静电负刚度调谐加速度计的力平衡闭环检测控制方法

张 晶，刘雨东，王 皓，苏 岩，朱欣华

（南京理工大学 机械工程学院，南京 210094）

静电负刚度调谐加速度计（Electrostatic Negative Stiffness Frequency Modulation Accelerometer, EFMA）基于硅微机械加工工艺制作而成，通过加速度产生的位移引起谐振器与静电调谐电极间的电容变化，利用静电负刚度软化谐振器固有频率的原理实现了加速度的频率调制，通过检测敏感质量块自身谐振频率的变化来感测加速度[1,2]，实现了加速度a—位移x—频率f的传递。该原理结合了谐振式加速度计[3-5]的频率检测不易受电路噪声干扰与电容式加速度计[6-8]静电梳齿位移变化的温度系数较低的特点，使EFMA 具有兼顾两种加速度计相关优点的潜力。目前没有专门针对EFMA 测控电路的报道，一般采用类似谐振式加速度计的自激振荡闭环驱动和高精度测频电路的测控电路，开环检测频率的方式读取信号[3,9,10]；相比于同是频率检测的谐振式加速度计，EFMA 谐振器的温度特性更接近于硅材料的温度特性，易于补偿[11]，但该方案为了实现静电调谐，通常需要在谐振器上设计大量平板电容以提高标度因数，因此相比于谐振式加速度计，EFMA 的谐振器在开环检测状态下的电容变化极易受到非线性影响，很大程度上限制其量程的进一步提升，只能在±1 g 的量程内实现较好的线性度，制约其应用范围[9,12]。

早期的电容式加速度计也存在量程小的问题，通过力平衡闭环检测的控制方式将结构的平衡位置锁定在初始位置，将位移量转换为电压作为控制量反馈的输入端，平衡外界输入加速度产生的惯性力，以避免静电负刚度效应引起较大的非线性，实现大的量程和高线性的标度因数，从而提升整表性能，有效降低平板电容非线性效应的影响[13,14]。然而相比于电容式加速度计，EFMA 是频率检测，无法直接检测质量块的位移量，若想实现力平衡则需根据其静电负刚度调谐原理选取包含谐振频率的力平衡控制量；而采用频率值作为反馈量，则测频电路也需纳入闭环控制环路，其性能将直接影响整体环路的性能。因此，在合理选取力平衡控制量、保证测频精度的同时，也需要提升测频电路的线性、实时性等性能。

针对现有研究中存在的不足，本文根据EFMA 静电调谐的原理，推导获取实际可行的力平衡控制量，提出EFMA 专用的力平衡控制方法，并实现了对应力平衡检测电路的设计；最后搭建了EFMA 实验室样机及测试系统，完成关键性能的测试，对比了开环检测和力平衡闭环检测电路的量程与标度因数非线性，验证了该力平衡控制方法的可行性与优势。

1 EFMA 静电负刚度调谐原理

如图1(a)所示，EFMA 敏感结构由两个相似的谐振器组成，每个谐振器由两个敏感质量块以及一些连接梁（锚点与质量块的支撑梁、质量块之间的谐振连接梁）组成；每个敏感质量块包括一对差分驱动梳齿，一对差分检测梳齿和用于静电调谐的平行板电容组成。两个质量块构成一个谐振器，这两个质量块的同向运动模态为加速度敏感模态（如图1(b)），两质量块的反向振动模态为加速度调制模态（如图1(c)）。在设计的过程中，反向模态（加速度调制）高Q 值，降低机械噪声，实现较高的分辨率；同向模态（加速度敏感）低Q 值，保证结构的机械带宽[15]。

图1 EFMA 敏感结构及谐振器振动示意图Fig.1 Schematic diagram of EFMA structure and resonator vibration

EFMA 的谐振器静电负刚度调谐原理简化为质量-弹簧-阻尼二阶线性系统，如图2 所示。

图2 简化的EFMA 谐振器动力学模型Fig.2 Simplified EFMA resonator dynamic model

当有外界加速度加在EFMA 上时，质量块会受到惯性力而发生偏移，受力平衡如下：

其中，x 为质量块的位移，m 为质量块质量，c 为系统阻尼，k 为等效刚度，电力Fe的大小可以表示为[15]：

其中，C 为极板之间电容，V 为调谐电压。

EFMA 是变间距电容检测，一个谐振器的极板总电容计算为[11]：

其中C1和C2为可动极板和两端固定极板形成的平板电容，ε0为相对介电常数，N 为电极对数，d1和d2为调谐电极左右极板分别与质量块极板的间距，S 为极板之间正对的面积。

