具有隐藏吸引子的广义Lorenz系统及其同步控制

谢悦， 张莉，乔帅

(1. 兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070;2.兰州工业学院 基础学科部，甘肃 兰州 730050)

近几十年来，人们对混沌现象的研究一直未间断。随着科学探索的不断深入，人们对混沌系统有了更多的了解。同时，提出了很多新的混沌系统并研究其动力学特性[1-3]。

隐藏吸引子是一种特殊的吸引子，与自激吸引子不同，它的吸引盆不包含平衡点的邻域，存在周期振荡和混沌振荡两种类型。近年来，人们对具有隐藏吸引子的非线性系统的研究做了大量的工作。包涵等[4]实现了一种新型的四维忆阻自激振荡系统，该系统不存在任何平衡点，但可生成周期、准周期和混沌等隐藏吸引子，表现出丰富而复杂的隐藏动力学特性。王震等[5]数值分析了一类具有隐藏吸引子的三维Jerk 系统在不同参数条件下的周期1、周期2、混沌吸引子、Lyapunov指数谱、分叉等，通过零倾线给出了系统在无穷远点处的局部动力学行为。Mohammad等[6]引入了一个独特的简单混沌流，它可以归属于三种著名的隐藏吸引子和具有自激吸引子的系统。Dawid等[7]回顾了隐藏吸引子最具代表性的例子，讨论了他们的理论性质和实验观测，也描述了识别隐藏吸引子的计算方法。上述文献研究了具有不同性质隐藏吸引子的几种非线性系统及其典型的动力学行为，为探索非线性系统在不同参数和初值时隐藏吸引子的存在和控制提供了思路。动力系统中隐藏振荡的存在，会使生活和工业生产产生不稳定状态的现象，因此，对具有隐藏吸引子的动力系统的动力学分析是十分必要的。

广义投影同步中驱动系统与响应系统的同步误差的比例因子为常数，错位投影同步是在投影同步的基础上将误差系统的各分量进行错位配对。Luo在文献[8]中提出了一种由递归过程组成的主动反推方法，将Lyapunov函数的选择与主动控制的设计相结合，实现Lorenz系统、Chen系统和Lu系统的组合同步。Feng在文献[9]中采用主动退步方法实现组合投影同步，这种同步方案比一般的驱动-响应系统实现的投影同步在保密通信中具有更强的抗攻击能力和抗翻译能力。Zhang在文献[10]中提出了两个混沌系统间的完全错乱广义投影同步，即驱动系统的每个变量和响应系统的非对应的变量进行组合同步。上述文献讨论的是非线性系统的组合同步、完全错乱同步等，这些同步方法是在驱动-响应同步的基础上进行复杂化。多样化的混沌同步由于同步误差的复杂性增强、系统变量多、系统之间的传输方式更加多样化，系统传输的信息可能会拥有更强的抗干扰性与抗破译能力，因此，研究多个系统的同步受到了人们越来越多的关注。

基于以上综述，本文首先讨论广义Lorenz系统共存的隐藏动力学行为，并通过数值仿真验证此系统动力学现象。同时在文献[10]的基础上，改进完全错乱广义投影同步，设计一种新的统一广义投影同步方案，并通过Matlab数值仿真实现两个广义Lorenz系统间的统一广义投影同步。

1 广义Lorenz系统的自激吸引子

定义1 吸引子的吸引域与不稳定不动点的任意开邻域相交，称为自激吸引子。否则，它被称为隐藏吸引子。

自激周期振荡和混沌振荡并不能包括所有可能的振动类型，例如远离不稳定平衡点的吸引子类型，或者来自不稳定平衡点的系统吸引子，或者没有不稳定平衡点的系统吸引子。接下来，本文讨论广义Lorenz系统产生的自激吸引子。

1.1 广义Lorenz系统

广义Lorenz系统的动力学方程为

(1)

