量子态叠加与经典波叠加的本质区别

高峰，彭琼

（1.衡阳师范学院 物理与电子工程学院，湖南 衡阳 421002；2.湖南交通工程学院 基础课部，湖南 衡阳 421001）

量子力学与相对论物理是近代物理学的两大理论支柱，这是20世纪初期基础物理学取得的两个意义重大的成就。现在，它们已经成为人们研究物质结构、物质运动规律、物质的物理和化学性质的主要理论武器。量子力学是反映微观粒子运动规律的基础理论，可以分为初等量子力学（简称为量子力学）及高等量子力学，初等量子力学主要研究微观低速领域的物理问题，而高等量子力学主要研究微观高速领域的物理问题。量子力学中的态叠加原理是量子力学的一个基本原理，也是一条基本假设，在量子力学理论体系中占有相当重要的地位。多年来，国内外许多学者对量子态及量子态叠加原理进行了深入研究，取得了大量研究成果。例如20世纪中叶，人们通过对量子态基本特性的研究并结合信息科学与计算机科学，发展了今天的量子信息学和量子计算。量子通信的绝对保密性及量子计算机的高速度运算能力和并行计算能力将使人类的通信和计算水平提高到崭新的水平。但是，在以往的研究中，人们大多都是研究量子态及量子态叠加原理本身[1-5]。对于量子态及其某些相关问题的研究和讨论还在继续，例如对于力学量算符的本征态系的完备性问题、关于量子态的测量问题等等都还有待人们继续探索[6]。

经典力学中，任何物体的运动都可以被精确确定，描写物体运动学特性及动力学特性的物理量（如坐标、动量、加速度、时间、能量等）在任意时刻都具有确定的数值，这些物理量在任意时刻都可以被精确测量，所以任何宏观物体的运动都具有确定的运动轨迹（或运动轨道）。而在量子力学中，由于微观粒子具有波粒二象性，这使得许多物理量不能同时具有确定的数值，如坐标和动量、能量和时间就不能同时具有确定值。因此，微观粒子没有确定的运动轨迹，描写它们运动学特性和动力学特性的物理量就具有了统计意义[7]，这使得经典物理态与量子态的物理特性有了本质区别。对于量子态叠加与经典波叠加之间的本质区别，只有少数文献有所提及，却并没有论述两者之间的本质区别到底在哪里。经典力学中，波的叠加服从独立性原理（或称为波叠加原理），量子态的叠加是否也存在类似的原理，这两者之间的根本区别何在，本文将依据量子态及力学量的测量理论，深入分析经典物理学中机械波的叠加与量子态叠加的本质区别，希望可以使人们更加深刻地理解量子态的特性及量子态叠加原理的物理本质。

1 机械波叠加的基本理论

式中：A为振幅；ω为圆频率；u表示波在介质中的传播速度；ϕ是初位相。

大量的实验事实表明，当两个或两个以上的波源激发的波在同一介质中相遇时，各列波在相遇前和相遇后都维持它原来的某些特性（例如频率、波长、振动发生方向及传播方向等）不变，这就是机械波叠加的独立性原理[8]。正因为如此，在嘈杂的公众场合中，各种各样的声音都进入人耳，但人们还是可以区分各种不同的声音。但是，在各列波相遇的范围内，每一个质元的振动都是由每列波单独在该处引起的振动的合成，所以合成波在每一时刻都具有确定的能量和动量。

机械波是由机械振动在介质中传播而形成的，因此讨论波的合成理论则要讨论振动的合成。为简单起见，设有两列频率相同、振动方向相同的平面简谐波，它们的振动方程分别为

式中:A1和A2分别为两列波相应的振幅；ω为两两波源的圆频率；ϕ10，ϕ20分别为两列波相应的初位相。如果不考虑介质对波的能量吸收，则当这两列波在同一介质中分别经过距离r1和r2单独传播到空间某一点P时，它们在该点引起的振动分别为

式中λ为两列波的波长。显而易见，P点同时参与了两个振动方向相同、频率相同的简谐振动。利用旋转矢量法可以证明其合振动也是简谐振动，它的圆频率与两个分振动的圆频率是一样的。设P点的合振动的振动方程为

利用余弦定理可以求出合振幅为

合成波的位相为

这两列波在P点所引起的两个振动的位相差为

如果两列波的初位相为0或相等，则有

由此可见，两列波在P点的位相差仅由它们的波程差决定。此外，由（10）式可以看出，对于给定的P点，两个分振动的位相差是一个常量。但是，在波场中的不同点，因为两列波的波程不相同，所以它们的位相差不同。

