基于温度变化的相位QKD系统误码率分析

吴佳楠，张莹，赵剑，朱德新，宋立军

(1.长春大学计算机科学技术学院，吉林长春，130000；2.吉林省量子信息技术工程实验室，吉林长春，130052；3.吉林工程技术师范学院量子信息技术交叉学科研究院，吉林长春，130052)

量子保密通信是量子信息领域中一个重要的应用研究方向，学者们对其进行了广泛的理论和实验研究[1−3]。量子载体相对于经典载体更具有安全性，且计算速度更快。根据“海森堡测不准”原理，在一定条件下，量子密钥可以有效解决信息被泄漏窃听等问题[4]。为解决窃听者有可能通过分光子的手段窃取到信息的安全漏洞，HANG[5]提出了诱骗态(Decoy)量子保密通信方案。在基于诱骗态的相位编码量子密钥分发(quantum key distribution，QKD)系统传递信息的过程中，对携带信息的单光子的有效探测起到至关重要的作用。

单光子探测是检测量子载体的唯一手段[6]。KANG 等[7−9]发明了基于InGaAs 光电二极管的高速单光子探测器，使其工作在弱雪崩模式，采用差分检测技术研制了最高工作频率达到2 GHz的单光子探测器，甚至可以实现部分光子数分辨的功能。利用该探测器，研制了工作频率达到1 GHz 的高速QKD 系统，在距离为50 km 时，成码率可以达到1 MBit/s。但由于单光子探测器的暗计数和光纤传输线路上的随机应力等不理想因素的影响，实际光纤量子保密通信系统产生的密钥误码率一般为9%左右，需要进行纠错处理[10−11]。在相位编码的诱骗态QKD 系统中，由于实际的单光子探测器存在探测效率和暗计数的问题，导致系统不可能达到理论上的密钥信息生成量，其误码率也会受到单光子探测器的严重影响，这种影响主要体现在单光子探测器的探测效率和暗计数对量子密钥分发系统成码率和误码率的影响[12−15]。

在实际通信过程中，单光子探测器对于环境变化较敏感，其探测结果会随着工作电压、温度等外界条件的改变而发生变化。本文根据单光子探测器的工作模式，从理论上探究了单光子探测器性能在环境温度改变对QKD系统误码率的影响。作者团队在中国北方寒带地区搭建了基于相位编码的32 km实际远程量子密钥分发系统，进一步验证该结论。

1 相位编码QKD系统构成与分析

图1所示为基于相位编码的远程点对点QKD系统。由图1可见：

图1 基于相位编码的远程点对点诱骗态QKD系统Fig.1 QKD system of phase coded remote point-to-point decoy state

1)发射端Alice 中的激光源(LD)发出4 个分别为H，V，+和−的极化态，每个极化态分别标记为信号态(signal)和诱骗态(decoy)。

2)每个光源发出的激光经过衰减器(Att)将光强衰减至所需强度，通过偏振控制器(PC)和强度调制器(IM)进行调制。

3)将信号态和诱骗态调制信号通过光纤合束器(BS)耦合到一条光路，其中对应水平垂直基矢的H和V耦合到一起，对应45°和135°的+和−耦合到一起。

4)耦合后成为一路光经过三级衰减最后所有的量子态单光子源通过一个单模分束器SBS 耦合至一路光源，送入光波分复用器(CWDM)，通过光纤信道发送给接收端Bob。

5)信号到达接收端后经过BS做出对应的基矢选择，经过功率晶体管(EPC)后由单模保偏激光分束器(SPBS)区分不同的偏振极化态.

6)单光子探测器(SPD)探测并输出成为量子密钥。

1.1 量子态单光子源

单光子源因其具备理论上的完美性，作为诱骗态QKD 系统的重要组成部分，但是目前实验中没有可以产生单光子源的光源，世界上绝大部分量子密钥分发实验是将一束激光脉冲进行衰减，使得每个脉冲的平均光子数降到0.1左右，光学理论上这种激光脉冲的光子数服从泊松分布[16]，可记为

式中：Pn为每个光脉冲中含n个光子的概率；v为平均光子数。当v远小于1 时，可近似认为出现2个以上光子的概率仅为v2/2。假设系统中每个脉冲所含有的平均光子数为0.1，则每个脉冲包含2 个以上光子的概率为0.5%，这样窃听者通过分流光子得到信息的可能性基本为0，因此，这样的光源可以等效为一个单光子源，作为信息载体通过单光子探测器接收。

