对高中物理“汽车启动”教学中一个常见误区的讨论

四川 李 迪 李 刚

文章以一道机车启动的题目为例，通过积分计算，给出了机车启动过程中瞬时速度和时间的函数关系式，论证了不论机车是以恒定功率启动，还是以恒定加速度启动，都无法真正达到最大速度，只能无限趋近于最大速度。

笔者在教学过程中遇到了这样一道关于汽车启动的题目，原文如下：

2020年2月22日，河北省第九批支援湖北的医疗队在石家庄火车站乘坐高铁列车到达武汉，开展新冠肺炎医疗救治工作。已知该高铁列车的总质量为m=5×105kg，运动过程中受到的阻力恒为列车重力的0.02倍，已知该高铁列车沿直线由静止启动的过程中，其输出功率P与速度v的关系图像如图1所示，该高铁列车从静止开始启动至达到最大速度所用的时间t=300 s，g=10 m/s2，下列说法正确的是

图1

( )

A.该高铁列车的最大速度为30 m/s

B.该高铁列车的最大速度为90 m/s

C.该高铁列车做匀加速直线运动的时间为225 s

D.该高铁列车由静止开始运动至达到最大速度的位移为3 375 m

【解析】A、B.由图1知该高铁列车的额定功率P额=9×106W，该高铁列车受到的阻力

f=kmg=0.02×5×105×10 N=1×105N

牵引力与阻力大小相等时，高铁列车的速度最大，则

B项正确，A项错误

C.在匀加速阶段，由图1可知，牵引力

根据牛顿第二定律有

F-f=ma和v=at1

解之可得

a=0.4 m/s2，t1=75 s

C项错误

D.匀加速运动的位移

该高铁列车从达到额定功率至最大速度的过程中，设该高铁列车的位移为x2，根据动能定理可得：

解得x2=2 250 m

因此该高铁列车从静止开始运动到最大速度的总位移为

x=x1+x2=3 375 m

D项正确。

然而，如果我们画出该列车启动的v-t图像(图2)，不难发现，由图像与t轴所围成的面积为直线运动的位移可知，变加速阶段的位移必将大于梯形面积

图2

这一结果远大于我们在解析中通过动能定理(1)式计算得到的x=2 250 m。

两种解答过程看似都没有问题，但为什么会出现截然不同的结果呢？这涉及我们在“机车启动”教学过程中的一个常见误区，接下来进行详细分析。

在日常教学过程中，常见讲授方式为，把“机车启动”类问题分为两种：1.以恒定功率启动；2.以恒定加速度启动。

我们先讨论以恒定功率启动的方式，设机车的额定功率为P0，质量为m，运动过程中受到恒定的阻力f，根据牛顿第二定律和功率的表达式，有

P0=F·v(2)

F-f=ma(3)

随着速度v的增加，机车牵引力F逐渐减小，由(3)式可知加速度a逐渐减小，机车做加速度减小的变加速运动，v-t图像的形状大致如图3所示，在某一时刻t1，当F减小至等于f时，加速度a为零，机车速度到达最大速度vm，由(2)、(3)式可知

图3

上述的分析过程只是一个定性的分析，我们会发现恒定功率启动过程中，瞬时速度v是关于时间t的函数，但是仅靠高中阶段的数学知识还得不到精确的v与t函数表达式，现在我们用微积分对这个问题进行求解，为了使表达式更具普遍性，我们求解机车在恒定功率P0下，在t时间内，速度从某一瞬时速度v1变加速至v的表达式：

由(2)、(3)式得微分表达式

变形可得

两边积分

两边积分得

变形为

当v1=0时，(5)式将变换为

(5)式为从v1开始、(6)式为从静止开始以恒定功率启动过程中，瞬时速度v与启动时间t所满足的表达式。

现对它们进行简单讨论：由(5)式、(6)式可知，当P0-fv=0，即P0=fv，v=vm时，ln函数无意义，t不存在，也就意味着P0不能等于fv，即机车的速度无法达到满足(4)式的最大速度vm，当P0-fv2→0时，即v→vm时，t→∞。也可以理解为机车速度要达到vm，需要用无穷多的时间，需要走无穷多的位移。以上特点可由(5)式、(6)式的函数图像直观看出，如图4、图5所示。(这里以上述例题中的数据代入计算，即(5)式、(6)式中的P0=9×106W，f=1×105N，m=5×105kg，v1=30 m/s)

图4

图5

由图4、图5第一象限中的图像可以看出，不论初速度是否为零，机车只要是恒定功率的变加速，就都无法真正达到最大速度vm，只能无限趋近于最大速度vm，在v-t图像中，vm可表示为函数图像的一条渐近线。

由图可以直观看出，当t=300 s时，速度v<90 m/s，带入(5)式可计算得到，t=300 s-75 s=225 s时，v≈65.45 m/s。所以题目中所给的“该高铁列车从静止开始启动至到达最大速度所用的时间t=300 s”与实际情况存在着较大的偏差，这就是例题中存在矛盾的原因。若我们以实际情况v≈65.45 m/s来对两种解题方法进行对比，则：

代入表达式(1)中得：

x≈11 791 m>10 738 m，

矛盾消除。

同时，我们也可以由(2)式、(3)式得到，当机车以恒定加速度启动时，机车的运动可以分为两个阶段，第一阶段为匀加速直线运动，在该阶段，牵引力F恒定，机车功率随着v线性增加(与t成正比)，当机车功率P=P0后，牵引力F随着v的增加而减小，机车进入以P0为恒定功率的变加速阶段，之后运动情况和(5)式、图4描述的运动情况相同，即机车依然无法真正达到最大速度vm，只能无限接近vm。同样也不存在到达最大速度的时间和位移。

其中(5)式中的v1可以由(2)式、(3)式结合给定的加速度a计算得到，当a=a0时有

综合看来，无论机车以何种方式启动，我们都可以由(5)式和(7)式进行某一瞬时速度的计算。

1.以恒定功率启动时，用

2.以恒定加速度a0启动时，用

v=at1(当v≤v1时) (8)

(当v>v1时)