新高考视域下全国卷等差数列分析及备考建议

陈焕涛

[摘  要] 等差数列是高中数学的重要内容之一，高考全国卷等差数列是必考内容，分析、研究高考全国卷等差数列内容对高考备考具有重要意义.文章主要通过对比分析近五年全国卷等差数列考点（包括核心考点归纳、题型分布、考点分布、难度分析），分析等差数列考查目标、典型考题，总结命题的一般规律，最后给出备考建议，为新一轮复习备考提供参考.

[关键词] 新高考;全国卷;等差数列;分析;备考建议

等差数列是高中数学的重要内容之一，承载着培育学生个体发展和适应社会进步所必需的数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养的重要作用. 新课标全国卷重视对等差数列的定义、基本性质、通项公式、前n项和公式等基础知识的考查，基于等差数列考查裂项相消法、错位相减法在求数列前n项和中的应用;考查方式相对固定，重点突出对等差数列定义的理解和通项公式及前n项和公式的运用. 文章基于近五年新课标全国卷等差数列的考点对比分析，总结命题的一般规律，为新一轮复习备考提供参考.

[?]近五年全国卷等差数列考点对比分析

1. 核心考点归纳

新课标全国卷对等差数列相关知识点的考查主要集中于通项公式和前n项和公式，基于等差数列定义研究数列的通项公式，再根据等差数列的基本性质处理数列中项与项之间的关系，最后利用前n项和公式研究某一项或是某几项的和. 考查频率很高，几乎每年必考，与文理科没有相关性.

2. 题型分布

等差数列在全国卷中多以选择题的形式出现，基于等差数列的基本性质重点考查学生对通项公式和前n项和公式的理解与掌握情况. 如果以客观题的形式出现，必然会出现两个难度有明显差异的客观题，可能都是选择题，也有可能是一个选择题和一个填空题，分值固定为10分，选择题多分布在前8题，属于基础题，填空题多出现在15题或者16题，属于中等难度偏上的题目;如果以解答题（新高考解答题必考）的形式出现，一般出现在前3题的位置，分值固定为10或12分，不论是文科还是理科，这是新课标高考近五年考查数列知识点所遵循的规律.

3. 考点分布

选择题一般只考查单一知识点，以等差数列的基本性质或通项公式为主;解答题通常设置两个问题，第一问重点考查等差数列的定义及通项公式，第二问重点考查求和公式，往往与等比数列融合构造新数列，考查利用错位相减法、裂项相消法、分组求和法计算数列的前n项和. 将等差数列隐藏于递推关系中，考查学生在研究数列递推关系的过程中发现并识别等差数列，从而借助数列的通项公式与前n项和公式解决一些实际问题，递推关系一般只局限于最基本的形式，难度不会太大，重在突出思想性和方法性.

4. 难度分析

新课标全国卷对等差数列相关知识点的考查形式单一，突出对基础知识与基本技能的考查，为发展学生数学抽象、逻辑推理及数学运算核心素养服务，整体难度不大;部分在知识交汇点处命题或以数列为背景的创新题难度相对较大，属于客观题的压轴题或是次压轴题，具有一定的选拔功能，得分率普遍不高且分值比重较小.

[?]近五年全国卷等差数列考查目标对比分析

1. 考查内容稳定

从近五年课标全国卷等差数列试题看，等差数列的试题考查目标和涉及的内容近5年几乎没有变化，而且文理科要求也基本一致，这与文理不分科趋势一致，试题难度也比较稳定.

2. 试题凸显考查素养

尤其这两年的等差数列试题，问题呈现综合化、情景化，还以结构不良试题形式呈现，与中国高考体系的发展要求吻合，凸显素养立意，具有很好的选拔和引导教学的作用.

[?]典型考题分析

1. 考查单一知识点

例1：（2020全国2卷文14）记S为等差数列{a}的前n项和.若a=-2，a+a=2，则S=________.

例2：（2021全国2卷文18）记S为数列{a}的前n项和，已知a>0，a=3a，且数列{}是等差数列，证明：{a}是等差数列.

