一道中考数学压轴题的分析与思考

林伟煌

摘要：中考数学命题总则是立足本质，着眼素养，合理综合，关注应用，适度创新;注重“四基”，突出能力，关注理性思维，明晰教学导向。函数关注数形关系，着重考查函数的图象与本质，关注变量间的依存关系，关注利用代数方法研究几何问题，强调数形结合思想。近几年省考的综合题都以二次函数为载体，融入几何图形，突出考查用代数方法解决几何问题的思想。突破压轴题不靠一日“拔苗助长”，而要靠日积月累的训练和培养。平时的教学应注重渗透培养知识所蕴涵的数学思想，引导学生建构知识网络体系，强化在数学实践活动中综合运用数学知识的能力。

关键词：转化;函数方程思想;符号语言

笔者有幸参与了2020年福建省安溪县中考的阅卷工作，所阅卷的题目是第25题。这是一道压轴题，得分率较低。笔者感触颇深，下面就试题的阅卷情况分析及教学启示等方面与同行交流。

一、试题呈现

二、思路分析

（1）先根据条件确定点A，B，C的坐标，再利用待定系数法求得二次函数的解析式。

（2）思路一：利用反证法证明。

三、试题评价

本题以函数及其图象为切入点，以函数建模为突破口，以代数式的转化变形构建难点;考查一次函数和二次函数的图象和性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识;考查运算求解能力、推理论证能力等;考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等;融代数与几何于一体，覆盖面广，解法多样，将运算求解能力与推理论证能力的考查有机结合，综合考查学生的核心素养。

四、答题分析

（一）得分情况（如表1所示）

（二）错因分析

第（1）小题存在以下几种错误：

（1）点C的坐标只给出一个情况;

（2）点C的坐标两种情况都给出，但不懂得取舍出现两个函数关系式;

（3）计算错误或对点C的两种情况取舍误判;

（4）条件“当x1>x2≥5时，总有y1>y2”把握不准，不懂应用;究其原因是对用符号语言表述函数性质不理解，对函数图象性质理解不深入。

第（2）小题，许多学生直接由“k相等”，推出“两直线平行”;稍好一点的由“k相等b不相等”，得到“两直线平行”。错误原因是平时对这一性质熟练应用，但只记住图形的规律，不知道规律如何得来。

第（3）小题的错误现象有：许多学生不会根据条件画出图形;一部分学生假设线段CE，导致运算量较大，半途而终;有学生不会求面积，或无法表示出最值;均值不等式掌握不全面，导致错用。究其原因如下：学生的作图意识较弱;解题经验不足或对学过的基础知识，基本方法不能灵活运用;用代数方法解几何问题的意识与技能不足。

五、教学启示

（一）重视数学语言的阅读理解

书本上的定义、性质大多结合图形以文字命题的形式呈现，教学时应重视训练“文字语言”“符号语言”“图形语言”三种语言的相互转化。如对于二次函数的性质很多同学都能倒背如流，但考查的不是文字内容，而是符号内容。条件“当x1>x2≥5时，总有y1>y2”的应用属中档难度，它是用符号语言表述函数性质，把它转化为文字语言即“当x>5时，y随x的增大而增大”，结合抛物线的对称轴就可对第（1）小题的点C进行取舍如下：当抛物线过点C（9，0）时，则当53时，y随x的增大而增大，符合题意。平时教学中，教师应引导学生如何对“陌生”的条件进行加工提炼，转化成我们所熟悉的知识，引导学生抓住问题的本质，注意归纳。两个例子说明提高学生的数学阅读能力成为数学学习过程中必备的能力，阅读能力是学好数学的基础，三种数学语言的灵活转化是形成数学能力必备的能力。

（二）重视知识的生成过程

平时教学时老师比较关注的是性质的应用、解题的技巧，但对性质的生成往往容易忽视，学生知其然不知其所以然。如2017年考到三角函数性质sin2α+sin2（90°-α）=1的证明，2018年考相似三角形的对应边上的中线之比等于相似比的证明，等等。又如有一次笔者命制的试题：“证明：圆的内接四边形对角互补”，学生几乎不会。对于以上这些性质、规律学生可能了如指掌、应用自如，但考到性质證明时，学生的得分情况不容乐观。这给我们敲响了警钟，新授知识不能重结论轻过程，应设置一些问题串，引导学生了解知识的来龙去脉，经历知识的发生发展过程，从而形成对概念、原理等的深刻理解，对过程中蕴涵的数学思想的体会与感悟，有助于发展学生的问题意识、探索精神。问题的设置应在学生思维的最近发展区，要能激发学生兴趣，调动学生的积极性，注重启发性，培养学生的发散思维和创新思维能力。

（三）重视函数的主干地位

函数知识是初中数学的核心知识，这几年都以压轴题的形式出现，常结合图形的变换、图形的运动、几何图形的性质，综合数形结合思想、函数方程思想进行命题。函数部分的内容主要可以归纳为以下三类：函数关系式的表示、函数的性质、函数的应用及函数思想的形成，其中第三类往往会出现在压轴题中。教学时，教师应该多引导学生运用运动的观点分析图形，解决问题，注重函数思想、方程思想的应用，研究几何图形在运动变化中的不变量与变量的问题教学。

（四）重视审题的规范严谨

综合题要分析它的逻辑结构，搞清楚各个小题是“并列”的还是“递进”的，这一点非常重要。并列关系分别以大题的已知为条件进行解题，如（1）的结论与（2）的解题无关，这类题目经常出现“（1）当……时……”这样的表述;递进关系是（1）的结论是解（2）所必要的条件之一，此类题目常为（1）小题没有附加条件;或（1）小题有附加条件，（2）小题说明在（1）的条件下。在有些较难的综合题里这两种关系经常是兼而有之。

在解综合题时，当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在的联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

参考文献：

[1]鲁浩.让数形结合也成为一种数学学习习惯[J].教育科学论坛，2008（02）.

（责任编辑：奚春皓）