复合型递推关系研究数列通项公式的解题策略

2021-10-25陈青

高考·中 2021年9期

陈青

摘要：数列不仅是高考和竞赛的考察重点，也是高中数学的难点之一。细探最近几年数列的高考真题，考察的侧重点由单一知识型转向复合综合型，所以掌握复合型递推关系求通项公式是解决数列这道大题的关键。本文给出了解决复合型递推关系求通项公式的两类解题方法：“待定系数法”和“构造法”，以指数型递推数列求通项公式为例，供同学们参考。

关键词：待定系数法;构造法;通项公式;解题策略

一、通项公式的地位

对于数列这道难题而言，解决的关键之处就是求出通项公式。因为只有在通项公式已知的基础上，才可以解决数列中的很多综合性问题，例如：数列作为一类特殊的函数，可以考察单调性、最值、不等式等;也可以求和，研究其前n项和的一些性质，所以求出通项公式是解决数列题至关重要的一步。

二、复合型递推關系的两类解题策略：“待定系数法”和“构造法”

在数列的学习过程中，我们已经掌握了很多求数列通项的方法，比如：公式法、叠加法、叠乘法、倒数法等，这些方法非常适用于求解常见的简单题型，但是很多时候无法求解复杂的复合型递推关系。本文给出两种解决复合型递推关系研究数列通项公式的方法：“待定系数法”和“构造法”。

（一）待定系数法

数列作为特殊的函数，通项公式就相当于函数的解析式，待定系数法是求函数的解析式一类特别重要的方法，而这种方法同样也特别适用于数列求通项公式。当递推关系的前后两项满足an+1=pan+f（n）型时，我们就可以利用待定系数法解决，处理方式是假设an+1+g（n+1）=p*（an+g（n））构造新的等比数列，其中g（n）的形式与f（n）相同，利用与题干中的递推关系系数对应相等求出g（n）中的系数，进而求出原数列的通项公式。

（二）构造法

其实求解特殊的数列类型：等差和等比数列的通项公式时，公式法是最直接的方法，但是往往我们遇到的递推关系并不能直接判断是否为这两种特殊的数列类型，但是我们可以利用“构造法”构造出新的等差数列或者等比数列。比如：数列前后两项系数相同即形如an+1=an+f（n）型，可构造“等差型数列”，同时再利用常见的“叠加法”“错位相减法”即可。再比如：an+1=f（n）*an型，则可构造：“等比型数列”结合“叠乘法”解决。

这两种方法对于解决复合型递推关系求通项公式非常有效，并且对于有些题型，这两种方法同时适用。而有的题型可以通过构造法的两种方式解决，既可以构造“等差型数列”，也可以构造“等比型数列”解决，下面用两种方法来解决具体例题。

三、典例精析

例1已知数列{an}中，，求an。

分析：因数列前后两项系数相同，可构造“等差型数列”利用“叠加法”与“错位相减法”。

解由，利用“叠加法”得：

①

②

①和②错位相减得：

③

上式除了前后两项是一个等差乘以等比数列求和，利用错位相减法易求，即，所以。

例2已知数列，a1=1，求an。

分析：该类型不仅可以利用待定系数法构造新的“等比型数列”直接求通项公式;也可以除以后一项系数的指数构造“等差型数列”利用“叠加法”搭配“错位相减法”解决。