基于学生思维 解决学生问题

王弟成

(江苏省苏州实验中学 215011)

提高高三数学复习效益，提高学生数学综合能力，提升学生核心素养，让学生获得高考理想成绩，是高三教学的重要目标．高三教学中我们始终坚持“基于学生思维，解决学生问题”的教学方法，让学生思维先行，展示学生思维，学在教的前头，教师针对学生“已有思维”及时诊断，发现问题，引导学生质疑探究，激发学生思维，比较改进，优化提升．在解决学生问题过程中落实四基，发展四能，提升素养，取得较好的复习效果．现以一道高考函数综合题求解教学为例，谈谈我们的教学思考．

题目：(2018全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；

(2)在(0,+∞)只有一个零点，求a．

第(1)问给出a=1，f(x)是具体函数，学生按步骤有序思维，连续求导，判断单调区间，求最小值，再判断单调性，寻求最小值．难度不大，学生不存在问题，都能正确解答．

学生解答主要是第(2)问不会解、不严谨、不全面，所以课堂教学主要针对(2)问教学．

1 展示解法 指出问题 探究完善

学生解法1由f(x)=ex-ax2，得f′(x)=ex-2ax，

设g(x)=ex-2ax，则g′(x)=ex-2a．

(i)当a≤0时，g′(x)=ex-2a>0，

所以g(x)=ex-2ax在(0,+∞)上单调递增，

又g(0)=1，所以g(x)>g(0)=1>0，

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，

所以f(x)>f(0)=1>0，

所以f(x)在(0,+∞)上没有零点．

(ii)当a>0时，由g′(x)=ex-2a>0得，

当x∈(-∞,ln 2a)时，g(x)单调递减，

当x∈(ln 2a,+∞)时，g(x)单调递增．

所以在(0,+∞)上，g(x)有最小值，即

g(x)min=g(ln 2a)=2a-2aln 2a

=2a(1-ln 2a)， ……

教学片断1: 改进讨论过程 优化讨论切入点

师：上面是部分同学的解法，主要是从参数a的一般情况讨论起，分a≤0,a>0等情况讨论，同学们考虑是否可以改进？

生2提出，讨论可以改进，由于当x≥0，此时ex≥1，所以可以直接讨论2a与1的关系.

学生解法2由f(x)=ex-ax2，

得f′(x)=ex-2ax，

设g(x)=ex-2ax，则g′(x)=ex-2a．

由于x∈(0,+∞)，所以g(x)=ex>1．

g(x)min=g(ln 2a)=2a-2aln 2a

=2a(1-ln 2a)，

教学片断2: 点出关键问题 师生探究完善

学生一片沉默，没有提出异议，显然认为这样解答可以了．这样老师先指出问题所在，以启发学生思考．

经老师提醒生3提出要说明g(x)是否有零点，仅有单调性是不够的．由于当x∈(0,ln 2a)时，由于g(0)=1，g(ln 2a)<0，g(x)是连续的，必存在x1∈(0,ln 2a)使g(x1)=0．所以g(x)一定是先正，后负，再正，因为g(x)一定有零点．

师：很好！找到这个x1是必须的，那(ln 2a,+∞)呢？要不要也说明g(x)有零点呢？否则g(x)单调递增是下列哪种情况呢？同学们为什么自觉认为是第二种情况，理由是什么？

学生4提出从直观感知，g(x)的图象应是第二种情况，但直观不能代替推理，还是要在(ln 2a,+∞)找x2使g(x2)=0，但学生普遍感到困难无多下手。

师：(1)问所证明结论ex-x2≥1能给我们什么启发？此式能说明什么问题？

在教师启发后，生5提出可以借助不等式ex-x2≥1进行放缩.由ex-x2≥1，得ex≥x2+1，所以ex>x2．所以当x∈(0,+∞)时，易证2a>ln 2a，所以g(2a)=e2a-2a·2a>(2a)2-4a2=0，所以在(ln 2a,+∞)上存在x2=2a使g(x2)=0．所以g(x)在(0,x1)为正，在(x1,x2)为负，在(x2,+∞)为正，从而f(x)先增，后减，再增．

师：同学们补充得非常好.通过第(1)问隐含的信息，结合放缩统一ex与x2关系，其目的是为方便找到x2，这也是这类问题中找点常用手法，希望同学们能够理解、掌握，并学会迁移运用．至此解法2是否就完善了？

生5提出对于f(x)也存在同样的问题，要说明是否存在零点，否则也是不完善的，也会出现如图所示情况.