命题立意：例1与例2都单一考查等差数列内容，例1题设条件给出数列的某几项的关系，突出基本量的求解和方程思想，最后利用公式求前10项的和. 例2已知数列{}是等差数列，再根据a与S的基本关系，结合等差数列定义，经过运算推理完成证明，试题难度中等，但试题的求解过程需要对等差数列概念本质的理解，逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养的要求较高.

2. 综合考查通项公式与前n项和公式

例3：（2018全國1卷理4）设S为等差数列{a}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a=（  ）

A. -12 B. -10 C. 10 D. 12

例4：（2019全国1卷理9）记S为等差数列{a}的前n项和，已知S=0，a=5，则（  ）

A. a=2n-5 B. a=3n-10

C. S=2n2-8n D. S=n2-2n

例5：（2019全国3卷理14）记S为等差数列{a}的前n项和，若a≠0，a=3a，则=________.

例6：（2021全国新高考1.17）已知数列{a}满足a=1，a=

a+1，n为奇数，

a+2，n为偶数.

（1）记b=a，写出b，b，并求数列{b}的通项公式;（2）求{a}的前20项和.

例7：（2021全国2卷理18）已知数列{a}的各项均为正数，记S为{a}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{a}是等差数列：②数列{}是等差数列;③a=3a. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

命题立意：例3、例4、例5考查等差数列通项公式与前n项和公式的综合应用，例3、例4主要是根据题意运用相关公式列有关基本量的方程，进而得出通项公式、前n项和公式，这两题都属于简单题;例5主要利用通项公式化简条件，用前n项和公式转化问题并将化简后的条件代入即可得出答案，属于简单题;例6结合奇偶项给出递推关系，需要分析、推理后得出等差数列，有一定的灵活性，真正体现对数学素养的考查，有很好的区分度，属于中档题;例7更是以结构不良试题形式出现，主要考查等差数列的概念以及通项公式和a与S的基本关系，本题的求解需要学生掌握数列的本质，熟练数列基本知识，具备一定的推理论证能力和解题策略等，属于中档题.

3. 等差数列与等比数列的简单综合

例8：（2017新课标3卷理9）等差数列{a}的首项为1，公差不为0. 若a，a，a成等比数列，则{a}前6项的和为（  ）

A. -24 B. -3 C. 3 D. 8

例9：（2017新课标2卷文17）已知等差数列{a}的前n项和为S，等比数列{b}的前n项和为T，a=-1，b=1，a+b=2.

（1）若a+b=5，求{b}的通项公式;

（2）若T=21，求S.

例10：（2019年全国2卷理19）已知数列{a}和{b}满足a=1，b=0，4a=3a-b+4，4b=3b-a-4. （1）证明：{a+b}是等比数列，{a-b}是等差数列;（2）求{a}和{b}的通项公式.

命题立意：例8、例9综合考查等差数列与等比数列的基础知识，题目涉及定义、基本性质、通项公式和前n项和公式，考查学生对数列基础知识的理解和掌握情况，题目属于简单题;例10题设已知两个递推关系式，需要通过分析、推理完成等差、等比的证明，进而求得通项公式，有一定的综合性，该题求解对分析能力、解决问题能力，逻辑推理、数学抽象、数学运算等素养要求较高，属于中档题.

4. 基于等差数列考查裂项相消法和错位相减法

例11：（2017新课标2卷理15）等差数列{a}的前n项和为S，a=3，S=10，则=________.

例12：（2020全国1卷理17）设{a}是公比不为1的等比数列，a为a，a的等差中项. （1）求{a}的公比;（2）若a=1，求数列{na}的前n项和.

例13：（2021全国1卷文19）设{a}是首项为1的等比数列，数列{b}满足b=. 已知a，3a，9a成等差数列.

（1）求{a}和{b}的通项公式;（2）记S和T分别为{a}和{b}的前n项和，证明：T<.

