基于波前整形的光经过无序介质聚焦的方法研究

刘恺欣，王宇航，王梓豪，辛 煜

（南京理工大学光学工程系，江苏 南京 210094）

光经过无序介质的聚焦以及成像一直是光学领域的热点和亟待解决的难题。使光波发生多次散射的介质为无序介质，无序介质在人们生活中普遍存在，小到常见的牛奶、墙面、纸张、油漆，大到生物组织、大气、海洋、亚波长颗粒等都是无序介质。与在确定性均匀介质中的传播不同，光波在无序介质中的自由传播会受到介质内部随机分布的颗粒的阻碍，从而发生多次散射，导致光的波矢方向和相位发生随机改变，最终使出射光场形成一系列散斑。

光波经过无序介质后形成的散斑场看似失去了入射光场的稳定分布，但其实光的相干性并没有被破坏，换言之，无序介质只是对入射光进行了编码，入射光所携带的信息并没有丢失。

如果能找到一种方法，对出射光场进行“译码”，即克服无序介质对入射光的多次散射、实现光经过无序介质的聚焦，便能获得入射光场所携带的信息，那么这将会在海洋探测、遥感、生物医学成像、肿瘤的诊断和探测等多个领域产生重大影响，因此研究光经过无序介质的聚焦问题具有非常大的价值和意义。

为了克服无序介质对光的多次散射带来的影响，实现光通过无序介质的聚焦，人们做出了各种努力。近年来，传输矩阵法、相位共轭法和波前整形法三种光场调控方法相继被提出和研究。在无序介质内部存在于入射光场无关的通道，因此可以用一个传输矩阵来描述某种特定的无序介质内光的传输特性。2010 年，GIGAN 等人利用SLM（空间光调制器）和CCD 首次在实验上测得了某无序介质样品的传输矩阵。相位共轭法则是利用相位共轭光的全息记录，再现入射光场信息。

波前整形法是不需要实际测量传输矩阵的光场调控方法，以出射光场的光强信息作为反馈信号，利用SLM 迭代优化入射波前的相位信息，直至在出射光场的目标点聚焦。本文主要介绍两种光经过无序介质聚焦的波前整形方法，分别是顺序优化方法和分区方法，针对这两种方法都设计了仿真实验，得到了分别用两种方法实现的聚焦光场，证明了这个方法的有效性。接下来对两种方法的聚焦效果进行了分析，并进行了多点聚焦和SLM 可调制区域数量变化的尝试。

1 顺序优化方法

顺序优化方法指逐个像素地调制SLM（空间光调制器）的相位信息，使入射光的相位满足某种特定需要，从而在出射光场的特定一点实现聚焦。

假设入射到SLM（空间光调制器）上第n个区域光波的复振幅可写成经无序介质后出射到CCD探测器上第m个探测区域的复振幅记为其中SLM 所利用的像素为N个，CCD 探测器所用的像素为M个。顺序优化方法的基于出射光场是来源于SLM（空间光调制器）的N个像素调制的入射光经无序介质散射后得到的线性组合，可被描述成如下形式：

式（1）中：An和分别为来自于第n个像素的光束的振幅和相位，无序介质的散射作用则用未测量的透射传输矩阵元素tmn 替代。

顺序优化方法的优化思想如图1 所示，顺序优化方法的思路是：用CCD 探测出射光场的光强为反馈信号，控制SLM（空间光调制器）上单一像素的相位从0～2π变化，当CCD接收到的目标点的光强最大时保持该像素此时相位不变，并将此时的相位存储为该像素最优相位值。如此循环，直至找到每个像素的最优相位，使所有像素保持其最优相位，最终便可实现出射光场在目标点的聚焦。

图1 顺序优化方法的优化思想

根据顺序优化方法的思路，利用计算机软件MATLAB设计了仿真实验，利用MATLAB 生成一个随机矩阵t来模拟传输矩阵，利用MATLAB 计算得到该随机矩阵t×t′如图2 所示，说明该随机矩阵中的每个列向量之间都不具有相关性，符合传输矩阵的特点。最终仿真得到了如图3 所示的聚焦结果。相比于图3（a）所显示的优化前的出射的散斑场，从图3（c）可以看出利用顺序优化方法可得到非常好的聚焦结果。

图2 随机矩阵各列向量之间不具有相关性

图3 顺序优化方法的数值仿真

2 分区优化方法

采用顺序优化方法需要遍历每个像素，计算量极大，花费时间长，效率较低。基于传输矩阵的通道信息，本文主要介绍一种效率更高的波前整形方法。

与透射传输矩阵类似，可以用一个反射传输矩阵r来代替光经过无序介质的反射过程，那么反射光与入射光的关系可表示成如下形式：

对传输矩阵做奇异值分解，即可得到其反射本征通道：

式（3）中：U、V都为酉矩阵，分别对应于入射光场和反射光场的本征通道；Σ为对角阵，对角元素σi表示对应本征通道的振幅反射率。

对于σi，U和V的第i个列向量，Vi和Ui为对应的入射和出射本征通道。自由入射的光波是入射本征通道的线性叠加，则有：

式（4）中：N为本征通道的总数；ci是由Ein和vi的乘积决定的标量系数。从统计角度看，入射波由所有特征通道组成，使得ci的绝对平方的集合的平均值无论如何都是相同的，与i无关。

