热方程在非负Ricci曲率度量测度空间上的Cauchy问题*

孙萌

天津大学应用数学中心，天津 300072

1 引言及主要结果

在研究函数的边界问题时，人们通常采用 “转化” 的方式。比如我们研究热函数的Cauchy 问题时，通常将其转化为研究将边界值函数通过 “Gaussian 平均” 后得到的函数。更确切地说，设ht(x) 是定义在上半空间Rn+1+上的热核，并且f∈L1loc(Rn)，令

则u(x，t) 是Rn+1+上的热函数，即满足热方程∂tu-Δxu=0. 这样，我们就可以通过研究热函数u(x，t) 的性质来研究f的性质。

早在1975 年，Fabes 和Neri 在文献［1］ 中发现，若定义在Rn+1+上的热函数u(x，t) 满足下列Carleson测度条件

则它的迹u(x，0) =f(x) 属于BMO 空间。反过来，所有迹满足BMO 条件的热函数u(x，t) 恰好可用（1） 式来刻画。该研究为解决在端点p=∞处的热方程的Cauchy 问题提供了新的思路（因BMO 空间可视为Lebesgue 空间L∞(Rn)的替代）。从那时起，大量的工作致力于研究联系Schrödinger 算子［2］，Campanato 空间［3］，调和函数类似刻画的推广等［4-5］。

我们知道，有Ricci 曲率下界的度量测度空间包括：Riemannian 流形在Gromov-Hausdorff 度量下的极限空间， 以及有非负曲率的Alexandrov 空间。 这些空间上的分析与几何研究在近二十年得到了广泛地关注与发展［6-7］。本文的主要目的是证明当底空间Rn被推广到有非负Ricci 曲率的度量测度空间时，热函数关于（1） 式有着相似的刻画结果。

本文设(X，d，μ) 是满足适当非负Ricci 曲率维数条件RCD*(0，N)［8］（见第二节定义9） 的度量测度空间，其中N≥1。这样的空间(X，d) 是完备的并且是可分的，μ是在空间X上局部有限的Borel 测度。下面给出BMO空间和TMO空间的定义。

定义1（BMO空间） 设f是X上的局部可积函数。称f属于有界平均振动函数空间BMO(X)，如果

定义2（TMO 空间） 设u是X× R+上的热函数，即在分布意义下满足热方程∂tu-Δxu=0. 称u属于温度平均振动函数空间TMO(X× R+)，如果

下面给出本文的主要结论。

定理1设(X，d，μ) 是RCD*(0，N) 空间，其中N≥1. 则u∈TMO(X× R+)当且仅当存在f∈BMO(X) 使得对任意的(x，t) ∈X× R+有u(x，t) =Ht f(x)成立，这里Ht表示(X，d，μ)上的Gaussian半群。并且存在常数C＞1使得

本文主要结构如下：第2 节介绍了一些基本概念，如Sobolev 空间，微分构造，Laplace 算子等。第3节给出了双倍性质，热核的Gaussian估计和TMO 函数的性质。第4节则给出定理1的具体证明过程。为行文方便，本文出现的C和c均是与主要变量无关的正常数，用C(α，β，…，γ)表示仅依赖于α，β，…，γ的正常数，且以上符号在不同行可以表示不同的值。

2 预备知识

本节我们首先回顾一些基本的概念和相关符号表示。

2.1 度量测度空间上的Sobolev空间

设(X，d)是一个完备的度量空间，μ为其上的一个Borel测度且supμ=X. 设C([ 0，1]，X) 为赋上确界范数的从［0，1］到X上的连续曲线空间。映射et：C([ 0，1]，X) →X，定义为

我们用P(C([ 0，1]，X)) 表示定义在空间C([ 0，1]，X) 上Borel 概率测度的集合。 设p≥1 称γ∈ACP([ 0，1]，X)，若存在g∈Lp([ 0，1]) 满足

显然有ACp([ 0，1]，X) ⊂AC1([ 0，1]，X). 而AC1([ 0，1]，X) 为绝对连续曲线的集合，故对γ∈ACp([ 0，1]，X)，可定义其度量导数为

定义3设π∈P(C([ 0，1]，X)). 若π满足

（i）π在AC2([ 0，1]，X)外测度为0，即π(C([ 0，1]，X)AC2([ 0，1]，X))=0，且

（ii） 若存在常数C＞0，使得对任意0 ≤t≤1，有

则称π是一个测试方案。

定义4（Sobolev 空间） 设f：X→R 是Borel 函数。若存在非负函数G∈L2loc(X)（或G∈L2(X)），使得对每一个测试方案π，均满足

则称f属于Sobolev空间S2loc(X)（或S2(X)）.

