基于变绳长双摆模型的抓斗门座起重机吊重摆动控制研究

李威涛 郭建生

武汉理工大学物流工程学院 武汉 430063

0 引言

目前，对于门座起重机吊重摆动的研究主要集中在单摆问题上，且研究中往往忽略掉绳长的变化，Vaughan[1]考虑塔式起重机的双摆特性，当起重机起升到一定高度时，可能会引入高阶的振荡模式，因此设计了一种对系统固有频率变化不敏感的输入整形器，可以有效应对一定绳长变化范围内的振荡。张晓华等[2]设计了一种改进EI输入整形器，当起重机做回转与起升复合运动时也能一定程度上控制吊重摆动，但控制效果一般。当吊具大小不可忽略以及钢丝绳长度发生变化时，传统的单模态输入整形器很难对吊重摆角进行有效的控制。本文以抓斗门座起重机吊重摆动系统为研究对象，考虑抓斗摆动和绳长变化，研究基于变绳长双摆模型吊重摆动控制的输入整形技术研究。

1 吊重变绳长双摆动力学模型

如图1所示，通过在立体空间建立直角坐标系O-XYZ，得到了起重机吊重变绳长双摆系统的物理模型。将坐标系原点O定为起重机的吊重悬挂点所处的水平面和回转过程中心线的交点，假定平面XOY为水平面，M点为抓斗质心，其质量为m，E点为抓斗悬挂点；OE为起重机作变幅运动时悬挂点运动的轨迹，悬挂点在OE方向的位移为s；起重机作起升运动时，抓斗在EF方向上运动，钢丝绳EF的长度为l；钢丝绳下节点距离抓斗质心距离为r；起重机作回转运动时，Y坐标轴与直线OE的夹角大小为α，钢丝绳EF在平面ZOE上的投影EB与竖直方向直线EA的夹角大小为θ1，钢丝绳EF与其在平面ZOE上的投影EB的夹角大小为θ2，抓斗中心线FG在平面ZOE上的投影FD与竖直方向直线FC的夹角大小为θ3，抓斗中心线FG与其在平面ZOE上的投影FD夹角大小为θ4。抓斗绕变幅方向的转动惯量为J1，绕回转方向的转动惯量为J2。吊重摆动系统物理模型示意图如图1所示。

图1 吊重变绳长双摆系统物理模型示意图

根据拉格朗日运动方程，推导出吊重变绳长双摆动力学微分方程为

计算得系统前四阶固有频率为

可知系统固有频率与绳长有关。

式中：ω1为系统第一阶固有频率，ω2为系统第二阶固有频率，ω3为系统第三阶固有频率，ω4为系统第四阶固有频率。

ω1、ω2、ω3、ω4按数值从小到大排列，其中前 2阶固有频率主要引起钢丝绳的摆动，后2阶固有频率主要引起抓斗的摆动。

计算得系统前4阶阻尼比为

可知系统阻尼比与绳长和起升速度均有关。

2 基于双模态模型的改进ZV整形器设计

2.1 双模态输入整形器设计方法

考虑抓斗尺寸较大，绕质心摆动不能忽略，存在二阶振动模态。当需要同时抑制钢丝绳和抓斗的摆动时，单模态输入整形器已经无法起到良好的控制效果，此时需要设计双模态输入整形器对钢丝绳及抓斗摆动同时进行控制。包艳等[3]提出了双模态输入整形器的2种设计方法：联立方程法和卷积法。卷积法设计相对简单且可以更好地抑制高模态振动，故本文采用卷积法设计双模态输入整形器。卷积法的基本原理是首先针对每个振动模态设计相应的单模态输入整形器，最后将2个单模态输入整形器进行卷积运算得到双模态输入整形器。针对本文所示的抓斗门座起重机，就需要分别设计抑制钢丝绳摆动及抓斗摆动的单模态输入整形器，为提高起重机的运行效率，本文使用单模态ZV输入整形器为基础设计双模态ZV输入整形器。

2.2 回转与起升工况输入整形器设计

抓斗门座起重机回转与起升复合运动时，主要引起钢丝绳摆角θ2以及抓斗摆角θ4的摆动，由于离心作用，同时也会引起钢丝绳摆角θ1和抓斗摆角θ3的摆动，此次设计考虑使用输入整形方法控制θ2及θ4的摆动，即系统第一阶和第三阶的振动。第一阶模态的ZV输入整形器频域形式表达式为

第三阶模态的ZV输入整形器频域形式表达式为

将第一阶模态的ZV输入整形器与第三阶的ZV输入整形器进行卷积运算得到双模态ZV输入整形器频域表达式为

2.3 改进的双模态ZV输入整形器控制算法

传统的双模态ZV输入整形器可以很好地抑制抓斗门座起重机定绳长工况下钢丝绳和抓斗的残余摆角，但本文的抓斗门座起重机复合工况中存在起升运动，造成绳长l和起升速度i均随时间发生变化，造成吊重变绳长双摆系统的固有频率ωn和阻尼比ξ也会随着时间发生变化。此时传统的双模态ZV输入整形器已经无法有效地控制钢丝绳及抓斗的摆动，文献[4]提出一种等步长搜索算法得到吊重变绳长系统的等效固有频率ωnd和等效阻尼比，但这种算法时间复杂度很高。这里提出了一种快速搜索等效绳长l及等效起升速度的改进等步长算法，从而快速得到等效固有频率ωnd和等效阻尼比，从而设计了基于双模态模型的改进ZV输入整形器。

在门座起重机实际的工作过程中，假设钢丝绳最长为lmax，最短为lmin，起升速度最大为，最小为0，可采用两次等步长的搜索方法求出钢丝绳的等效绳长l0，采用一次等步长法分别求出等效起升速度，以进行改进双模态ZV输入整形器的设计，具体过程为

