利用天牛须算法智能优化固体激光谐振腔

2021-11-10韩克祯许贞珂张诗杰柳春林韩运奥秦华

山东理工大学学报（自然科学版） 2021年1期

韩克祯，许贞珂，张诗杰，柳春林，韩运奥，秦华

(山东理工大学物理与光电工程学院, 山东淄博 255049)

激光谐振腔的结构参数，如腔镜的曲率半径、各腔镜之间的距离、腔镜折叠角度等对激光器的稳定性以及腔内振荡光斑的大小有直接影响，因此谐振腔参数的选取是激光技术中的重要环节。对于参数较少的两镜腔，通过简单的尝试即可以获得满意的腔参数。而对于结构复杂的多参数谐振腔，如超快技术中的全固态锁模激光器，由于参数较多，人们一般会参考已有的腔型结构，在此基础上进行试探性改动，以期获得所需要的谐振腔结构参数。当需要改动的参数较多时，靠人工尝试法寻找一组合适的谐振腔参数变得非常困难。因此,将计算机智能优化算法引入激光谐振腔设计具有重要的应用价值。

在众多的优化算法中，仿生群体算法是一种有趣而高效的全局优化算法，如蚂蚁群算法、粒子群算法等。根据其优化机理，蚂蚁群算法特别适合求解离散空间的优化问题，如旅行商路径规划问题[1]；而谐振腔参数是连续变化的，其优化过程与粒子群算法的机制更为契合。我们已经尝试利用粒子群算法进行谐振腔的设计，并证明了该算法在多参数谐振腔设计中的有效性[2]。但是粒子群算法每次迭代都需要计算大量粒子的适应度函数值，并且要在大量粒子之间进行信息交换和对比，计算量较大、程序运行速度慢。2017年，中国学者提出一种新的仿生算法—天牛须搜索算法，其最典型的特点就是优化过程中只需要一个搜索个体，计算量大大减小，寻优速度快，并且程序的编写和调制非常简单[3-4]。该算法自提出之后就在众多领域取得应用，如微网格能量管理[5]、风暴潮灾害预测[6]、电液位置伺服控制系统PID控制器优化[7]、舰艇防撞预警[8-9]、机器人路径规划[10]、室内环境定位[11]等，但目前还没有将其用于激光谐振腔设计的报导。因此，利用天牛须搜索算法进行多参数复杂激光谐振腔的设计是很有意义的尝试和探索。

1 天牛须搜索算法简介

天牛须搜索算法是受到天牛觅食的启发而提出来的智能仿生算法。其仿生原理为[3-4]: 天牛有两只长长的触角，在其外出觅食时，如果左边触角接收的气味强度比右边大，那下一步天牛就会向左边移动，反之天牛会向右边移动。通过不断的探测、比较和移动，天牛最终能够找到食物最丰富的地方。与其他仿生智能算法如蚂蚁群算法、粒子群算法相比，天牛须算法中的搜索个体仅有一个，程序的计算量小，代码编写简单，寻优速度较快。

2 天牛须算法用于谐振腔设计

2.1 天牛须算法优化谐振腔的步骤

利用天牛须搜索算法智能化设计全固态谐振腔的步骤描述如下：

1)将待优化的谐振腔参数，包括腔镜反射面的曲率半径R1，R2，…，RM(M为待优化腔镜个数)，相邻光学元件距离l1，l2，…，lN(N为待优化距离参数个数)，以及腔镜折叠角度θ1，θ2，…，θQ(Q为待优化的折叠角度个数)的组合作为天牛须搜索算法中天牛所在的初始化随机位置矢量X0= [R1,R2, …,RM,l1,l2, …,lN,θ1,θ2, …,θQ]，其中每一个参数的数值在各自的待搜索范围内随机取值；记录该初始位置X0为当前最佳位置posBest，记录该初始位置对应的适应度函数的值F(X0)为当前最佳值fBest。

适应度函数F(X0)的计算过程如下：

对于驻波腔，根据ABCD传输矩阵法计算谐振腔内各点在弦切面和弧矢面内的往返矩阵，对于行波腔，计算对应的单程传输矩阵，然后计算谐振腔在弦切面和弧矢面内的稳定性判据因子和待考察点的本征振荡光斑大小，最后根据设计目标确定搜索算法的适应度函数为：

(1)

式(1)中的下标tan和sag分别表示弦切面和弧矢面，A和D表示最终传输矩阵中的第1个和第4个矩阵元素，ωi和ωi,goal表示第i个考察位置处的本征振荡光斑与设计目标的半径大小，求和公式中的N表示考察位置的总个数。

2)生成一个方向随机的单位向量b0作为天牛的两条须的搜索方向，该单位向量的维度跟上一步(1)中X的维度相同。

3)确定天牛须初始须长d0，则天牛的左右两须顶点的位置为：

Xleft=X0-d0·b0

Xright=X0+d0·b0

(2)