借助紧致性理论，可以证明对每一个f∈S2(X)，存在唯一的极小函数G（G关于μ是几乎处处定义的） 使得（2） 式成立。用|▽f|表示G，并且称它为f的最小弱上界梯度，具体细节参见文献［9］。

定义5（非齐次Sobolev空间） 若f∈S2(X) ∩L2(X)并赋予以下范数

则称f属于非齐次Sobolev空间W1，2(X).

设Ω是X中的开集，通常用(Ω)表示局部Sobolev空间，具体细节参见文献［10］。

2.2 微分构造和Laplace算子

下文中介绍的概念主要来自文献［8］ 和［11］。

定义6（无穷小Hilbert 空间） 设(X，d，μ) 是度量测度空间。若W1，2(X) 是Hilbert 空间，则称(X，d，μ)是无穷小Hilbert空间。

由定义6我们可推断出(X，d，μ)是无穷小Hilbert空间当且仅当如下平行四边形法则成立：

定义7（内积） 设(X，d，μ)是无穷小Hilbert空间，Ω是X中的开集，定义在Ω上的内积·，· 是如下几乎处处定义的实值函数：

其中inf表示本性下确界。

由内积的定义可以看出·，· 是局部，对称且线性的，并且满足Cauchy-Schwarz 不等式、Leibniz 法则和链式法则，具体细节参见文献［11］。借助内积我们引入如下Laplace算子。

定义8（Laplace 算子） 设(X，d，μ) 是无穷小Hilbert 空间。对任意f∈W1，2loc(X)（或W1，2(X)），若存在函数g∈L2loc(X)（或g∈L2(X)） 使得对任意具有紧支集的函数φ∈W1，2(X)，均有如下等式成立

则称f属于Dloc(Δ)（或D (Δ)）. 用Δf来表示函数g，并称其为f的Laplacian。

显然，Laplace 算子是线性的。由Leibniz 法则知，如果f，g∈Dloc(Δ) ∩L∞loc(X)（或Lipschitz 连续函数f，g∈D (Δ) ∩L∞(X)）， 则fg∈Dloc(Δ)（或fg∈D (Δ)），且满足Δ(fg) =gΔf+fΔg+ 2 ▽f，▽g.

2.3 曲率维数条件

设(X，d，μ) 是无穷小Hilbert 空间。Ht可以表示为在Dirichlet 形式下由积分生成的热流etΔ。显然，(X，d，μ)是无穷小Hilbert空间蕴含着Ht是线性的。

接下来我们回顾RCD*(0，N)空间的定义，文献［12］ 介绍了关于该空间的一些等价特性。

定义9（RCD*(0，N)空间） 设(X，d，μ)是无穷小Hilbert空间。若对任意f∈W1，2(X)，有

则称(X，d，μ)为RCD*(0，N)空间，其中N≥1.

2.4 Hardy空间［13］与BMO空间

定义10（Hardy空间） 设(X，d，μ)是度量测度空间，定义Hardy空间H1(X)为

并赋予函数f范数

这里S(f)为如下的Lusin 面积函数

其中Γ(x)：= {(z，t) ∈X× R+：d(z，x) ＜t}.

