新型叉指电容设计建模与实验研究

唐忠林，杨建华

(1.陕西工业职业技术学院航空工程学院，陕西咸阳 712000；2.西北工业大学自动化学院，陕西西安 710072)

0 引言

叉指电容(interdigital capacitor，IDC)以其特有的平面电极结构和表面空间电场，是制作表面传感器的理想器件，其正负电极之间的电场在电极平面上下方表面空间分布，因此电极表面空间介电常数的变化会导致叉指电容值的变化，据此可进行物性检测[1]。叉指电容表面传感器通常采用直接接触或覆盖敏感薄膜的结构形式，其中直接接触式在土壤湿度[2]、材料老化[3]、溶液品质[4]和环境监测[5]等方面应用广泛，敏感薄膜式主要用于气体检测，包括空气湿度[6]和各类挥发性有机气体[7]等。

叉指电容传感器的研究现状包括：叉指电容的基本结构变化不大，对应的电容解析模型缺少发展[8-9]；针对某些特殊应用场合的拓展叉指电容结构复杂，难以建立解析模型，一般采用仿真建模[10-11]；柔性衬底材料和电极打印工艺的研究热度正高[12]。叉指电容基本结构的平面电极边缘和衬底方向空间存在电场泄漏，会导致传感器测量误差，降低电容的高频性能[13]，并使解析模型复杂化。仿真建模虽然能够达到更高的精度和实现更强的针对性，但是平台依赖性强，设计指导性不如解析模型直接。新材料和新工艺理念先进，但在成本、可靠性和信号稳定性上还有很大的提升空间，短期内难以形成规模化应用。

针对上述问题，本文研究并基于PCB工艺实现一种新型叉指电容，设计交扣叉指电极结构和等电位隔离方法，在不降低结构通用性的基础上，使叉指电容的电极电场受控、设计制造方便，并在此基础上建立更加简洁准确的电容解析模型。

1 设计与建模

新型叉指电容的结构、电路与极间电场分布如图1所示。图1(a)为叉指电容的基本结构，由交替平铺在绝缘衬底S表面的正负电极构成，在传感区域以外存在电场泄漏，并且高频特性较差，结构上还存在改进的空间。

1.1 新型叉指电容设计与层分解

新型叉指电容结构如图1(b)所示，其特征为：

(1)在电容平面沿正负电极的最外侧分别设置等电位隔离电极I+和I-，利用等电位电场隔断消除电容外侧电极的边缘场产生的不可控寄生电容，同时电气隔离使隔离电极本身的寄生电容不会影响新型叉指电容的容值；

(2)在衬底下表面铺设与电容正极等电位隔离的电极平面，利用等电位电场隔断将正负电容电极之间的联通电场线封闭在衬底材料内部，消除了衬底下方电场泄漏产生的不可控寄生电容，隔离电极平面本身的寄生电容同样也不会影响到新型叉指电容的值；

(3)用交扣叉指电极结构取代单指交错电极结构，一方面有助于在电极电压极性转换的瞬间形成电流在电极支路上的反向流动以提高高频特性，另一方面有利于形成严格的周期结构，不会出现基本结构中有时正负电极数不对等的情形，影响解析模型通用性；

(4)正负电极最外侧电极支路采用宽度减半设计，在建立解析模型时内外电极可以统一处理，简化了电容解析模型的推导和公式结果。

不失一般性，以空气环境中表面覆盖厚度h的敏感薄膜为例，设电极厚度远小于长度和宽度，忽略极间侧面电容，则根据图1(b)的新型叉指电容的电极电场分布，可得到其极间电容分布模型，如图2(a)所示。图2(a)中，虚线0代表正负半电极之间的居中虚拟等位面，Cu和Cd分别为半电极与虚拟等位面之间在电容平面上下方空间中的等效电容，εs和εa分别为敏感薄膜和薄膜上方空气的相对介电常数。由于不存在衬底部分的电场泄漏，对于给定结构，Cd为固定值，因此实际的新型叉指电容值可用式(1)表示：

C=C0+(4N-1)Cu/2

(1)