另一方面，波的强度I正比于其振幅的平方，由（8）式很容易得出合成波的强度为

在初中物理电学的计算题中遇到求解过程很复杂，而且解题的方法有很多种题时，这主要考验学生的综合能力，学生在解题的过程中可能出现由于粗心求解错误的情况，影响最后结果的得出。这时教师可以利用设未知列方程的方法，避开复杂的求解过程，帮助学生很好的解决问题。

（12）式表明，合成波的强度并不等于这两列波单独在空间存在时某点强度的代数和，这说明波的强度（能量）在空间要重新进行分布。

现在讨论合成波的能量。考虑两列波在弹性介质中传播，由于介质中质元的振动将会使介质产生形变，因而，它们不仅具有动能，同时也具有势能。设介质的体密度为ρ，在介质中任取一体积元d V，其质量为

体积元内质点的动能为

式中v为介质中质点的振动速度，不是波的传播速度。

由（7）式可以求得

将（13），（15）式代入（14）式，得

根据杨氏弹性模量的定义及胡克定律可以求得弹性介质中体积元d V内质点的势能。设该体积元的截面积为S，则该体积元所受的弹性力为

由（18）、（19）两式可以看出，在波的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且位相相同，它们同时达到最大或同时等于0。于是得到介质中体积元d V内质点的总机械能为

根据（9）式可知ϕ是r1和r2的函数，体积元内的总机械能将随空间和时间发生变化，所以体积元内的机械能是不守恒的。以上得出的结果告诉我们，合成波的总能量中无法独立地保留两个分波的能量。

上面讨论了两列频率相同、振动方向相同的经典波的合成，对于一般性的两列或多列波的合成，情况要复杂得多，虽然各列波的频率、波长、振动方向及传播方向都会保持不变，但要求出合成波在空间某一质元的合振幅及位相也是十分复杂的，本文不再论述。

2 量子态的叠加原理

在量子力学中，因为任何实物体都具有波粒二象性，粒子的坐标和动量不能同时具有确定值，这将使得它们没有确定的运动轨迹，所以必须用波函数来描写体系的状态，这与经典体系的状态由坐标和动量来描写是完全不同的，波函数统一地描述了体系的粒子性和波动性。虽然量子态具有与经典物理态所不具备的一些典型特性，如相干性、纠缠性及不可克隆性等，但是，所有的事实都表明量子态也可以叠加。对于一个量子体系，如果ψ1，ψ2，…，ψn，…为体系的可能状态（简称为可能态），那么它们的线性叠加

仍为该体系的一个可能态，式中Cn为任意常数。这就是量子力学中的态叠加原理[9]。

在坐标表象中，波函数是坐标和时间的函数ψ(rˉ,t)，因此，就物理上来说，量子态叠加原理通常包含两种不同的含意：第一种含意是指某一固定时刻的叠加。从波动观点来看，这是不言而喻的。因为对于某个固定时刻，所谓可能态实际上是一个可以任意给定的初始条件，此时，（21）式只是表明几个函数的相加等于另一个函数，并无物理概念。不过，就经典观念而言，人们就无法理解（21）式所表达的是一幅什么样的物理图像，例如，将一段粉笔放在讲台上和抛在空中这两种可能状态的叠加，我们就无法知道叠加出一个什么样的状态。事实上，薛定谔（Shordinger）在1935年就提出了一个佯谬——薛定谔猫，其核心问题就是一只猫能否处于活态（猫活着时的状态）与死态（猫死了时的状态）的叠加态，这个问题牵涉到微观与宏观及态的测量问题，历史上有许多学者对此问题进行了讨论和实验研究，时至今日仍然还有少数学者在研究薛定谔猫的问题。第二种含意是指随时间的变化的叠加。此时，（21）式实际上为

这里的ψ1(r→,t)，ψ2(r→,t)，…ψn(r→,t)，…及ψ(r→,t)是指一系列可以实现的运动，也就是满足薛定谔方程的可能的运动，这就要求薛定谔方程必须是线性方程，因为只有线性方程，其解才具有叠加特性。

（22）式在形式上虽然十分简洁，但它所蕴含的物理信息却非常丰富又深奥。下面的分析将使我们看到，量子态的叠加是相干叠加，而且每一个量子态的所有物理特性都将保持相对独立性。

