的ESB算法在低输入SNR条件下,具有良好的波束保形能力,克服了传统ESB算法低输入SNR条件下子空间纠缠导致波束畸变这一严重缺陷。仿真参数保持不变,以信干噪比(signal to interference noise ratio,SINR)对加载电平ξ的变化，来表示所提算法相对参数ξ的稳健性能，其结果如图10所示。

图10 输出SINR相对加载电平变化曲线

由图10显然可知,改进ESB算法所需加载电平在-200～-60 dB的范围内都可以保持算法良好的输出性能,因此该算法相比较DL算法,有着对加载电平稳健并易于选取的优势。

4.6 算法性能分析

针对各波束形成算法在不同SNR下的输出SINR进行对比。DL算法(采用合适加载电平)、传统ESB算法、SMI算法与本文所提改进ESB算法、WCPO算法均考虑5°的目标导向矢量失配,并记无目标导向矢量失配的SMI算法为理想SMI算法作为对照组。图11展示了不同快拍数下的波束形成算法SINR随SNR变化的统计曲线。

图11 输出SINR相对输入SNR变化曲线

由图11可知在大采样快拍数和小采样快拍数条件下,本文所提的改进的ESB算法均具有稳定的输出SINR,克服了小采样快拍数SMI算法失效的缺陷。在高输入SNR条件下,改进的ESB算法具有比理想SMI算法和WCPO算法更好地输出SINR,这是因为在训练数据中含期望信号时,较高的输入SNR会使SMI算法和WCPO算法性能严重下降,而改进的ESB算法对这种非理想条件具有较好的稳健性,同时改进的ESB算法不存在WCPO算法约束保守的缺陷。在低输入SNR条件下,改进的ESB算法与DL算法(采用合适加载电平)有着相近的输出SINR,但改进的ESB算法具有对加载电平稳健的优势。

设置采样快拍数为2 000,在不同输入SNR条件下,分析几种波束形成算法对目标导向误差的稳健性,进行100次蒙特卡罗实验,得到仿真结果如图12所示。

图12 输出SINR相对角度误差变化曲线

由图12可知在高输入SNR条件下,改进的ESB算法与传统ESB算法对5°内的目标导向矢量失配的稳健性明显优于SMI,DL和WCPO算法。在低输入SNR条件下,由于剔除了噪声子空间,改进的ESB算法相比SMI算法对噪声扰动有着更好的稳健性,并且克服了传统ESB算法失效造成雷达检测性能下降的缺陷。

5 结 论

本文研究了基于FDA-MIMO体制的稳健自适应波束形成算法问题,针对ESB算法在低SNR条件下性能严重下降的缺陷,提出一种改进的ESB算法,该算法具有以下优势:① 完全保留传统ESB算法高输入SNR条件下的良好稳健性能,在低输入SNR条件下波束也具有很好的波束保形效果；② 相比扩展ESB算法,无需引入目标导向矢量和进行额外的奇异值分解,简化了运算复杂度并节省了运算量；③ 算法适用于小采样快拍数条件；④ 低输入SNR条件下,具有同采用合适加载电平的DL算法相近的输出性能,但克服了DL算法加载系数难以确定的缺陷。仿真结果证明了该算法良好的性能和适用性,其在雷达波束形成方面具有很好的应用前景。