式中：Cu为半电极与虚拟等位面之间在电容平面上方空间中的等效电容，F；C0为Cu之外所有固定电容的组合值，F；N为电容平面交扣叉指电极对的数量。

根据多层介质的分层电容理论[14]，可以把图2(a)中的新型叉指电容传感器的Cu等效为2个电容的和，一个为空气中表面无覆盖情况，如图2(b)所示的Cu1，反映了新型叉指电容本身的电容情况；另一个为只考虑表面覆盖厚度为h的薄膜介质的情况，薄膜的有效介电常数为εs-εa，如图2(c)所示的Cu2，反映了表面薄膜对电容的影响，此时新型叉指电容传感器的半电极电容Cu满足Cu=Cu1+Cu2。

1.2 空气中无介质覆盖的表面电容模型

建立平面叉指电容的解析模型有多种方法，其中保角变换法具有相对清晰直观的求解过程和较高的解析精度[15]，因此应用较多。本文采用以许瓦兹-克里斯多夫变换为中心的保角变换序列[16-17]，把电极上方的半电极电容映射为平板电容，具体过程如图3所示。

首先，在Z平面建立半电极电容Cu1的空间坐标模型，使实轴垂直穿过电容平面上所有的叉指电极，虚轴垂直于电容平面。设电极宽度为W，电极间隔为G，则半电极位于Z平面实轴上0到W/2之间，虚拟等位面平行于虚轴平面，距离虚轴(W+G)/2，高度为无穷大，电容Cu1由Z平面第一象限中的2条粗实线代表的电极平面和无限面积阴影部分空气介质构成。为了更清晰地表述变换过程，在Z平面的第二象限与第一象限对称作图。

其次，用式(2)将Z平面上半平面-(W+G)/2到+(W+G)/2的无限高带状区域变换到T平面的整个上半平面，带状区域的边界落在T平面实轴上：

(2)

表1 许瓦兹-克里斯多夫变换映射表

根据表1整理得到的映射公式如公式(3)所示，可见W平面可用T平面的第一类不完全椭圆积分表示，其中Ki为积分的模。

(3)

(4)

式中：ε0为真空介电常数；εa为空气的相对介电常数；L为电极长度，m；Cu1为空气中表面无覆盖时的电容，F。

1.3 有限厚度介质覆盖的表面电容模型

与1.2节类似，Z平面建立在厚度为h的介质覆盖下半电极电容的空间坐标模型，如图4所示。电容Cu2由Z平面第一象限中的2条粗实线代表的电极平面和长方形内的阴影部分介质构成。

在应用许瓦兹-克里斯多夫变换之前，需要把此有限面积的阴影部分映射到整个复平面的第一象限，步骤如下：

(5)

θ2(0,q)和θ3(0,q)为第二和第三类雅可比θ函数[18]，在计算时取其前100项进行累加近似，可避免matlab对此复杂函数的符号积分计算不稳定的问题。

第2步，以模为K的雅可比椭圆函数sn(X,K)将X平面的矩形区域映射到Y平面的上半平面[19]，即令Y=sn(X,K)，将垂直于实轴的虚拟等位面映射为实轴上的直线段。

第3步，利用式(6)将Y平面的上半平面映射到T平面的上半平面，使各电极线及介电材料在T平面的分布具有与图3的T平面相同的形式。

(6)

(7)

式中εs为敏感薄膜的相对介电常数。

2 制造与实验

2.1 新型叉指电容制造

以电极占空比η为变量，分别固定W和G的值，按表2所示参数设计并制作了一批新型叉指电容PCB电路。

表2 新型叉指电容PCB电路电极参数 mm

因受PCB工艺精度的限制，要求最小线宽和线距不能小于0.127 mm，考虑到边缘电极宽度减半，因此表2中所选参数以0.21 mm为极限，小于0.127 mm宽度的半电极线按0.127 mm处理。每块PCB上交扣叉指对的数量N=8，叉指有效长度L=33 mm，每组(W,G)对应的参数组合各加工5块PCB，每块PCB采用双层板结构，板厚1.6 mm，顶层为电极层，底层铺铜，铜厚1盎司，表面绿油厚度0.01 mm。一块电极占空比η=50%的新型叉指电容PCB板的实物图如图1(d)所示。为了进行频率稳定性对比测试，还制作了电极占空比为50%的基本结构PCB叉指电容，如图1(c)所示。