1) 将绳长[lmin，lmax]等间距取11个绳长节点，设长度分别为l1、l2、…、l11，将起升速度等间距取5个起升速度节点，设起升速度分别为

2) 取绳长为l1，取起升速度为由式(5)、式(6)得到系统的固有频率ωn和阻尼比ξ，根据式(9)进行回转与起升工况双模态ZV输入整形器参数的设计；

3) 由式 (1)～ (4)分别对 θ1、θ2、θ3、θ4求解，可以得到钢丝绳残余摆角θ1与θ2，抓斗残余摆角θ3与θ4数量和的最大值，设为 θmax1、 θmax2、…、θmax5；

4) 取绳长分别为l2、l3、…、l11，重复进行步骤(2)和 (3)，分别得到 θmax6、θmax7、…、θmax55，比较 θmax1、θmax2、…、θmax55的大小，取出其中最小值，得到与之对应的绳长l0和等效起升速度；

5) 找到步骤(4)中l0，减1得到lmin，下标加1得到lmax（若l0为10则lmin取10，若l0为20则lmax取20），再依次进行步骤2)、步骤3)、步骤4)，在进行步骤2)时起升速度取第一次迭代计算得到的等效起升速度，即可得到最终的等效绳长l0，根据l0、可以求出等效频率ωnd和等效阻尼比。

搜索钢丝绳的等效绳长的过程中用到了迭代算法，通过2次等步长法提高了搜索效率，可以快速地得到等效绳长。由于起升速度本身变化范围不大，考虑到降低算法的时间复杂度，搜索等效起升速度只采用了1次等步长法。

3 吊重摆动控制数值研究

为了求得控制吊重摆角的最优参数，本章同时搜索了相同工况下的基于单模态模型的等效绳长ld0和等效起升速度，单模态模型指的是将抓斗考虑为质点建立动力学模型，并求出系统的第一阶固有频率（控制钢丝绳摆动）和阻尼比，由此设计单模态ZV输入整形器，通过单模态输入整形器来控制前文所述建立的吊重变绳长双摆模型的钢丝绳及抓斗摆动，通过与前文所述类似的搜索算法求得变绳长工况下的等效绳长ld0和等效起升速度，由于算法原理类似，不再赘述。

选取型号为MQ2533某四连杆抓斗门座起重机的实际参数为基础，选取起重机摆动仿真参数，门座起重机的钢丝绳摆角θ1和θ2以及抓斗摆角θ3和θ4与起重机的运动相互耦合，回转和起升运动都可以对摆角大小产生较大影响，为了让门座起重机的吊重摆动控制更具有工程应用价值，参考MQ2533门座起重机实际工作情况，取钢丝绳的初始长度为20 m，钢丝绳长度变化为20 ～10 m，即起升高度为10 m；门座起重机的初始回转角度定为0°，回转范围为0°～90°。

以定绳长l1、l2、…、l11和定起升速度分别组合进行双模态ZV输入整形器的设计，通过四阶龙格库塔对方法钢丝绳及抓斗摆角进行数值求解，第一次搜索时最大残余摆角和与计算绳长与起升速度的关系曲线如图2所示。

图2 最大残余摆角和值与计算绳长、起升速度曲线

图3 第二次搜索最大残余摆角和值与计算绳长的关系曲线

由图3可以明显看出，当以绳长l=10.1 m为进行双模态ZV输入整形器设计时，得到的最大残余摆角和最小，此时最大残余摆角和为3.047°，可得抓斗门座起重机回转与起升复合运动工况下等效绳长l0为10.1 m，等效起升速度为0.622 5 m/s。

基于单模态模型的等效绳长ld0为13.2 m，等效起升速度为0.415 m/s。

采用四阶龙格库塔法对吊重变绳长双摆系统微分方程进行数值求解，可以得到未经过整形、经过基于单模态模型的改进ZV输入整形的、经过基于双模态模型的改进ZV输入整形后的摆角θ1、θ2、θ3、θ4曲线对比图，如图4所示。

图4 钢丝绳及抓斗摆角曲线对比图

输入整形前后抓斗门座起重机回转与起升运动复合运动吊重的最大残余摆角如表1所示。

表1 回转与起升复合运动吊重最大残余摆角值 (°)

4 结论

1) 对门座起重机的工作机构进行了适当的简化处理，并做出了部分假设，在此基础上考虑绳长变化、抓斗摆动建立了门座起重机吊重变绳长双摆动力学模型，根据拉格朗日分析力学的方法推导出动力学微分方程。

2) 介绍了双模态ZV输入整形器的设计方法，设计了抓斗门座起重机回转与起升复合运动工况下双模态ZV输入整形器；为了对变绳长模型的门座起重机进行吊重双摆摆动控制，基于双模态ZV输入整形原理提出了一种基于双模态模型的改进ZV输入整形器控制算法，其基本原理是采用两次等步长的搜索方法快速求出吊重摆动系统的等效绳长，一次等步长方法求出等效起升速度，从而得到等效固有频率和等效阻尼比。

3) 根据门座起重机实际运动工况确定了起重机回转和起升运动时的仿真参数；在Matlab中编写了相应的数值仿真程序，对门座起重机回转与起升复合运动工况进行了吊重摆动控制数值仿真分析，综合比较未整形、基于单模态模型的改进ZV输入整形和基于双模态模型的改进ZV的3种模型的钢丝绳及抓斗摆角。仿真结果表明，基于双模态模型的改进ZV输入整形技术能有效地减少钢丝绳及抓斗残余摆角，而且控制相对基于单模态模型的改进ZV输入整形技术有较大提高。