式中a,b,c,d是常数，其不同的取值对应系统 (1)不同的状态，当a=10,b=0,c=28,d=8/3时，系统(1)为经典Lorenz系统。

1.2 对称性

系统(1)是一个关于(x,y,z)→(-x,-y,z)的对称变换，也就是说，系统关于z轴是对称的，这个特点对所有的系统参数都是适用的。

1.3 耗散性

对于系统(1)，有

因此，为了保证系统(1)的耗散性，需要-a-1-d<0，即本文选择的所有系统参数都满足这一条件，以保持系统的混沌特性。

1.4 共存的自激吸引子

在给定的参数下，非线性系统在不同初始值下展现的吸引子称为共存吸引子。共存吸引子具有丰富的非线性特性，已成为近年来的一个重要研究课题。当参数选取a=10,b=0,c=28,d=8/3时，当初值取x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1和x(0)=-0.1,y(0)=-0.1,z(0)=0.1时，系统(1)的两个对称的共存吸引子如图1(a)所示；当初值取x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3和x(0)=-10,y(0)=-10,z(0)=-10时，系统(1)的两个非对称的共存吸引子如图1(b)所示。

(a)对称吸引子 (b)非对称吸引子图1 系统(1)共存的吸引子Fig.1 Coexisting attractors of system (1)

下面讨论a=10,b=0,c=24.5,d=8/3时系统(1)的共存吸引子。在上述参数下系统的Lyapunov指数为：LE1=0.798 8,LE2=0,LE3=-14.464 1，故系统此时处于混沌状态。 通过计算，系统(1)的三个平衡点均是不稳定的。当初值取x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1和x(0)=-0.1,y(0)=-0.1,z(0)=0.1时，系统(1)的两个对称的共存自激吸引子如图2(a)所示；当初值取x(0)=0.1,y(0)=0.2,z(0)=0.3和x(0)=-3,y(0)=-3,z(0)=-3时，系统(1)的两个非对称的共存自激吸引子如图2(b)所示。基于初始值共存吸引子的存在也充分说明了广义Lorenz系统对初始值的敏感性。

(a)对称吸引子 (b)非对称吸引子图2 系统(1)的共存自激吸引子Fig.2 Coexisting self-excited attractors of system (1)

2 广义Lorenz系统的隐藏振荡

2.1 广义Lorenz系统的隐藏吸引子

当系统(1)的参数选择为a=-bc,b=-0.5,c=6.8,d=1时，系统(1)的三个Lyapunov指数为LE1=0.289 4,LE2=0,LE3=-5.688 9，系统(1)呈现混沌状态。通过计算，系统(1)的三个平衡点均是不稳定的。

s0=(0,0,0),

其中

通过计算，系统(1)的三个平衡点均是不稳定的。当x(0)=0.3,y(0)=0.1,z(0)=0.6；x(0)=0.1,y(0)=0.01,z(0)=0；x(0)=-0.1,y(0)=0.01,z(0)=0时，系统(1)的一个隐藏吸引子(蓝色轨线)和两个自激吸引子(紫色和绿色轨线)在同一组参数下共存，如图3所示。

图3 系统(1)共存的隐藏和自激吸引子Fig.3 Coexisting hidden and self-excited attractors of system (1)

不稳定平衡点s1和s2吸引了不稳定平衡点s0激发的吸引子，如图3紫色和绿色轨线所示。图3中的蓝色轨线是一个特殊的吸引子，它围绕着不稳定的平衡点s1和s2运动，同时被平衡点s0排斥。显然，蓝色轨迹的吸引子的吸引域与不稳定平衡点s0、s1、s2的小邻域都不相交，并且远离这些平衡点，这种吸引子被称为隐藏吸引子。值得说明的是，系统的两个自激吸引子和隐藏吸引子是共存的。

2.2 参数c对系统隐藏吸引子的影响

由于a=-bc，所以参数c对系统(1)的吸引子的运动变化有很大影响。选择不同的参数c，计算得到的Lyapunov指数如图4所示。

图4 关于参数c的Lyapunov指数Fig.4 The Lyapunov exponents of variable c

1) 当c=3时，系统(1)的三个Lyapunov指数均小于0，即LE1=-0.353 9，LE2=-0.354 3，LE3=-2.791 8，此时系统处于稳定状态。通过计算，系统(1)的三个平衡点均是不稳定平衡点，如图5(a)中红色圆点。当初值分别选取为x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0和x(0)=-0.1,y(0)=-0.1,z(0)=0时，系统(1)的两个共存的定常吸引子如图5所示，从初值出发的两条轨线被吸引到两个不稳定的平衡点上。