3 热核上界和TMO函数的性质

为建立热核的Gaussian估计及TMO函数的性质，我们首先给出测度μ的性质。

命题1设(X，d，μ) 是RCD*(0，N) 空间，其中N≥1，则测度μ有双倍性质，即对任意x∈X，0 ＜r＜R＜∞有

证明双倍性质是由Sturm［14］建立，也可参见文献［8］。

由Rajala［15］知，对于任意的f∈W1，2(B)，有如下Poincaré不等式成立

命题2设(X，d，μ)是RCD*(0，N)空间，其中N≥1，则有以下结论成立：

（i） Gaussian上界：对任意x，y∈X，t＞0，有

（ii） 对任意y∈X，s＞0，则∂shs(·，y) ∈H1(X).

证明（i） 热核及其梯度的Gaussian上界参见文献［10，16］。

（ii） 由定义10知，只需证∂s ps(·，y) ∈H1(X)，即

由半群理论知t(-Δ)Ht( ∂shs(·，y) )(z) 是算子t(-Δ)2Ht+s的核。因此利用热核的Gaussian 上界和双倍性质可得，对任意(z，t) ∈Γ(x)，有

该估计蕴含着∂shs(·，y) ∈H1(X). 命题证毕

由以上倍测度性质及热核的估计，以及Duong-Yan［17］可知，

注1 （BMO 空间等价刻画） 若局部可积函数f属于BMO(X)，当且仅当存在x0∈X和β＞0，使得以下结论均成立

（i）f∈L2((1 + d(x，x0))-β μ(B(x0，1 + d(x，x0)))-1dμ)；

其中对任意t＞0，Ht f是f的Gaussian平均。

引理1设(X，d，μ)是RCD*(0，N)空间，其中N≥1。则有如下结论成立

（i） 若存在方体Q=B(x，r) × (t-r2，t+r2) ⊂X× R+使得热方程∂tu-Δxu=0成立，则对γ∈(0，1) 存在常数C=C(N，γ) ＞0，有其中抛物方体Q=B(x，r) × (t-r2，t+r2).

（ii） 若u∈TMO(X× R+)，则存在常数C＞0，使得

证明（i） 参见文献［18］ 的第三部分。

（ii） 由文献［19］ 可知∂tu(x，t)是热方程在X× (0，∞)上的解。由（i） 及Hölder不等式得

对|t▽xu(x，t)|，我们应用文献［20］ 来证明。该文献表明，在RCD*(0，N)空间(X，d，μ)上，v是热方程在B(x0，2R) × (0，T*)上的正解，则对T∈(0，T*)其满足

其中α＞1，β∈(0，1).