忽略PCB表面绿油的影响，可以把图1(d)所示的新型叉指电容看作空气中无介质覆盖的平面电容结构，适用式(1)和式(4)的联合模型：

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(8)

式中：C0为Cu1之外所有固定电容的组合值，F；Ci为式(4)中Cu1的组合值，F。

当新型叉指电容表面覆盖一定厚度的介电材料时，根据1.1节的层分解理论，其电容值适用式(1)、式(4)和式(7)的联合模型：

(9)

式中Cf为式(7)中的Cu2组合值，F。

以上模型并没有考虑C0的算术解，因为叉指电容用作表面电容传感器时，通常采用比较检测前后电容差的方式度量检测对象的参数变化，此过程可以消除固定电容的影响。当采用直接接触式进行介质测量时，适用式(8)，此时εa表示直接接触介质的介电常数，测量前后传感器电容的差分值只取决于εa的变化，C0被消除；当采用覆盖敏感薄膜的结构形式进行介质测量时，适用式(9)，此时测量前后传感器电容的差分值只取决于薄膜介电常数εs的变化，C0和Ci作为固定电容部分都被消除。

2.2 新型叉指电容检测实验

2.2.1 实验设置

新型叉指电容检测实验设置如图5(a)所示。在电容PCB板各电极接线焊盘分别焊接芯径为1.12 mm，长度为10 cm的测试导线，测试导线的另一端接入一块具有等电位隔离功能的辅助电路板，等电位隔离的基本原理如图5(b)所示，通过运放缓冲电路使电容正极(+)和隔离正极(I+)之间、电容负极极(-)和隔离负极(I-)之间保持电位相等、电气隔离，其中电阻R起静电泄荷作用，当隔离电极处于悬空状态时可防止其表面积累电荷。在PCB板的电容正负电极接线焊盘处还分别焊接长度为3 cm的测试导线，把开尔文夹的正负夹钳夹在正负测试导线上，用精密LCR数字电桥(TH2827C)进行电容测量。为了减小导线对电容的影响，把开尔文夹通过工作台的万向臂悬空夹持并左右分开。

2.2.2 电容本体检测

将不同电极占空比的每块新型叉指电容PCB板顶层向上置于桌面空气环境中(19 ℃室温，32%相对湿度)，在10 kHz频率下进行电容本体检测实验，其中电极占空比为0.3、0.5和0.7的新型叉指电容各有5块PCB板，电极占空比为0.4和0.6的各有10块PCB板，测量结果Ct与式(8)中上表面总电容Ci的对比情况如图6所示。

图6(a)中，电极占空比η的步长为0.1，Ci为根据式(8)计算得到的PCB板新型叉指电容在0.1～0.9电极占空比之间的上表面电容值，Ct为在0.3～0.7电极占空比之间实测总电容值。对于电极占空比为0.4和0.6各自的10块PCB板，每种参数组合的5块PCB板之间的实测电容值没有明显差异，放到一起统计和显示。实验结果显示，PCB板的工艺精度对检测结果的一致性影响较大，当电极占空比为0.3时，电极宽度只有0.21 mm，半电极宽度已经超过PCB工艺的加工精度极限，测量值相对于均值的偏差达到了±4.81%；其次为电极占空比等于0.7时，相对偏差为±3.94%；其他电极占空比的相对偏差均在±3%以内。从图6(a)可以看出，Ci和Ct之间存在较大的差值，而且随着增加差值增大。继续以Ci为横坐标，以Ct均值为纵坐标绘制在0.3～0.7电极占空比之间的理论和实测电容值对比情况如图6(b)所示。可见，理论计算值和实际测量值之间存在高度线性相关性，可用一次线性方程(10)进行拟合：

Ct=7.5Ci+3.8

(10)