将式(3)代入式(2)可得静电力Fe为：

静电力Fe会使得系统稳定在一个新的平衡位置，进一步引起静电刚度ke发生改变。由于ke会软化系统等效刚度k，所以称其为静电负刚度，可以通过计算单位位移上静电力变化量获得：

系统的固有谐振角频率可以表示为[9]：

开环检测模式下，EFMA 的标度因数为：

2 EFMA 力平衡控制方法理论分析

静电负刚度的非线性效应导致加速度计标度因数非线性过大，量程难以提升；而力平衡闭环控制可以通过对调谐电压进行调控（开环检测模式下调谐电压恒定），能够让质量块一直稳定在初始位置，最大限度减弱静电负刚度非线性效应的影响[16]。但由于EFMA 不是位移检测的模式，很难直接控制位移实现力平衡，因此，本文从力平衡的最终目标出发，基于EFMA 频率输出的特点推导与频率相关的力平衡控制量，以实现质量块稳定在初始位置的根本目的。

2.1 EFMA 的力平衡控制量选取与模型搭建

实现EFMA 的力平衡需保证质量块维持在初始平衡位置，即d1和d2的距离不发生改变，位移x 为零，假设初始调谐电压为V0，则由式(4)可得初始静电力Fe0为：

同时，式(5)可以简化为：

将式(9)代入式(6)可得：

其中令

将式(11)代入式(10)可以简化表达为：

其中α 、β 是只与结构相关的参数。

因此，可以通过控制谐振角频率ωn和调谐电压V 使其满足式(12)中的固定关系，即可实现敏感结构的力平衡状态，保证质量块能够一直稳定在初始位置不变化。搭建如图3 所示的力平衡闭环检测系统反馈环路理论模型，根据输入的角频率值ωn产生对应的调谐电压V 控制敏感结构质量块的位置。

图3 力平衡闭环检测电路理论框图Fig.3 Theoretical block diagram of force balance closed loop detection circuit

2.2 EFMA 力平衡控制的标度因数分析

当有加速度a 输入的情况下，改变调谐电压Vt即可改变静电力，从而平衡质量块在加速度环境中产生的惯性力ma：

由式(13)可得调谐电压V 和加速度a 的关系为：

代入式(10)，加速度a 与谐振角频率ωn的关系为：

其中令：

将式(16)代入式(15)化简得到闭环检测控制中加速度a与谐振频率ωn的物理关系：

式中φ、φ 为只与结构相关的参数。进一步可得力平衡检测模式下EFMA 的标度因数SFcl：

将本课题组设计的EFMA 结构参数分别代入式(7)和式(18)，改变图1 所示调谐电容间距d1，绘制开环检测和闭环检测模式下标度因数与d1之间的曲线，如图4 所示。

图4 开环、闭环检测模式标度因数对比Fig.4 Comparison of scale factors in open-loop and closed-loop detection modes

分析可知，在力平衡闭环检测模式下，标度因数与电容间距d1非线性正相关（同理适用于电容间距d2），标度因数能达到的最大值远远大于开环检测模式，力平衡闭环检测模式下标度因数有更大的提升空间。为避免静电吸合，本结构设计时最终选取d1=12 μm，开环检测的标度因数为5 Hz/g，闭环标度因数提升到24.5 Hz/g。

3 力平衡闭环检测电路设计与实现

如图3 所示的力平衡环路模型中有平方模块，因此反馈环路为非线性系统，其分析方法是在其稳定点附近进行线性展开[17]，即调谐电压Vt的平方模块进行线性展开，设置平衡点的调谐电压值Vt0为10 V，相当于一个固定的增益值Ks=10。此时闭环反馈的环路增益为Kf=KeKSβ。力平衡闭环检测系统线性化为一阶系统，闭环传递函数Hf(s)可以表示为：

经过simulink 仿真与实际调试，确定最终参数如表1 所示。利用FPGA 数字电路模块实现力平衡检测电路，硬件平台使用Digilent 公司的Nexys4 DDR 开发板，开发板上搭载了Xilinx 公司的Artix-7 FPGA 芯片。在Vivado 中搭建了如图5 所示的力平衡检测电路，其中平方模块和闭环驱动电路中的解调乘法模块类似，均利用乘法器实现。

