数学求导在高中物理解题中的运用

虞健明

摘 要：数学与物理是两门联系非常紧密的自然学科，纵观物理学发展史，数学对推动物理学的进步和发展发挥着重要的作用。无论是在物理学习过程中，还是运用物理知识解决问题的过程，都会用到数学知识，越是高深的物理理論研究，越离不开数学工具的运用。

关键词：高中物理;数学求导;物理解题

物理与数学作为两门基础自然学科，在科学研究和实践应用中有着紧密的联系。纵观物理学发展史可以发现，数学是物理学研究的基础，是精准表述物理学的一种科学语言，它使抽象繁复的物理学理论能够简明直观地表达出来，有力地推动了物理学的创新与发展。即使在物理学高度发达的今天，数学依然是物理研究不可或缺的重要工具。无论在物理学习时，还是在物理问题解决中，总会有数学知识相伴，越是高深的物理问题，对数学知识的依赖程度越高。像数学中的几何、导数、代数、函数、解析几何等知识，都是有效解决高中物理问题的数学工具。如果能够在物理学习中充分发挥数学工具的重要作用，那么，物理解题过程就会变得简单而高效。其中，高中数学学科中的导数就是一个提高物理解题效率的重要工具。求导即求一个函数的导函数，简称求导。导函数是求极值和函数的单调性的重要方法。将导函数的性质运用到高中物理解题中，可以起到事半功倍的效果。

一、运用数学求导破解物理极值问题

例1：如下图，在平面xoy内，y轴与虚线间的区域中，除了圆形区域外，都有匀强磁场，且磁场方向是垂直纸面向外，磁感应强度为B。平面中的虚线与x轴相交于Q点（3L，0）并与y轴平行。平面中的P点是圆形区域的圆心，其坐标是（2L，0），圆的半径为L。当一个质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从y轴上的某点以垂直y轴的角度进入磁场（忽略粒子重力），那么（ ）

A.若该粒子未经圆形区域到达Q点，则粒子进入磁场时的速度是。

B.若粒子第一次经P点通过x轴，那么，粒子进入磁场时的速度是。

C.若粒子第一次经P点通过x轴，那么，粒子进入磁场时的速度是。

[分析与解]：设粒子穿越磁场时的圆心角是θ（下图），根据图中各图形间的几何关系可知

rsinθ+Lcosθ=2L，得

据得，故正确的答案是B。

观察此题解答过程可以发现，主要运用了数学中三角公式变换的知识，但这部分内容在数学教学大纲中并不是重点，学生对该部分知识的掌握并不熟练和牢固，所以，理解起来有点困难。

为此，我们可以启发学生，变换解题思路：将前的三角函数设为再根据导数函数的性质求极值，这样，就降低了解题难度，提高了解题效率，详细解答如下：

，令则，即θ=600，得rmin=L。据得。

例2：在一根不可伸长的轻质线一端系一质量为m的小球，线的另一端系于O点，把球拉到水平后静止释放，问，小球到什么位置具有最大的竖直速度？

[分析与解]：设轻线转过θ角时，小球的速度为v，它的竖直分速度为v2=vcosθ，由机械能守恒定律可知：

，，

对上述关于的函数，

对θ求导，，

令y'=0，得θ=90°（舍去），。

答：当时小球的竖直速度最大。

二、运用数学求导破解电磁难题

从数学的角度审视高中物理中根据法拉第电磁感应定律（），求感应电动势这个过程，本质上就是通过闭合回路的磁通量对时间的求导过程，建立物理与数学间的解题思维联系，对迅速求解物理问题有重要的意义。

例3：在上图中，一水平木板上固定着两根平行的金属导轨，导轨每米的电阻是，用一根导线（电阻不计）分别连接两根导轨上的P、Q端点，两导轨相距I=0.2m。有随着时间变化的匀强磁场垂直于木板平面，已知磁感强度B与时间t的关系是B=kt（比例系数k=0.20T/s），有一金属杆（电阻可忽略）以与导轨垂直的角度在导轨上滑动（摩擦力忽略），在金属杆以固定的加速度由静止开始滑向导轨另一端的过程中，试求在t=6.0s时，金属杆受到的安培力。

按照常规物理解法是先求出回路中的动生电动势和感生电动势，并判断出电动势的方向，最后求出回路中的总电动势。此过程比较复杂，如果用数学导数知识求解，解题过程可得以简化，提高解题效率。

[分析与解]：设金属杆运动加速度为a，在t时，金属杆移动的距离为：。金属杆的运动速度为：v=at金属杆与导轨间形成的回路面积为：。此时，回路中的磁通量为：，

回路中的感应电动势为：。回路的总电阻为R=2Lr0。

回路中的感应电流为：。金属杆受到安培力为：F=Bli。

解得。代入数据求得：F=1.4×10-3N。

可见，利用数学求导知识解题更简洁，不但提高了解题速度，还可以加深学生对电磁感应现象本质的理解。透过物理现象看到背后的数学规律，发散了学生的思维，拓展了学生的认知。

三、运用数学求导求解物体运动规律

在物理中，我们可以利用s-t图像中图线斜率来求物体速度，图线上各个点的斜率就是此时物体的运动速度，由此，对物体运动的位移与时间变化间构成的函数进行一次求导，就是物体运动速度与时间变化间的函数。将物理问题转化为数学问题求解，更直观明了。

例4：如上图，将一平面镜M和一巨型的光屏垂直地面直立固定放置，二者间相距为d，一束氦氖激光经光屏上的一个小孔s垂直光屏射入，射在平面镜的中点O上，现将平面镜以O为轴心进行逆时针匀速旋转，角度是ω，求：平面镜逆时针旋转时间时，激光束反射在光屏上的光点移动的速度是多少？

传统方法：利用运动的分解。

[分析与解]：在t时刻光点P的移动速度可以看成是如图所示两个运动的合运动。

在t时间内反射光束转过的角度为2ωt

则垂直光线方向的速度：

光点的移动速度

求导的方法：

[分析与解]：

根据题意可知经过t时间的旋转后，反射光束转动的角度为2ωt。

激光束反射在光屏上的光点P产生的位移为：S=dtan2ωt。

由此可得光点的移动速度为：

总之，将导数知识运用到高中物理解题中，架起了物理与数学间联系的桥梁，这种跨学科教学方式，既可简化物理解题过程，揭示物理现象背后的数学本质，又拓宽了学生的思维认知，促进了学生思维能力的提高，发展了学生的综合素养。

参考文献

[1]李慧萍.高中物理跨学科教学的实践分析[J].中学教学参考，2019（21）.

[2]赵力宏.高中物理课堂学生发散思维的培养[J].数理化解题研究，2020（03）.