式(10)的最大拟合相对偏差仅为0.34%，其中系数7.5来自PCB板内部的空间电容分量和电容正负电极侧面电容分量的综合贡献，常数3.8为模型精度、焊接、引线、加工和测量等因素导致的系统误差，其中因交扣叉指结构导致的电极末端转折段的表面电容占有重要因素。

2.2.3 传感特性实验

PCB板新型叉指电容的传感特性实验包括2个部分：首先，在1 kHz、10 kHz、100 kHz、500 kHz和1 MHz测量频率下，分别测试电极占空比为50%的新型叉指电容和基本结构叉指电容，进行两者之间的电容频率稳定性对比；其次，将80 g/m2的A4打印纸(每张厚度约0.1 mm)剪裁为电容PCB板大小，在一块同样尺寸的ABS板上每次滴1 mL的PVAL液体胶并抹匀后将胶水转印到纸面，分别制备2、4、6、8、10、12张叠放纸张，放置1 h后覆盖到电容PCB板表面，对新型叉指电容有效表面感知高度进行检测。电容表面覆盖纸张的检测情况如图5中嵌入式小图所示。

图7(a)给出了基本叉指电容(基本IDC)和新型叉指电容(新型IDC)的频率稳定性情况。其中大图曲线为实际测量值，同一频率点下不同PCB的测量相对误差均在±3%以内；嵌入式小图为实测电容值的平均值在不同频率下相对于1 kHz频率测量值的变化百分比。可以看出，随着频率增高，实测电容值增大，但是新型叉指电容的增长幅度稳定地小于基本结构叉指电容。从1 kHz到1 MHz，基本结构叉指电容的电容值增加了9.45%，新型叉指电容的电容值增加了8.62%，约为前者的91%。受实验条件所限，TH2827C最高只能测到1 MHz，但是根据文献[13]结论，可以预测新型叉指电容将会比基本结构叉指电容具有更好的高频稳定性。

图7(b)给出了电极占空比为0.5的新型叉指电容有效表面感知高度的实际测量值和理论计算值的对比情况，Ct为测量值，3条曲线Cf为不同电极占空比下式(9)中计算得到的表面介质厚度从0.2～1.6 mm的电容分量，计算时取纸张的相对介电常数为2.5。由于实测总电容值在40 pF以上，而计算得到的表面电容分量在5 pF左右，为了对比清晰起见，图中曲线数据为不同厚度介质电容减去0.2 mm厚介质电容的增量，误差线为实际误差相对于0.2 mm厚度介质电容的比值。

由图7(b)可见，新型叉指电容的容值随着覆膜厚度的增加而增加，刚开始增速很快，然后逐渐放缓直到稳定。电极占空比越大，随膜厚增加表面电容增加值越大，电容增速拐点出现得越晚，电容的有效表面感知厚度和灵敏度也就越大。对于0.5的电极占空比，理论和实测曲线都在0.8 mm膜厚处出现明显的增速拐点，但实测曲线的平稳性要差得多，而且随着膜厚增加电容值的增幅更大，这可能是由以下原因引起：实验时堆叠纸张之间存在不规则的气泡分布；纸堆与PCB表面难以完全贴合，但是随着纸堆变厚，贴合度相对变好；纸张密度的不一致导致介电常数的波动等。但是总的来说，实验数据还是从定性层面验证了理论模型的预测趋势。

3 结束语

本文设计的新型叉指电容，利用等电位隔离电极技术，有效地消除了基本结构叉指电容最外侧电极的边缘场泄漏和衬底下方电场泄漏产生的不可控寄生电容，再结合边缘电极的宽度减半设计和以许瓦兹-克里斯多夫变换为中心的保角变换，得到了更加简洁、准确的电容解析模型。新型叉指电容采用交扣叉指电极结构代替单指交错电极结构，在不降低结构通用性的基础上，具有更加优良的高频性能，同时有利于形成严格的周期结构，从而具有更好的解析模型通用性。新型叉指电容的设计思路尤其对薄衬底柔性叉指电容传感器的信号稳定性设计具有借鉴意义，其通用解析模型可以直接指导叉指电容传感器的参数设计。新型叉指电容适用PCB工艺进行制造，具有良好的电容可控性、周期拓展性、频率稳定性和加工便利性。