1.2 单光子探测器工作模式

单光子探测是基于盖革模式下的雪崩光电二极管(avalanche photodiode detector，APD)对接收到的单光子进行有效探测[17]。单光子探测器在工作时会受到器件性能及环境的影响，如二极管质量、反向电压、门宽以及温度变化。在信号光子没有到达时，处于盖革模式等待，当光子到达时，触发雪崩，APD 淬灭输出脉冲计数，最后恢复到盖革模式等待。低暗计数率是APD 对随机到达的光子完成有效探测的关键。在盖革模式下，雪崩光电二极管的很多参数都依赖于击穿电压，其值可由电离因子得到，产生暗计数的概率Pd服从Poisson分布，表达式可写为[18−20]

式中：Nd为倍增区内的平均热载流子数；Mg为基于盖革模式下每个载流子触发雪崩的倍增增益阈值。

单光子探测效率和暗计数概率是一对反关联的参数，通常为了提高探测器的效率，会提高APD 的工作电压，导致雪崩效应更容易发生，但同时也会使暗电流更容易引起雪崩，从而导致暗计数概率升高，暗计数率增高，误码率增加。

1.3 热载流子触发暗计数

热载流子主要来自窄能隙光吸收区，可通过增加材料的能隙宽度和降低器件的工作温度来降低暗计数。在主动−被动混合淬灭模式下具有足够长的等待时间，保证对随机到达的光子实现有效探测[21]。其中，能隙宽度和温度对APD 暗电流密度的影响为

式中：Js为暗电流密度；γ为常数；Eg为能隙宽度；T为温度；K0为玻尔兹曼常数。

可以估算由热载流子产生的暗电流密度随温度升高呈指数上升。根据暗计数依赖暗电流这一特性，可以得出当温度升高时，暗计数也会相应增加。

1.4 误码率

目前单光子探测器的量子效率很低，因为在没有光照的条件下暗计数的产生会导致探测器后端电路的误采样，严重干扰对单光子信息的采集，因此，暗计数是影响单光子探测器的探测效率的主要因素，也是导致误码率的主要因素[22]。对于采用弱相干光脉冲源的诱骗态QKD 系统，由雪崩光电二极管暗电流引起的量子比特误码率Q[23]为

式中：μ为平均每脉冲内所含的光子数，一般取0.1；η为雪崩光电二极管的检测效率，一般取15%；n为接收端的检测系统所采用的雪崩光电二极管个数，通常取4；Pdark为雪崩光电二极管的暗计数概率，与其质量、环境温度、反向电压以及门宽有关，在一定情况下，降低探测器的暗计数概率可以大幅度减小误码率，从而提高传输距离。

衰减系数也是影响信道传输率、密钥传输率和误码率的重要因素。衰减系数变小能够大幅提高信道传输率和密钥传输率，降低误码率。在其他条件不变的情况下，雪崩光电二极管的暗计数概率与选通门宽呈正比，若采用较窄的弱脉冲源，则可以减小门宽，降低暗计数概率，从而有效减少量子比特误码率。但是实际系统在工作过程中，过偏压、二极管质量及门宽都不变，属于固定参数，因此，影响暗计数概率的参数主要为温度。

通过诱骗态方案可有效估计出单光子成分的贡献和错误率，结合GOTTESMAN 等[23]的研究方法还可得到成码率。假设每个光子的传输透过率为η，包括传输链路的透过率及探测器的探测效率，多个光子中至少有1个被探测到的概率ηi为

设Y0为不发送任何光子的时刻探测器输出1个探测事件的概率，则多光子脉冲触发1个探测事件的概率Yi为

又因为光子数符合泊松分布，此时，光子数的相干态被探测到的总增益Qμ为

式中：μ为相干态的平均光子数。每个发射脉冲出现错误比特的概率为各种光子数成分的错误概率按照泊松分布的叠加，即总误码率Eμ为

式中：μ可以通过实验直接测得，结合GLLP 公式和诱骗态含义，WANG 等[25−27]给出了诱骗态QKD系统中应用弱相干态光源估计单光子贡献的实用化方法，相应的安全码率公式为

式中：q为Alice 和Bob的测量基选择相同的概率；f为纠错因子，一般情况下约为1.2，由式(9)可看出，成码率显然要求大于0，若不等式右边小于0，则成码率为0。H2(e)=-elog2(e)-(1-e)log2(e)为二进制香农熵函数；Q0和Q1分别为信号态和诱骗态的单光子在Bob端被探测的比例。

综上，在基于相位编码诱骗态量子密钥分发系统中，影响误码率的主要因素为暗计数概率，通过调控环境温度能够改变系统暗计数概率，进而影响系统误码率，温度升高，误码增大。

2 实验与分析

2.1 寒地实际远程QKD系统的构建与数据采集

32 km实际寒地点对点QKD网络链路如图2所示。在年平均气温为4.6 ℃的中国寒带地区(吉林省长春市)搭建了基于商用光纤的32 km 实际远程相位编码诱骗态QKD点对点安全通信系统(采用国产量子通信设备)。系统结构如图3所示，Alice 和Bob为通信双方节点，主要由经典通信系统、量子密钥分发系统和密钥存储系统构成，通信双方通过量子信道生成密钥，经典通信系统从密钥存储系统中取出密钥对数据加密，通过经典信道转发。QKD 数据采集与分析系统将实时监控双方通信状态，采集相关数据进行分析与计算，实际数据采集系统页面如图4所示。