(a)相轨迹 (b)时间响应图图5 系统(1)共存的定常吸引子Fig.5 Coexisting stationary attractor of system (1)

2) 当c=6.655 8时，计算Lyapunov指数LE1=0，LE2=-0.022 5，LE3=-5.308 2， 此时系统(1)在参数a=-bc,b=-0.5,c=6.655 8,d=1时显示了周期1极限环。同时，非零平衡点s1,2=(±3.433 8,±1.786 8,6.135 5)是稳定的。通过Matlab仿真，系统(1)的周期1极限环如图6所示。从第3个时间单位开始，可以清楚地看到系统(1)围绕两个稳定平衡点s1,2作周期1运动。同时，根据隐藏吸引子的定义，图6中两个共存的周期1极限环属于隐藏吸引子。

(a)相轨迹 (b)时间响应图图6 系统(1)共存的隐藏吸引子Fig.6 Coexisting hidden attractor of system (1)

3) 当c=6.8时，系统(1)展示了隐藏吸引子与自激吸引子共存的现象，如图3所示。

通过上述讨论，易知隐藏吸引子的形式依赖于系统的参数或初值，选取不同的参数时，系统平衡点稳定性发生变化，其吸引子状态可能会在自激和隐藏吸引子之间转变。同样，当选取不同的初值时，也会引起吸引子的变化，这是因为非线性系统对初值具有一定的敏感性。广义Lorenz系统具有明显的隐藏动力学及共存吸引子特性，这些隐藏振荡的研究为工程中一些暂时无法解决的振动现象提供了研究思路。

3 广义Lorenz系统的统一投影同步

3.1 统一投影同步理论

对于如下的驱动系统

(2)

和响应系统

(3)

式中：x=(x1,x2,…，xn)T∈Rn和y=(y1，y2，…，ym)T∈Rm是系统的状态变量；f:Rn→Rn和g:Rm→Rm是连续函数；u(y,x)∈Rm是系统达到同步的控制器。

假设同步误差为

e=Ax+By

(4)

式中：e=[e1,e2, …,em]T；A=(aij)m×n和B=(bij)m×m为同步系数矩阵。当选取不同的同步系数时，误差系统(4)可以呈现不同的同步，如反同步、广义同步等。

(5)

选择合适的同步系数矩阵，式(4)所构造的误差可退化为完全同步、反同步、投影同步和错乱同步等，故本文称之为统一广义投影同步。同时，上述方案既适合同阶的非线性系统，也适合不同阶的非线性系统。

3.2 广义Lorenz系统的统一广义投影同步

令驱动系统为

(6)

响应系统为

(7)

式中U1,U2,U3为同步所需的主动控制器。假设同步误差为

(8)

式中dij为同步系数，令

U1=-A/d1，U2=-B/d2，U3=-C/d3

(9)

式中

1)当di=1，dii=-1，dij=0(i=1, 2, 3;j=2, 3且i≠j)时，系统(1)的统一广义投影同步退化为完全同步，其同步误差曲线如图7所示。

图7 系统(1)的完全同步Fig.7 Complete synchronization of system (1)

2)当di=dii=1，dij=0(i=1, 2, 3;j=2, 3且i≠j)时，系统(1)的统一广义投影同步退化为反同步，其同步误差曲线如图8所示。

3)当d1=1,d2=2,d3=3，同时假设d11=1,d12=2,d13=3；d21=4,d22=5,d23=6；d31=7,d32=8,d33=9时，系统(1)的统一广义投影同步退化为投影同步，其同步误差曲线如图9所示。

图8 系统(1)的反同步Fig.8 Anti-synchronization of system (1)

图9 系统(1)的投影同步Fig.9 Projective synchronization of system (1)

4 结束语

本文讨论了广义Lorenz系统取不同初始值时共存的几种不同的吸引子，尤其是自激吸引子和隐藏吸引子共存的情况。同时改进了一种新的统一广义投影同步，此方案在合适的同步系数下可退化为完全同步、反同步和投影同步等。数值仿真部分，设计了广义Lorenz系统的统一投影同步方案，并通过Matlab仿真验证了其有效性。