3 经典波叠加与量子态叠加的本质区别

为了更加清楚地看出经典机械波叠加与量子态叠加的本质区别，我们首先来比较一下经典机械波与量子物理学中物质波的区别。前面已经提到机械波是质点振动状态或物理量的振动在介质中的传播，这是一种物理存在，介质中的任一质元在任意时刻的状态都可以由坐标和动量来描写。而量子态是由波函数ψ来描写的，波函数统一地描写了实物体的粒子性和波动性，根据物理学家波恩（Born）的解释，它是一种概率幅，波函数的模的平方（即|ψ|2）表示粒子在空间某点附近单位体积内出现的概率，因此物质波是一种概率波。这种概率波既不同于经典物理学中的机械波，也不同于大家熟悉的电磁波。我们知道粒子在整个空间出现是一个必然事件，所以粒子在空间某点附近出现的概率具有相对性，因此如果把波函数乘以任意常数C，这并不改变该波函数所描写的量子态的物理本质，即ψ与Cψ描写的是同一量子态。对于机械波，情况就不一样了，若在（1）式右边乘以常数C，它将表示完全不同的另一机械波了，因为机械波是物体振动状态在媒质中的传播，这会改变振动物体的振幅，而振幅是描写机械振动的重要物理量。

现在具体分析量子态叠加原理。众所周知，测量是进行物理学研究的重要手段之一，如果我们要对量子体系进行态和力学量的测量，由（22）式可知，在任意时刻是无法确定体系到底处于哪个状态的，不过，我们可以确定体系处于各个状态的概率，它们分别为，…,这就是说对于一个量子体系，它处于各个状态都具有一定的可能性。为简单起见，考虑某一量子体系具有两个稳定的状态，分别为

由（23）式及（24）式可知，两个量子态叠加以后，各个量子态所对应的能量值依然分别存在于叠加态中。依据量子力学中的力学量测量理论，如果要对处于态ψ(r,t)的体系进行能量测量，则有可能测得的能量为 1E，也有可能测得的能量为 2E，并且测得能量值为E1的概率为|C1|2，测得能量值为E2的概率为|C2|2，除此之外的任何能量值都是不可能测得到的。不仅如此，若要对处于ψ(r→,t)态的体系的动量、角动量等物理量进行测量，也将只有可能测得态ψ1(r→,t)及ψ2(r→,t)分别对应的动量和角动量。例如测量体系的动量，只需要将波函数ψ(→r,t)按照动量算符的本征态展开，即

其中C(p→,t)为展开系数，ψp(→r)为动量算符在坐标表象中的本征态，它们分别为

就可以得到测得动量的可能值，测得各可能值的概率为对应的各展开系数的模的平方。对于两个以上量子态的叠加，可以同理讨论。而对于机械波，无论是相干波还是非相干波的叠加，情况就完全不同了，合成波的能量、动量等在任意时刻都具有确定的数值，不可能出现多个可能值的情形[10]。

4 结束语

经典物理学中，无论是机械波还是电磁波，它们都是物质世界中物质存在的一种形式，两列或两列以上的机械波或电磁波叠加后虽然可以保持其波长、频率、振动方向、波的传播方向等不变，但是叠加后的合成波已经是一种全新的物理存在，在任意时刻都具有确定的能量、动量等。而在量子世界里，量子态蕴含了概率的信息，实物体的波动性表现为概率波，在本质上不同于机械波和电磁波，正是这种统计特性带来了对物理量测量的不确定性[11]。根据上面的分析讨论，多个量子态叠加以后，各个量子态在叠加前的全部物理信息都将保留在叠加态中。鉴于此，我们也可以将该结论称之为量子态叠加的独立性原理。我们知道，波长、频率是描述波动性的物理量，能量、动量是描述粒子性的物理量。经典波的叠加中，描述波动性的物理量在两列或两列以上的波叠加后将保持不变，而在量子态叠加中，描述粒子性的物理量在两个或两个以上的量子态叠加后将保持不变，根据德布洛意关系，这是不言而喻的。

另一方面，由（24）式可知，量子态的叠加一定是相干叠加，这是由量子态本身的特性决定的，这种相干叠加在物理上不需要满足任何特定的条件。而经典波的叠加则不一样，只有满足某些特定的物理条件（如频率相同、振动方向相同、位相差恒定）的两列波才能形成相干叠加。