需要指出的是，上式中单位向量b0的方向是随机的，并且d0的数值尽量大一些，目的是增加搜索的随机性和从局部极小值的跃出能力。

4)比较左右两须顶点对应的评价函数F的大小关系，并决定下一步天牛的前进位置：

X1=X0+step0·b0·sign(F(Xright)-F(Xleft))

(3)

其中step0是天牛的初始移动步长，该数值取值尽可能大一些。sign是数学中的符号函数。

比较F(X0)与F(X1)，如果F(X0)

5) 假设算法进行到第k步(k≥1), 此时天牛的位置、两须搜索随机单位方向、左右两须的位置和移动步长分别为Xk，bk，Xleft k，Xright k和stepk，那么在k+1步时，天牛的位置更新为：

Xk+1=Xk+stepk·bk·sign(F(Xright k)-

F(Xleft k))

(4)

比较F(Xk+1)与F(Xk)，如果F(Xk+1)

为了保证搜索过程早期能够跳出局部最优而后期又能够收敛于符合目标的全局最优，天牛的须长和步长均随迭代次数k而变化，具体迭代公式为：

(5)

其中Iter表示程序设定的总迭代次数，dIter表示在最后一次迭代时天牛的触须长度。迭代公式(5)表明，搜索初期天牛的位置变化步长较大，容易从局部最优值跳出；搜索后期步长变小，实现精细搜索，可以收敛于全局最优值。

6)如果程序达到设定的迭代次数或者适应度函数值达到预期目标，则天牛须搜索过程终止，posBest即为搜索得到的谐振腔参数组合。

2.2 天牛须算法设计谐振腔实例

以激光锁模技术中常用的五镜W型谐振腔的设计为例进行详细说明。待设计腔型结构如图1所示。腔参数有：五个镜片的曲率半径R1～R5，激光晶体长度lg，腔镜之间、腔镜与晶体之间的距离l1,l21,l22,l3,l4,以及腔镜之间折叠角2θ2、2θ3、2θ4等。一般地，输出耦合镜M1采用平面，即R1=；腔镜M5为反射式可饱和吸收体Sesam，一般也是平面，R5=；为了不影响泵浦激光的会聚效果，腔镜M3通常取为平面，R3=；激光晶体Nd:YVO4的尺寸为336 mm3，其Nd3+掺杂原子浓度为0.3%，切割方向为a轴，振荡激光波长1 064 nm，则其折射率为n=2.168[2]。设计稳定工作的泵浦功率为20 W，实验测定该功率下激光晶体的热透镜焦距为f=200 mm。为了保证腔内光线不被晶体和腔镜遮挡，设定图2中的三个折叠角度分别为θ2=5°，θ3=10°，θ4=5°。

谐振腔的设计目标为：弦切面和弧矢面内的稳定性因子均为0；考虑泵浦光与振荡光斑大小匹配，激光晶体中心处，设置振荡光斑目标大小为300 μm；考虑到可饱和吸收体的饱和光强，设置Sesam处目标光斑为100 μm。

综上，该谐振腔的待优化参数见表1。其中大部分参数的搜索范围设置得很大，是为了体现天牛须算法的全局搜索能力；但是l22设置的较小，这是因为图1中泵浦LD的耦合系统(CS)焦距有限。

图1 待优化W型锁模谐振腔结构示意图Fig.1 The configuration of W-shape mode locking laser resonator

经天牛须搜索算法15 000次迭代搜索，获得接近0的适应度函数值。从图2可以发现，在大约1 500次迭代后，已经获得较小的适应度函数值；继续迭代到15 000次，图2中的插图(a)表明在前500次迭代内，优化速度很快，插图(b)表明搜索算法还能获得细致的局部优化。

图2 适应度函数随迭代次数的关系Fig.2 The fitness value versus iteration times

表1 待优化参数及其搜索范围Tab.1 The parameters to be optimized and their search range

得到优化的谐振腔参数见表2。采用优化后参数的谐振腔内的本征振荡光斑大小分布如图3所示。可以发现，弦切面和弧矢面内的光斑分布基本一致，说明像散极小，并且光斑变化平缓。表3列出了谐振腔稳定性因子和两个考察点(晶体中心处和腔镜M5处)的光斑大小的目标值和优化结果值的对比。谐振腔弦切面和弧矢面内的稳定性因子分别为0.12和-0.003 9，跟目标0比较接近；晶体中心处的光斑为300μm和293μm，基本符合预期的300μm；Sesam处的光斑为103μm和100μm，也基本满足了100μm的设计目标。结果表明，在本例7个参数、6个设计目标的复杂情况下，天牛须算法完全能够胜任设计任务。由此可见天牛须搜索算法可以实现人工试错法无法实现的复杂多参数谐振腔的多目标设计任务。