将入射光场随机分为2 个部分，如图4 所示，分别为第1 部分和第2 部分。

图4 入射光场的分区

入射光场的光波由来自2 个部分的光波线性叠加而成的，若第2 部分的光波相位偏移了，那么此时反射光场和其总强度可分别表示成如下形式：

由于每个本征通道所贡献的强度是具有相同的周期为2π的Δφ的正弦函数，所以总强度也是Δφ的正弦函数，因此，可以将总强度写成如下形式：

式（5）中：φ1，2是由第1 部分和第2 部分的选区决定的相位，将Δφ取值为-φ1，2，可以使总光强为最大值。入射光场分区迭代过程如图5 所示，重复选择分区，总反射率和光强会随着迭代次数的增多而变强，从而实现聚焦。

图5 入射光场分区迭代过程示意图

根据分区优化方法的思想，在计算机上利用MATLAB编写程序仿真。首先对入射光场进行分区，对某一分区进行全场相移，保持另一分区的信息不变。采用四步相移的方法，即 相 移 步 长 为π/2 ， 记 录 4 次 相 移 的 光 强求取式（5）中的系数A、B、φ12，。最后令Δφ=-φ1，2，此时就完成了一次优化。重复上述迭代过程，随着迭代次数的增加，在一定次数范围内光强会逐步增强。

运行程序得到迭代1 次和12 000 次后的聚焦图样，如图6 所示。

图6 分区算法迭代优化波前后出射光场的对比图

从图6 可以看出，随着迭代次数的增多，目标点的光强显著增强，聚焦效果显著提升。目标点的光强随迭代次数变化的曲线如图7 所示。从图7 中可以看出一开始分区算法对于提高目标点光强非常有效，但随着迭代次数的增加，光强逐渐达到饱和。

图7 目标点光强随迭代次数的变化

3 仿真结果讨论与分析

3.1 两种方法聚焦效果对比

两种方法得到的模拟出射光场对比如图8 所示。

图8 两种方法得到的模拟出射光场对比图

采用顺序优化方法和分区优化方法仿真得到的出射光场都达到了良好的聚焦效果，将两种方法最终得到的最好的聚焦效果进行对比，如图9 所示。可以看出，采用分区优化方法得到的出射光场目标点的光强与采用顺序优化算法所得到的目标点的光强近似一致，分区优化得到的聚焦点光强略微高一些，即用分区优化方法波前整形得到的出射光场聚焦效果相比于顺序优化方法略好，但是分区优化方法伴随着的是优化次数增加，优化时间延长，为使目标点光强略微增强用几倍于顺序优化的时间显然得不偿失。

图9 多点聚焦效果图

3.2 多点聚焦的尝试

除了单点聚焦，也可以实现偏离光轴中心的多点聚焦调制。在进行数值仿真时，对于多目标的规划问题，所采用的评价方法为理想点法，理想点法中的最优目标是设想的最优的解，评价最好的对象与最优目标的距离最近。在多点聚焦中，可以先设置一个极高的光强值I*为最优目标，n代表S L M 上各个像素的位置， 则理想点法即是令为评价指标。

从图9 中可以看出，随着焦点数目增多，每个焦点的亮度都有所降低，这是因为入射总能量不变，而无序介质优化能量分布的能力是有限的，分到每个焦点的能量随焦点数目增多而减小，肉眼观测直接表现为光强降低。

3.3 SLM 可调制单元数量的讨论

最后利用计算机软件MATLAB对SLM上可调制单元数量进行了合并和划分，研究了其可调制单元数量num 对首先达到稳定、饱和光强的迭代次数的影响，如图10 所示，从图10（b）可以看出，随着可调制单元数量的逐步增多，达到稳定、饱和光强所需的迭代次数也在增加，即所需的迭代时间较长，但最后得到的目标点光强会显著升高，即聚焦效果更好，这要求在迭代时间和聚焦效果中要进行折中考虑。

图10 不同像素数量下目标点光强随迭代次数的变化

4 结束语

本文介绍了两种通过波前整形使光经过无序介质聚焦的算法——顺序优化法和分区算法，对这两种算法的思想进行了介绍，并就其原理、计算机仿真设计过程以及仿真结果进行了分析。在此基础上进行了多点聚焦以及SLM 上可调制单元数量变化的尝试与分析。