由八省联考压轴题引起的思考*

江苏省扬州中学 (225009) 戚有建

一、考题展示

题目(2021年八省联考卷22题)已知函数f(x)=ex-sinx-cosx,g(x)=ex+sinx+cosx.

(2)若g(x)≥2+ax，求实数a的值.

点评：本题是2021年八省联考卷的22题压轴题，选拔题，第(1)问考查函数不等式的证明，第(2)问考查不等式恒成立，考查分类讨论、等价转化、数形结合思想，有一定难度和区分度，本题结构简洁、表达流畅、静中有动、平中见奇、入口较宽，解法多样，背景丰富，令人回味无穷，极具教学价值和研究价值.

二、常规解法

解析：(1)(分区间逐段研究)

综上得，命题(1)得证.

图1

(2)(先做必要条件，再验证充分性)令h(x)=g(x)-ax-2=ex+sinx+cosx-ax-2﹐则h′(x)=ex+cosx-sinx-a，因为h(0)=0≥h(x)，所以x=0是函数h(x)的极值点，所以h′(0)=0，即a=2，下面验证充分性.此时，h(x)=ex+sinx+cosx-2x-2，h′(x)=ex+cosx-sinx-2，h″(x)=ex-sinx-cosx.

综上得，a=2.

点评：对于第(2)小题，可以先做必要条件，再验证充分性.关键是抓住h(0)=0≥h(x)，如此则有x=0是函数h(x)的极值点，从而h′(0)=0，即a=2.

三、简洁解法

解析：(1)(构建商函数，研究商函数最值)

综上得，命题得证.

(2)(构建商函数，研究商函数最值)

令h(x)=g(x)-ax-2=ex+sinx+cosx-ax-2，则h′(x)=ex+cosx-sinx-a，因为h(0)=0≥h(x)，所以x=0是函数h(x)的极值点，所以h′(0)=0，即a=2，下面验证充分性.

四、命题背景

命题者是如何想到函数不等式ex+sinx+cosx≥2+ax的呢？研究后发现与泰勒公式有关.

五、背景应用

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

答案：(1)y=2x；(2)2.

例2(2019年全国卷I文科21题)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f′(x)为f(x)的导数.

(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；

(2)若x∈[0,π]时，f(x)≥ax，求实数a的取值范围.