初中数学教学中有关折叠问题的解题研究

畅英英

(山东省德州市禹城市房寺镇中学 251200)

数学是一门非常严谨的学科，它有很多的想象和联想的空间.著名的数学家希尔伯特就说过：数学最重要的就是想象力.看到一道数学题，你应该能马上联想到它的相关公式和解题步骤.而中学的折叠问题是最能锻炼和体现学生想象力的，抽象的东西也是可以具体化的，老师带着孩子们亲手折叠出各种各样的图形，体验折叠的特点，观察图形折叠后的变化与未变化部分，深入寻找并发现图形的几何性质，借此引导学生们去了解并解决折叠问题.将折叠问题教好，学好，都是不容忽视的.由浅入深，解决折叠问题大概可以分为三个步骤：即通过折叠实验，在脑中形成个思维模型；再综合学过的基本图形，锻炼学生的思维方式；然后结合平面直角坐标系解决折叠问题.

一、通过折叠实验，形成思维模型

数学学习给人的印象大多数是死板的，它不像语文那样可以较为自由的发挥，数学公式是不可以改变的，初中生也很难独自亲身去推导计算出数学公式.初中数学的学习，一般是采用学习公式、理解公式、应用公式的方法.折叠就比较特殊了，它涉及到了图形变换，学生们也能亲自动手实验，而图形变换是比较灵活有趣的，会让学生们提起浓厚的学习兴趣.亲自动手去发现、去探索、去解决问题，会让我们有种置身其中的参与感，感觉到数学“活了起来”，感觉到它离我们那么近.通过折叠和观察而不是枯燥的计算去解决数学题，会让学生感到极大的新鲜感，满足感和成就感，对数学的学习更加充满兴趣.

涉及到折叠，就离不开动手和观察了.拿到一道有关折叠问题的题目，首先就应该分析它的题目要求，然后按照题目要求去折叠出相应的图形，最后将图形画在草稿纸上，慢慢地熟练了之后，就可以在脑海里形成相应的图形，省去动手操作这一过程了.这是学习折叠问题的难点，特别是对于那些想象力较为薄弱的学生，但是也是必须要锻炼出来的能力.在以后的学习生活中，这一能力还会继续频繁的被使用到，而且还会需要不断地扩展和加深.下面，我们举例说明一下.

例1 如图1所示,将一个三角形纸片ABC沿过B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则下列结论一定正确的是( ).

图1

A.AE=ACB.CB+AE=AB

C.AD=BDD.ED+EB=DB

这是一道特别基础的折叠问题，图形和题目都比较简单直观，容易让学生理解.对于这个图形，老师可以让同学们动手折一折，然后用折叠后的图形对比题目给出的图形，发现其中的等量关系.通过一次次的折叠，同学们应该不难发现，折叠是一种轴对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的相关性质,折叠前后图形的形状和大小不会改变,位置变化了,对应的边是相等的.折痕所在的直线作为对称轴，它将变换前后对应的点所连成的线段垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离大小相等.

对照本题图像，可以看出来，图1是由三角形ABC的边CB沿着BD翻折之后得到的.边CB落到了边AB上，直线BD是三角形BDC和三角形BDE的对称轴，点E为点C的对应点,线段BC=BE,线段CD=ED.

对于选项A和选项C,线段AE与AC题目并没有给出明确的关系，线段AD与BD题目也没有给出明确的关系，所以无法判断这两个选项的对错；对于选项B，通过折叠的特点，我们已经知道线段BC=BE，所以线段CB+AE就可以等价代换为EB+AE,显然线段EB+AE=AB，所以可以得出CB+AE=AB，B选项正确；对于D选项，线段ED、EB、DB正好为三角形BDE的三边，由三角形的相关性质可以知道，三角形的任意两边之和大于第三边，所以ED+EB>DB，D选项错误.所以，这道题的正确答案是B.

只要懂得了折叠前后图形的等量关系，再结合勾股定理的内容，解决这类题型就易如反掌了.

二、综合基本图形，锻炼思维方式

折叠问题一定都是和几何图形相联系的，通过例1可以看出，推理找出简单图形中的几何关系其实很简单，但是一般题目中给的图形都相对复杂，一个例图里会包含多个几何图形，自然就有了多对几何关系.这就要求我们考虑到多组等量关系，不同等量关系间的联系和搭配，以及发掘很多隐藏的已知条件.题目的灵活性也就大大提高了，难度也相应地有所增加.细心寻找几何关系的同时，也需要我们具备一种整体意识，这样才能保证不漏掉信息.有时，也是需要凭借直觉的，这种直觉也是要通过反反复复的练习，才能在遇到题的时候，直接感知到应该寻找和利用到的关系.

例2 如图2所示,一张矩形纸片沿BC折叠,顶点A落在点A′处,再过点A′折叠，使折痕DE∥BC,若AB=4,AC=3,则三角形ADE的面积是____.

图2

这道题属于中等难度，除了要掌握像例1那样折叠问题里的轴对称的几个特性以外，还需要知道证明两个三角形相似，以及利用三角形相似的几个性质：如果两个三角形相似，那么两个三角形对应的边边长成比例，对应的角相等.相似三角形的面积比等于相似比的平方.

图3

如图3，沿BC折叠,顶点A落在点A′处,直线BC作为一条对称轴，根据对称的性质，可以得到BC垂直且平分线段AA′；可以得到AF=1/2AA′，又因为DE//BC,可以得到三角形ABC和三角形ADE相似,相似比为1∶2.再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可以求出三角形ADE的面积为24.

三、结合坐标系，解决折叠问题

前面说过，涉及到折叠问题的考题在卷面分中一般的比例为有十分之一，它之所以可以占有这么大的分数比例，是因为它这一种题型里可以融入多种之前学过的知识.例如:勾股定理、相似三角形、全等三角形……除此之外，它还可以放到空间直角坐标系中，将其与函数融合..在平时的课堂上，老师应该注重培养学生对题目的独立思考分析和理解能力，并多讲授一些综合性较强的折叠问题，让学生们逐渐适应这种考察方式.

图4

例3 如图4所示,把矩形OABC放置在直角坐标系中,OA=6.OC=8,若将矩形折叠、使点B与O重合,得到折痕EF.

(1)可以通过____办法，可以使四边形AEFO变到四边形BEFC的位置(填“平移”，“旋转”，“翻转”)；

(2)求E点的坐标；

(3)若直线m把矩形OABC的面积分成相等的两部分,则直线m必经过点的坐标是____.

根据题意可得,对于第(1)小题，矩形OABC是中心对称图形,而这道题的折痕EF与对角线OB交点O应该是矩形OABC的对称中心,所以可以通过旋转的办法得到.

对于第(2)小题，应该连结OE,根据折叠的特性可以知道，OE=BE,解直角三角形OAE就可以知道AE=7/4,所以E点坐标为(6，7/4).

对于第(3)小题，由第(1)小题分析可知,对称中心应为折痕与对角线交点，过这个点做两坐标轴垂线段，再由三角形中位线性质可求出对称中心坐标为(3，4)

折叠问题是中学重点考察的内容，学生和教师都应该重视它.教师应该根据自己班级学生的实际情况，制定有效的教学方法，引导同学们学习折叠问题，培养学生独立思考及分析问题的能力，以及对几何图形的空间想象能力，力求让每位学生都掌握解决这类题目的方法.