图2 32 km实际寒地点对点QKD网络链路Fig.2 32 km practical cold region zone point-to-point QKD network link

图3 诱骗态QKD系统结构示意图Fig.3 Structure diagram of decoy QKD system

图4 实际数据采集系统页面示意图Fig.4 Page diagram of actual data acquisition system

系统采用波长为1 550 nm 的商用单模光纤作为量子信道，光纤信道主体置放于城市地下隧道，部分转接点(小于1 km)暴露于室外，对全年逐月n次采集系统数据并进行分析，结果如图5所示。

图5 2019年长春市月平均气温图Fig.5 Monthly mean temperature of 2019 in Changchun

QKD 系统全年4 个季度主要性能指标均值统计结果如表1所示。结合图6可以看出：第一、第二和第四季度的成码率均高于第三季度的成码率，其最大差值可达到2.348 kBit/s，而信号态和诱骗态误码率均低于第三季度。可见：环境温度变化对于实际QKD 系统的成码率和误码率有着重要影响。

表1 QKD系统季度统计数据表Table 1 Data table of QKD system

2.2 测试与分析

基于所构建的实际远程相位QKD 系统，全年多次采集不同温度下的探测器计数、安全成码率以及信号态和诱骗态误码率的系统数据。为了更加直观地体现不同温度下的成码率和误码率变化趋势，保证实验数据的准确性，在同一温度下采集多组数据，根据统计学方法，求得最终有效实验数据，构建不同温度下安全成码率、信号态和诱骗态误码率以及探测器计数变化趋势图，如图6所示。由于光纤主体铺设于隧道内，部分暴露于室外，故量子信道各部分温度并非一致，且与外界环境温度存在一定偏差，从而也会使本文的统计结果存在一定误差。

图6 理论值与实际值对比关系图Fig.6 Comparison diagram between theoretical value and actual value

由图6可以看到线条与点的变化趋势基本趋于吻合。其中在温度由−25 ℃上升至5 ℃的过程中，系统的安全成码率由最高的8.625 kBit/s 逐渐下降到5.093 kBit/s，可以看出随着温度逐渐升高，系统成码率呈缓慢震荡下降的趋势，整体比较平稳，符合理论推导结果。另外，整体来看，随着温度升高，信号态和诱骗态误码率均会增大，整体呈现震荡上升趋势。在很多温度段，实际测量值与理论值会有一定偏差，并未能表现出与理论值一样平缓的走势，而是波动性很强，这也间接表明了实际QKD 系统的误码率在一定的温差内(0～5 ℃)，对于温度变化并不十分敏感。

图7所示为不同温度下的探测器计数变化趋势图。对于诱骗态QKD 系统来说，诱骗态的平均光子数和信号态不同，根据量子光学可推导出两者是不可准确区分的，但通过对比光纤链路的探测器计数可以明显看到信号态和诱骗态误码率的改变趋势，在−20，−15，−8 和−5 ℃时改变最明显，说明探测器暗计数率随温度升高呈上升趋势，这与图6(c)中的诱骗态误码率变化相对应，由于实际QKD 系统在铺设过程中光纤信道主体置于城市地下隧道，部分转接点暴露于室外，因此，实际测量的实验结果有可能会因为外界环境的突然变化产生较大改变，但整体上，实际系统测得数值的曲线趋势与理论推导所描绘的曲线趋势基本一致，符合理论推导结果。

图7 不同温度下的探测器计数变化趋势图Fig.7 Detector counts as a function of temperature

3 结论

1)随着温度逐渐升高，系统成码率呈缓慢震荡下降的趋势，整体比较平稳，符合理论推导的结果。

2)随着温度升高，信号态和诱骗态误码率均会增大，整体呈现震荡上升的趋势。在−20，−15，−8和−5 ℃温度段，信号态和诱骗态误码率实际测量值与理论值会有一定偏差，并未能表现出与理论值一样的平缓走势，而是波动性很强，这也间接表明了实际QKD 系统的误码率在一定的温差内(0～5 ℃)对于温度的变化并不敏感。

3)调控环境温度能够改变系统暗计数概率，进而影响系统误码率，低温环境更有利于QKD 系统的长期稳定工作；在实际环境中，系统误码率对于小范围区间内的温度变化表现得并不十分敏感。