偶极Loewner微分方程的一些估计*

2021-10-21杜振叶蓝师义

中山大学学报(自然科学版)(中英文) 2021年5期

杜振叶，蓝师义

广西民族大学数学与物理学院，广西南宁 530006

随机Loewner 演变（简称SLE）是Schramm［1］研究回路删除随机游走与一致生成树的尺度极限时引入的一类含有一个参数的随机曲线族。这类随机曲线可以通过求解一个驱动函数为时间改变的Brownian 运动的Loewner 微分方程来描述。已经证明，SLE 可以用来描述若干来自统计力学的二维离散模型，包括Ising 模型［2-3］、临界渗流［4］、回路删除游走［5］、一致生成树［5］、调和探索过程［6］、离散Gassian 自由场［7］与q=2的随机簇模型［8］等。这为人们严格数学理解这些模型开辟了一条的新途径。同时，SLE 也使关于平面Brownian 运动的若干长时间公开问题得到了解决，尤其是Mandelbrot 关于Brownian 运动边界的Hausdorff 维数的猜测［9］与Brownian 运动相交指数值的决定［10-12］。近年来，随着对SLE 研究的不断深入，导致了人们对Loewner 微分方程的进一步研究［13-16］。最常见的Loewner 微分方程有下面3 种类型：一是上半平面内的通弦Loewner 方程，它导致的Loewner 链是一类从上半平面到上半平面子集的共形映射；二是单位圆盘内的径向Loewner 方程，其产生的Loewner 链是一族从单位圆盘到单位圆盘子集的共形映射；三是带形区域内的偶极Loewner 方程，它产生的Loewner 链是一类从带形区域到带形区域子集的共形映射。当然还有其他变式，有关Loewner微分方程的理论及其相关背景知识可参见文［15-16］等。

对于通弦与径向Loewner 微分方程，文［14］与文［13］已经分别讨论了它们的解关于时间t方向变化的估计以及对应于两个驱动函数的Loewner微分方程的解的差值可以通过这两个驱动函数差的上确界范数来估计。在本文，我们所关心的是偶极Loewner 微分方程的相应问题。设ft(z)是偶极Loewner 微分方程的一个解，并且固定z，应用Bieberbach 定理［17］，我们给出ft(z)依时间方向变化的一个估计，准确的描述见第2 节的定理1。对于给定的两个驱动函数与，设(z)与(z)为偶极Loewner 方程分别对应于与的两个解，基于逆时间的偶极Loewner 方程我们导出了ft(1)(z)与ft(2)(z)的差值可以通过与差的上确界范数来估计，准确的描述见第3 节的定理2。这将通弦与径向Loewner 微分方程的一些相应结果推广到带形区域内偶极Loewner 微分方程的情形。我们的工作与文［13-14］进行比较，虽然方法类似但有许多细节是不一样的，因为我们所讨论微分方程的表达式不同于前者，这导致我们的估计涉及三角函数与双曲函数之间的关系及其相关性质。

1 Loewner微分方程

在这一节，我们将简要介绍本文涉及Loewner微分方程的几个版本以及一些基本概念，更详细的相关背景知识可参见文［15-16，18-19］等。

1.1 通弦Loewner微分方程

若K是闭上半平面上的一个紧集使得HK是一个单连通区域且，则称K为上半平面H 的一个壳。对任意一个壳K，都存在唯一一个共形映射gK，将上半平面HK映到H，并且gK(z)满足规范化：，当z→∞时，有下面Laurent展开式

其中系数an(n=1，2，…)都是实数。定义a1=a1(K)为壳K的容量。

假设γ(t)(t≥0)是上一条连续的路径且γ(0) ∈R，这里R表示实轴。规定γ(t)碰到自身或者R就立即弹到开阔的区域，这样随着时间的改变，我们就得到了一族递增的壳{Kt：t≥0}；相应地，对于每一个壳Kt都有一个容量a1(Kt)，同时也得到一个从HKt到H 的共形映射gKt. 由于a1(Kt)是连续的，因此，我们可以参数化γ(t)使得a1(Kt)=2t. 在这种情形下，对于每一个t≥0，记gt∶=gKt，则Loewner 定理给出gt(z)满足下面通弦Loewner微分方程

反之，若给定一个定义在[ 0，∞)上的连续实值函数Wt，则对于所有方程(1)在时间t之前是可解的，其中τ(w)表示gt(z) -Wt等于0 的第一时间。而且，对于任意t≥0，gt将HK共形映射到H上，我们称Kt为这个Loewner链{gt}的壳。

如果令ft(z)为gt(z)的逆映射，即ft(z) =g-1t(z)，则对任意的z∈H，ft(z)满足下面微分方程

1.2 径向Loewner微分方程

令D表示单位圆盘，若K⊂是一个闭集使得DK是一个包含原点的单连通区域，则称K为D的一个壳，记为D-壳。同样地，也存在唯一一个共形映射gK(z)：DK→D 满足gK(0)=0，g′K(0) ＞0.K的容量定义为capD(K)=lng′K(0). 在z=0处，gK(z)可以展开为

这里系数ck是复数。

假设γ(t)是一条在内从边界∂D 到原点的连续路径，则对每个t，都产生一个D-壳(Kt)t≥0与相应的一个共形映射gKt(z)：DKt→D. 同样地，我们可以参数化γ(t)，使得lng′K(0) =t，在这种情况下令gt∶=gKt，则gt满足下面径向Loewner微分方程

其中驱动项Wt=gt(γ(t)) ∈∂D.

反过来，如果给定一个定义在[ 0，∞)上且取值于∂D 的连续函数Wt，则对于所有z∉Kt={w∈：τ(w) ≤t}，方程(3) 在时间t之前是可解的，其中τ(w) 表示gt(z)碰到Wt的第一时间。而且对于任意的t≥0，gt将DKt共形映射到D上，我们称Kt为这个Loewner链{gt}的壳。

称方程(4)为单位圆盘D 内的径向Loewner微分方程，该方程的解{ft}(Loewner链)，是一类从单位圆盘D 到D的子集的共形映射。

1.3 偶极Loewner微分方程

考虑带形区域Sπ={z∈C：0 ＜Imz＜π}. 设K⊂是一个紧集使得SπK是一个单连通区域且K=，则称K为Sπ的一个壳。对每一个壳K，存在唯一共形映射gK(z)：SπK→Sπ. 记capSπ(K)为壳K的容量，则有

假设γ(t)是在Sπ内一条从原点出发到上边界Rπ={z∈C：Imz=π}的连续路径，则对每个t，都产生一个Sπ-壳(Kt)t≥0与相应的一个共形映射gKt(z)：SπKt→Sπ. 同样地，我们可以参数化γ(t)，使得capSπ(K) =t，在这种情况下令gt≔gKt，则gt满足下面偶极Loewner微分方程