一类四阶微分方程Neumann边值问题的多正解性

徐 晶，高红亮

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

常微分方程边值问题是微分方程理论研究中的一个重要问题，在弹性力学和工程物理等领域中应用广泛，对其正解研究受到许多学者关注[1-10]。

2008年，Li[1]等运用不动点指数理论和临界群研究了四阶微分方程边值问题

(1)

解的存在性，其中f∈C([0,1]×R,R)且对任意的x∈[0,1]，f(x,·)在R上单调递增。2009年，郭建敏等[3]运用Morse理论和Brezis-Nirenberg理论研究了四阶微分方程边值问题

(2)

2015年，Vrabel[5]运用上下解方法研究了两端简单支撑的静态梁方程边值问题

(3)

解的存在性，其中参数k1

(4)

1 预备知识

引理1[8]设P是实Banach空间B中的锥，若映射α:P→[0,+∞)是连续的且

α(tx+(1-t)x)≥(≤)tα(x)+(1-t)α(x),x,y∈P,t∈[0,1],

则称映射α是凹(凸)泛函。

令β,γ和θ是锥P上的非负连续凸泛函，α和Ψ是锥P上的非负连续凹泛函，对于非负实数d，p和q，定义集合：

P(γ,r)={y∈P|γ(y)

Q(γ,β,d,r)={y∈P|β(y)≤d,γ(y)≤r},P(γ,θ,α,p,q,r)={y∈P|α(y)≥p,θ(y)≤q,γ(y)≤r}。

引理2[8]设P是实Banach空间B中的锥，α，γ是锥P上的非负连续增泛函，θ是锥P上的非负连续泛函且满足θ(0)=0。对于任意正数r，存在正数M，使得

假设存在正数p,q满足p

θ(λy)≤λθ(y),λ∈[0,1],y∈∂P(θ,q)。

(ⅰ)α(Ty)>r，y∈∂P(α,r);

(ⅱ)θ(Ty)

(ⅲ)P(γ,p)≠∅且γ(Ty)>p,y∈∂P(γ,p)。

γ(y1)>p,θ(y1)

引理3[8]设P是实Banach空间B中的锥，r和M是正数。假设α，Ψ是锥P上的非负连续凹函数，γ，β和θ是锥P上的非负连续凸泛函且满足

(ⅰ) {y∈P(γ,θ,α,p,q,r)|α(y)>p}≠∅且α(Ty)>p，y∈P(γ,θ,α,p,q,r)；

(ⅱ) {y∈P(γ,β,Ψ,h,q,r)|β(y)

(ⅲ)α(Ty)>p,y∈P(γ,α,p,r)且θ(Ty)>q;

(ⅳ)β(Ty)

本文假设f:[0,1]×[0,+∞)→[0,∞)是连续函数。

其中

容易验证Gi(x,s)有如下性质：

(ⅰ)Gi(x,s)>0，x,s∈[0,1];

(ⅱ)k1i(x)Gi(s,s)≤Gi(x,s)≤Gi(s,s)，x,s∈[0,1]，其中

P={y∈C[0,1]|y(x)≥0,y(x)≥k11(x)δ2m2‖y‖},

定义算子T:P→P为

2 主要结果

定理1假设存在常数p，q，r满足0

则问题(4)至少存在两个正解y1,y2，满足

证明令

易知α，γ是P中的非负连续增泛函，θ是P上的非负连续泛函且θ(0)=0，ni≥mi。对任意y∈P，可知

易证T:P→P为全连续算子。下证引理2中的条件(ⅰ)～(ⅲ)成立。

首先，对任意y∈∂P(α,r)，有

θ(y)=q≥α(y)≥δ1δ2n1m2γ(y)，

最后，可知

P(γ,p)={y∈P|‖y‖

且对任意y∈∂P(γ,p)，即‖y‖=p，有α(y)≥δ1δ2n1m2p，根据条件(ⅲ)可得

综上，由引理2可知，问题(4)至少存在两个正解y1，y2，满足

则问题(4)至少存在三个正解y1，y2，y3满足不等式

证明令

易知α，Ψ是P中的非负连续凹泛函，γ，β，θ是P中的非负连续凸泛函，ni≥mi。

取y=δ1δ2n1m2q，显然y∈P(γ,β,Ψ,δ1δ2n1m2q,q,r)。因为β(y)=δ1δ2n1m2q

{y∈P(γ,β,Ψ,δ1δ2n1m2q,q,r)|β(y)

对任意y∈P(γ,β,Ψ,δ1δ2n1m2q,q,r)，根据条件(ⅱ)可得

令y∈Q(γ,β,q,r)使得Ψ(Ty)<δ1δ2n1m2q，则

综上，由引理3可知，问题(4)至少存在三个正解y1，y2，y3满足

3 主要应用

例1考虑四阶微分方程Neumann问题

正解的存在性，其中w1=2,w2=1,k1

(1)若非线性项f的形式为

综上，在此条件下，边值问题至少有两个正解y1，y2满足

(2)若非线性项f的形式为

综上，在此条件下，边值问题至少有三个正解y1，y2，y3满足

例2考虑四阶微分方程Neumann问题

(1)若非线性项f的形式为

综上，在此条件下，边值问题至少有两个正解y1，y2满足

(2)若非线性项f的形式为

综上，在此条件下，边值问题至少有三个正解y1，y2，y3满足