由于f(0)=1>0，所以f(x1)>1，

而g(x2)=ex2-2ax2=0，

若x2<2，则f(x2)>0，此时f(x)没有零点．

生6提出由(1)得x>0时，ex>x2，若直接放缩得f(x)>x2-ax2，又x2-ax2<0，不可能成功．

师：为什么会是这样？说明什么问题？大家可以直观感觉到当x→+∞时，f(x)>0．怎么办？画画图象看能给我们什么启发？

生7提出可以将ex放大一点，考虑证明ex>x3．

师：如何证明？请大家动手．

设h(x)=ex-x3，(x>0)，证明h(x)>0．要进行三次导，很麻烦．

师：好！上面证明ex>x3，处理方法很值得我们借鉴.积式比差式好，积式求导后方便求出单调区间．还能放再大一点吗？如能证明ex>x4(在一定区间上)也行，ex>x2对我们有什么启发？如令x=2a，则有e2a>(2a)2=4a2，也可以变为e2a=(ea)2>(a2)2=a4等等，如何选择x的值，能使f(x)>0？

生9提出选择x=4a，f(4a)=e4a-a(4a)2=(e2a)2-a(4a)2>16a4-16a3>0．

师：漂亮！利用已证明结论，作适当变换，就得到所要的结果，这是最经济的事.这也是我们解题要特别注意的地方.至此我们完整地、严谨地解决此题．虽然讨论有点烦，但我们解决了，我们成功了，收获很大.下面看解法3．

教学片断3: 类比思维 发现问题 自我解决

师：这是部分同学的解法，很漂亮.繁则思变，对给定的函数通过函数与方程关系进行等价转换，把所求参数分离出来，构造出无参数函数，寻求不一样的解法，其思路明显比解法1简捷！讨论减少了，为什么会出现简捷情况？

生10认为通过分参后使所求解函数中不含有参数，函数是具体的，图象是固定的，单调性是定的，不需要对参数a分类讨论，当然简捷．

2 比较改进 优化提升

教学片断4：比较解法2与3，形成新方法

(i)当a≤0时，h(x)>0,h(x)没有零点；

(ii)当a>0时，h′(x)=ax(x-2)e-x.

当a∈(0,2)时，h′(x)<0;

当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0.

所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增．

所以h(x)在(0,2)有一个零点，

由(1)知，当x>0时，ex>x2,

此题看答案似乎很简洁，但简洁却不简单，简洁中却蕴含不简单的思维，不简单的方法，不简单思想，需要在不同解法中比较感悟，细节问题不同处理中，才能感得真谛！

3 反思感悟 改进坚持

(1)高三教学要让学生思维先行

让学生的思维走在教师的前头．高三复习不是知识、方法、思想的简单重复，更不是概念、性质、公式的简单回忆，而是学生在学习内容丰富后对知识、方法、思想的再认识，再理解．从系统的视角，联系的观点，整体的认识，对知识理解的再深化．所以高三教学是让学生建构更深层的理解，更高阶的思维，更综合的能力，更核心的素养．但高三又是学生学习后的再学习，学生已掌握基础知识、基本方法，积累了大量的数学基本活动经验，所以教学又不能同于新授课教学，学生具备先解决条件．我们复习指导原则是“基于学生思维，解决学生问题”．让学生思维先行，思在讲的前头，行在教的前面．教师有针对性地点拨、讲解，引导学生质疑探究，合作学习，从而提升能力，提高素养．

知识让学生梳理，学生自己看教材，根据一节或一单元内容自己系统梳理知识，包括概念、性质、定理等．学完一个单元后，再根据复习补充的内容进一步完善知识系统，形成有联系的知识“群”．练习让学生先做，根据课堂时间让学生课前先做一部分习题，即使课堂上补充的例习题，也要让学生先做，做后再讲，不做不讲．想法让学生先说，习题的解法、思路要让学生先说，教师针对学生思路，或启发思考，或点拨讲解，或引导探究，或总结完善．错误让学生先犯，学生有错误是正常的，有的错误也是老师防不住的，有问题先让学生暴露，在错误基础上讲解才能理解更深刻．如本节课学生解法都有问题，让学生暴露错误后再针对性探究讲解，效果更好．反思让学生先来，学习离不开反思，知识的深度理解，方法的准确运用，思路的灵活转换，思想的自觉引领，能力的提升，素养的达成，都离不开学生的自我反思，在反思中提升．总之教师要鼓励学生先行，做“解题方法的创造者，而不是习题答案的搬运工”．

(2)高三教学要基于各种资源重新设计课堂教学

教师的经验，资料的习题，学生的解答等等，都是课堂教学的资源，课前教师收集整理各种资源，课堂要基于各种资源重新设计课堂教学．本题是一道高考题，练习中全班无一位同学解答与参考答案相同，说明学生都想不到这样解，当然与之前未系统讲解过此类题也有一定关系，但参考答案思想方法又必须让学生深刻理解，所以借此题详细讲解，讲深讲透此类问题的处理方法与技巧很有必要．参考答案的方法是最简捷的解法，很多简捷的思维蕴含其中，课堂若直接呈现给学生，告诉学生，学生能接受、理解，甚至能模仿，但未必能理解其中的深意，不理解的方法是不可能迁移到新情境中的，自然谈不上灵活运用．学生的解答多集中在解法1与解法2，而这两种解法放在一起比较，集中不同优点，正好形成参考答案的解法．所以课堂教学看似无意，讲解学生的解法，实则有意设计，基于学生的解法1与解法2，在比较基础上提出解法3，学生理解自然水到渠成，甚至解法3学生都自己能创造出来．这样方法不是老师强行“介绍”的，是学生在深刻理解基础上自然形成的，学生既会，也懂，能用．既学会方法，也提升能力．这就需要教师根据各种资源灵活设计．

(3)高三教学要完善、提升学生解法，发展学生思维