Grothendieck环G0(D(H4))的自同构群

胡承超, 潘梦雅, 陈惠香

(扬州大学数学科学学院, 江苏 扬州 225002)

有限维Hopf代数H的Drinfeld偶D(H)是一类重要的拟三角Hopf代数[1], 其表示范畴为辫子张量范畴, 可为量子Yang-Baxter方程提供解[2-3]．Taft代数An(ω)是一簇有限维点Hopf代数[4], 当n=2时,An(ω)恰好为Sweedler 4-维Hopf代数H4．Chen[5]利用生成元及其关系式构造了一类Hopf代数Hn(p,q), 指出当p≠0时,Hn(p,q)同构于Drinfeld偶D(An(ω)), 并在此基础上研究了D(An(ω))的表示理论, 给出了有限维不可分解模的分类、几乎可裂序列以及AR-quiver的连通分支[6-7]．不变量是许多数学领域的重要研究内容, Grothendieck环、Green环以及自同构群等是Hopf代数的重要不变量, 有助于人们更好地理解和研究Hopf代数．当n为奇数时,D(An(ω))为链环和3维流形提供了不变量[8]．Zhang等[9]研究了D(An(ω))的Grothendieck环; Chen[10]和Li等[11]分别研究了D(H4)的Green环; Chen等[12-13]还研究了当n≥3时D(An(ω))张量积模的分解式和投射类环, 进而研究了D(An(ω))的Green环[14]; Chen等[15]研究了Taft代数的Green环; 贾婷婷等[16]在此基础上研究了H4的Green环的自同构群．本文拟探讨Drinfeld偶D(H4)的Grothendieck环G0(D(H4))的自同构群, 以期给出该自同构群的结构．

1 Drinfeld偶D(H4)的Grothendieck环G0(D(H4))

Sweedler 4-维Hopf代数H4作为代数由g,h生成, 满足:g2=1,h2=0,gh+hg=0．其余乘法Δ、余单位ε和反极元S由下述等式给出:

Δ(g)=g⊗g, Δ(h)=h⊗g+1⊗h,ε(g)=1,ε(h)=0,S(g)=g,S(h)=gh．

Hopf代数H2(1,-1)作为代数由元素a,b,c,d生成, 满足:ba=-ab,db=-bd,ca=-ac,dc=-cd,bc=cb,da+ad=1-bc,a2=0,b2=1,c2=1,d2=0．H2(1,-1)的余乘法Δ、余单位ε和反极元S由下述等式给出:

Δ(a)=a⊗b+1⊗a, Δ(b)=b⊗b, Δ(c)=c⊗c, Δ(d)=d⊗c+1⊗d,ε(a)=ε(d)=0,

ε(b)=ε(c)=1,S(a)=-ab,S(b)=b,S(c)=c,S(d)=cd．

由前面的介绍知,H2(1,-1)恰好同构于Sweedler 4-维Hopf代数H4的Drinfeld偶D(H4),并将D(H4)与H2(1,-1)等同视为D(H4)=H2(1,-1)．

D(H4)共有4个互不同构的单模V(l,r)(1≤l≤2,r∈Z2), 且单模V(l,r)是l-维的, 具体结构可见参考文献[6], 故Grothendieck环G0(D(H4))是以{[V(l,r)]|1≤l≤2,r∈Z2}为Z-基的自由阿贝尔群．G0(D(H4))的环结构在参考文献[9]中有详细的描述, 为便于文中后续引用, 在下述引理1和命题2中列出相关的主要结论．

引理1在G0(D(H4))中, 令y=[V(1,1)],x=[V(2,0)],则

(i) 对任意1≤l≤2,i∈Z2, 有y2=1, 且[V(l,i)]=yi[V(l,0)];

(ii)G0(D(H4))是由y和x生成的环．

命题2设Z[x,y]是两个变量x和y的多项式环,I是Z[x,y]由元素y2-1和x2-2y-2生成的理想, 则Grothendieck环G0(D(H4))同构于商环Z[x,y]/I．