命题立意：基于等差数列考查一类新数列求前n项和的一般方法，重点考查学生的数学抽象和数学运算核心素养;裂项相消法是求解一类由不同等差数列构造而成的新数列前n项和的重要思想方法;错位相减法是求解一类由等差数列乘以等比数列构造而成的新数列前n项和的重要思想方法，也是等比数列前n项和公式的推导方法之一. 两种思想方法对优化计算和培养学生探究并解决实际问题的能力具有重要意义.

5. 考查等差数列与函数、不等式等综合应用

例14：（2018全国2卷文理17）记S为等差数列{a}的前n项和，已知a=-7，S=-15. （1）求{a}的通项公式;（2）求S，并求S的最小值.

命题立意：例14考查利用等差数列的首项与前n项和公式求解数列的基本量，进而考查前n项和的最值问题，渗透数列与函数的逻辑关系，类比函数的单调性研究数列的增减性，从而解决前n项和的最值问题;例13的第（2）问将数列与不等式融合在一起，体现综合性，意在考查学生的数学抽象和逻辑推理核心素养，突出转化与化归的数学思想，使得题目更具思想性和方法性.

[?]备考建议

1. 夯实双基，控制难度

等差数列客观题主要考查等差数列的定義、基本公式及其基本性质，突出了“小、巧、活”等特点;解答题主要考查数列的运算，即用有关公式和性质求解基本量或通过简单递推式求通项，一般出现在第17题，多以简单题和中档题的形式呈现，在等差数列与函数、不等式交汇处命制的综合题难度也不大，重点对基础知识、基本技能与基本思想方法的考查.

2. 结合高考题研究课本例题及习题

新课标高考全国卷注重对基础知识与基本技能的考查且试题难度整体不大，对等差数列相关知识点的复习备考要重点关注等差数列的定义、基本性质、通项公式、前n项和公式等核心考点，吃透概念本质，会推导通项公式和前n项和公式，能基于实际问题情境利用公式和性质解决实际问题. 回归课本对开展等差数列的复习备考具有重要意义，对课本典型例题或是习题结合高考真题进行深度研究与二次开发是高考一轮复习备考的重要方式，给出一个案例供参考.

题源（人教A版必修5 P例3）已知数列{a}的通项公式为a=pn+q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

设计意图：一轮复习时学生已经了解了等差数列的定义，会根据首项和公差求通项公式，但是对等差数列的证明很多学生只是停留在了解的认知水平，还达不到考纲要求，解决这个课本例题一方面可以帮助学生经历等差数列的证明过程，另一方面加深对等差数列通项公式的认识，清楚地认识到p为公差，p+q为首项，也经历了一个二级结论的产生过程，为后期引导学生总结归纳数学问题的特征与结论奠定认知基础.

变式1：（情境迁移）（人教A版必修5 P例3）已知数列{a}的前n项和为S=n2+，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？

变式2：（改变条件）已知数列{a}的前n项和为S=n2++1，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？

变式3：（总结归纳）已知数列{a}的前n项和为S=pn2+qn+r，其中p，q，r为常数，且p≠0，数列{a}在何种情况下是等差数列？

设计意图：变式1、2、3在于引导学生基于元认知水平挖掘前n项和之间的逻辑关系，总结一般方法;经历问题解决的过程，总结问题解决活动经验，挖掘数学问题的本质.

变式4：（改变条件）已知数列{a}是等差数列，请证明2a=a+a=a+a.

变式5：（一般化）已知数列{a}是等差数列，2a=a+a（n>1）是否成立？2a=a+a（n>k>0）是否成立？据此你能得出什么结论.

设计意图：变式4、5意在引导学生利用等差数列通项公式证明等式成立，体会并总结等差数列的基本性质，在引导学生利用已有知识经验解决实际问题的过程中还原知识的发生与发展过程，对等差数列相关知识点的复习要从机械的解题训练中解脱出来，注重变式教学挖掘问题的本质，发展学生的数学抽象和逻辑推理核心素养.