令

由u是热方程在X× (0，∞)上的解，可知u～ 也是该热方程的解。记

并取C充分大，由（i） 可知在上v＞0. 在（3） 中取定，T=9t/8，β=7/9，可得

进一步，

以上，最后一步中我们用了条件（i） 来控制|v|2. 由的选取可知

对于积分号中的第一项，运用Poincaré不等式可知

结合之前对s|∂su|的估计，可得

引理证毕

引理2设(X，d，μ)是RCD*(0，N)空间，其中N≥1. 若u∈TMO(X× R+)，则有如下结论成立

（i） 对任意ε＞0，uε的Gaussian平均Htuε在X× R+上是良定义的，其中uε(·) =u(·，ε)；

（ii） 对任意x0∈X，ε＞0和β＞0，存在常数C(x0，ε，β)＞0使得

（iii） 对任意x∈X，t＞0和ε＞0，有

（iv） 对任意x∈X，t＞0 和ε＞0，有

（v） 函数族{uε(·) }ε＞0在BMO(X)中是一致有界的。

证明（i） 对于任意取定的x∈X和t＞0，有

若y∈B(x，2ε)c，同样由引理1可得

综上可知

从而，Htuε(x)在X× R+是良定义的。由此，进一步可知

（ii） 记B=B(x，2ε)，利用（4） 式可推出

对于I1，显然有

对于I2，利用Gaussian上界、双倍性质，引理2 （ii） 和Hölder不等式可得

最后，令w(x，t)=∂tu(x，t+ε) -Ht(∂εuε)(x)，显然w(x，t)也是热方程的解且w(x，0)=0，即满足

由引理1的（ii） 可知

即w有界。故由空间是随机完备的，可知w≡0，即对任意的x∈X，t，ε＞0，

接下来， 我们利用Chen在文献［5］ 中的一个方法。注意到

以及因此

由引理1 （ii） 以及式（5） 可得

故存在f(x，ε)使得对于任意的x∈X，t，ε＞0，

令t→0，可知f(x，ε) ≡0，即u(x，t+ε) =Ht(uε)(x). 引理2 （iii） 证毕

（iv） 下面分两种情况进行证明。若r2B≥ε，利用换元和双倍性质可得

若r2B＜ε，利用引理2 （iii） 和引理1 （ii） 可得

（v） 任取g∈L2(X)且紧支撑于球B内，对任意x∈X和t＞0，设

第一步证明存在常数C＞0使得

作如下分解：

对于J0，由谱定理［20］可得

再结合Hölder不等式，引理2 （iv） 和双倍性质推出

对于Jk，先估计被积函数G(x，t)，我们把分成两个部分：

当(x，t) ∈(2k+1B2kB) × (0，(2k+1rB)2) 时，由Gaussian上界和双倍性质可得

将该估计带入到Jk中并利用Hölder不等式和（iv） 可得

当(x，t) ∈(2kB) × ((2krB)2，(2k+1rB)2)时，同理可得

将该估计带入到Jk中并利用Hölder不等式可得

因此，由（8），（9） 和（10） 式可推出

第二步证明下述等式成立

由（6） 式，可得

利用Lebesgue控制收敛定理和Fubini定理推出

对于K1，我们由谱定理［20］可得

这样我们得到

对于K2，利用Gaussian上界和双倍性质可得

因此，我们有

再由Hölder不等式及引理2 （ii） 知

上式说明极限和积分可以交换顺序，再结合（12） 式可得

结合（13） 式和（14） 式可知（11） 式成立。

第三步现在我们利用第一步和第二步结论来证明{uε(·) }ε＞0在BMO(X)中一致有界。由注1 （BMO空间等价刻画） 可知，只需证{uε(·) }ε＞0满足其中（i），（ii） 两个条件且有一致上界即可。

首先，因为u∈TMO(X× R+)，故由引理3. 2 （ii） 知

从而uε满足第一个条件。

其次，由第二步结论可知，对任意g∈L2(B)，

再结合对偶定理，可推出

其中常数C＞0 且与ε无关。故uε满足第二个条件，因此函数族{uε(·) }ε＞0属于BMO(X)，且有一致上界

4 定理1的证明

在第三节基础之上，我们给出定理1的证明。

定理1的证明 第一步证明对任意u∈TMO(X× R+)，都存在f∈BMO(X)，使得u=Ht f且

其中常数C＞0且和u，f无关。

我们知道，Hardy 空间H1(X) 完备［13］，且由引理2 （v） 知函数族{uε(·) }ε＞0在BMO(X) 中一致有界。故利用Banach-Alaoglu 定 理知，存在数列εk→0(k→∞) 和函数f0∈BMO(X) 使得当k→∞时， 有uεk→f0（弱*收敛）；而由命题2 （ii） 知，对任意(y，t) ∈X× R+，有∂tht(·，y) ∈H1(X)，故由弱*收敛定义可得

对于（15） 式左端，利用引理2 （iii） 可知

由极限唯一性可得∂tu(x，t)=∂tHt f0(x)。因此，存在g(x)使得u(x，t) =Ht f0(x) +g(x).

注意到Ht f→f（t→0） 在BMO(X)中成立，可以推出：对任意h(x) ∈H1(X)，有

上式两端对k取极限得

因为上式对任意h∈H1(X) 都成立，因此g≡常数；令f=f0+g，则有u(x，t) =Ht f，且由Banach-Alaoglu定理得

第二步对任意f∈BMO(X)， 因关于时间变量部分的估计与空间变量的思路相同，故只需证明

其中常数C＞0且与f，B无关。

将f分解为

对于f1由守恒律知其显然成立。

对于f2，由谱定理［20］可知

再结合Riesz变换▽xΔx-1/2在L2上的有界性和双倍性质，可得

对于f3，由Gaussian上界和双倍性质可得

因此有

综上可得（16） 式，再结合第一步结论知定理1得证。