2 环G0(D(H4))的自同构群

用Aut(G0(D(H4))和AutZ(G0(D(H4)))分别表示G0(D(H4))的环自同构群和Z-模自同构群．由上一节的讨论知, Grothendieck环G0(D(H4))作为自由Z-模有一组基为:[V(1,0)],[V(1,1)],[V(2,0)],[V(2,1)],其中[V(1,0)]是环G0(D(H4))的单位元．由命题2知,G0(D(H4))同构于多项式环Z[x,y]的商环Z[x,y]/I, 其中I是由y2-1与x2-2y-2生成的Z[x,y]的理想．将G0(D(H4))与Z[x,y]/I等同起来, 视为G0(D(H4))=Z[x,y]/I, 且将x和y在自然同态Z[x,y]→Z[x,y]/I下的像仍然记作x和y, 有1=[V(1,0)],y=[V(1,1)],x=[V(2,0)],xy=[V(2,1)], 且y2=1,x2=2y+2．

由于G0(D(H4))是秩为4的自由Z-模, 而G0(D(H4))的Z-模自同态等同于G0(D(H4))的Z-线性变换, 因此AutZ(G0(D(H4)))同构于整数环Z上的4阶可逆矩阵构成的乘法群GL4(Z)．除非说明, 以下G0(D(H4))的自同构均指环自同构, 并定义G0(D(H4))的Z-模自同态σ,τ,φ分别为σ(1)=1,σ(y)=y,σ(x)=xy,σ(xy)=x;τ(1)=1,τ(y)=y,τ(x)=-x,τ(xy)=-xy;φ(1)=1,φ(y)=y,φ(x)=-xy,φ(xy)=-x0．直接验证可得如下引理．

引理3σ和τ都是G0(D(H4))的自同构, 且στ=τσ=φ,σ2=τ2=id, 其中id是G0(D(H4))的恒等变换.

推论4{id,σ,τ,φ}构成Aut(G0(D(H4)))的一个子群, 且该子群同构于Klein群K4．

引理5设f是G0(D(H4))的自同构, 则f(y)=y或f(y)=-y．

解此方程组得到4组解:

因为f是环自同构,y的像f(y)不可能为1和-1, 所以只有第二组解和第四组解符合条件, 有f(y)=y或f(y)=-y．证毕．

定理6设f是G0(D(H4))的自同构, 则f(y)=y且f∈{id,τ,σ,φ}．

假设f(y)=-y.则比较上述等式两边, 得方程组

解此方程组得到2组解:

因此f(x)=1-y=f(1+y)或f(x)=-1-y=f(-1+y),由此得f不是单射,矛盾,故f(y)≠-y, 从而f(y)=y．类似方法可得方程组

解此方程组得到4组解:

其中b∈Z．下面对这4组解分别进行讨论．

情形1f(x)=1+y+bx-bxy．此时f(xy)=1+y-bx+bxy, 因此f在G0(D(H4))的Z-基{1,y,x,xy}下的矩阵为

显然A1的行列式det(A1)=0, 故A1不可逆, 从而f不是双射．

情形2f(x)=-1-y+bx-bxy．此时类似于情形1的讨论可知,f在G0(D(H4))的Z-基{1,y,x,xy}下的矩阵A2的行列式det(A2)=0,f也不是双射．

情形3f(x)=(1-b)x+bxy．此时f(xy)=bx+(1-b)xy, 类似可知f在G0(D(H4))的Z-基{1,y,x,xy}下的矩阵A3的行列式det(A3)=1-2b．由于f是双射, 所以det(A3)=±1, 故b=0或b=1．当b=0时,A3为单位矩阵, 此时f=id; 当b=1时,f(x)=xy,f(xy)=x, 此时f=σ．

情形4f(x)=(-1-b)x+bxy．此时f(xy)=bx+(-1-b)xy, 类似可知f在G0(D(H4))的Z-基{1,y,x,xy}下的矩阵A4的行列式det(A4)=1+2b．由f是双射知det(A4)=±1, 故b=0或b=-1．当b=0时,f(x)=-x,f(xy)=-xy, 此时f=τ; 当b=-1时,f(x)=-xy,f(xy)=-x, 此时f=φ．

综上可得,f∈{id,τ,σ,φ}．

推论7Grothendieck环G0(D(H4))的自同构群同构于Klein群K4, 即Aut(G0(D(H4)))≅K4．

证明 由推论4和定理6立得．