表1 闭环检测电路参数值Tab.1 Closed loop detection circuit parameter value

与开环检测不同，力平衡闭环检测控制电路采用测量频率值作为反馈量，测频电路处在闭环控制环路中，其性能直接影响着整体环路的性能。对于测频电路的性能要求不仅仅要保证测频精度，同时对线性、实时性等性能也有要求。因此，图3 所示的测频电路采用基于锁相环（Phase locked loop, PLL）的测频环路，它既能在闭环驱动电路中锁定EFMA 谐振器的固有谐振频率，提供电路中的解调参考信号，又能为力平衡检测环路能够直接输出精确的频率值。其数字振荡器与频率成线性关系，可以根据需要调节时钟频率达到很高的实时性。

图6 为EFMA 整体数字电路RTL 总视图，PLL作为闭环驱动电路的反馈端也作为力平衡频率信号的输入端。最终搭建如图7 所示的力平衡闭环检测电路系统，信号发生器产生一组不同频率的正弦波信号，信号直接通过模/数转换器ADC 进入数字力平衡环路中，经过如图5 所示的力平衡闭环控制与信号处理，即可在数/模转换器DAC 的输出端采集调谐电压信号，如表2 所示。可以看出数字力平衡环路的控制精度优于千分之一，验证了力平衡控制环路的正确性，环路可以完成精确测频以及产生正确的调谐电压保证ωn2+βVt2为常数。

图5 力平衡数字闭环检测电路RTL 视图Fig.5 RTL view of force balance digital closed loop detection circuit

图6 整体数字电路RTL 视图Fig.6 RTL view of the overall digital circuit

图7 力平衡闭环检测电路验证实验设备图Fig.7 Force balance closed-loop detection circuit verification experimental equipment diagram

表2 力平衡反馈环路验证试验采集结果Tab.2 Force balance feedback loop verification test results

4 EFMA 样机性能测试及分析

根据EFMA 的工作原理及开环检测和力平衡闭环检测电路两种检测模式，构建EFMA 实验样机。图8 为MEMS 结构芯片经陶瓷管壳封装完后的加速度计表头，将其焊接在模拟电路PCB 上，模拟电路、ADC电路、DAC 电路通过PCB 实现，闭环驱动与检测控制电路在FPGA 中实现，如图9 为实验室样机实物。

图8 陶瓷管壳封装的EFMA 结构芯片Fig.8 EFMA die in ceramic package

图9 EFMA 实验样机实物图Fig.9 The Experimental prototype of EFMA

依据《IEEE 线性、单轴、无回旋装置加速度计的标准规范格式指南和试验规程》，分别在开环和闭环检测模式下对EFMA 样机进行标度因数、标度因数稳定性、零偏稳定性、量程和标度因数非线性测试（测试环境如图10 所示）。图11 为开环检测模式和闭环检测模式的输出频率f-加速度a 曲线图。

图10 EFMA 关键性能测试环境Fig.10 EFMA key performance test environment

图11 两种检测模式下输出频率f-加速度a 关系曲线图Fig.11 The prototype’s f-a curve in two detection modes

结果表明，开环检测模式下EFMA 测量加速度量程为±1.6 g 时标度因数非线性小于1000 ppm；如果将量程扩大到±5 g，则标度因数非线性高达3452 ppm，继续增大量程样机会因静电力吸合效应造成电路短路现象无法正常工作；而闭环检测模式下EFMA 量程可以达到±25g，标度因数非线性为953 ppm。

分别对两种不同检测方式下加速度计的输出信号进行采集，1 小时零偏数据的噪声功率谱密度如图12 所示，由此可读取开环和闭环检测模式下的样机本底噪声。两种检测方式对应的6 项性能测试结果见表3。可以看出，本文提出的力平衡闭环检测控制方法在不影响EFMA零偏稳定性以及标度因数稳定性的前提下，大大提升了EFMA 的标度因数和量程，改善了标度因数非线性，从而验证了力平衡闭环检测控制方式的可行性和优越性。

图12 开环检测和闭环检测模式噪声功率谱密度对比分析Fig.12 Comparasion of noise power spectrum density between open loop and closed loop detection mode

表3 开环、闭环检测对应的EFMA 性能Tab.3 EFMA performance corresponding to open loop and closed loop detection

5 结 论

本文针对静电负刚度调谐加速度计（EFMA）标度因数非线性差、量程低的特点，开展其专用力平衡闭环检测控制方法研究。首先阐述了EFMA 的敏感结构及工作原理，着重介绍了新型EFMA 闭环检测电路的力平衡控制量选取，并对比了开环、闭环两种频率检测模式对标度因数的影响。在此基础上搭建力平衡控制电路理论模型并对复杂模型进行简化，根据电路性能要求设计电路参数，实现了新型闭环检测电路。通过性能实验验证，在保证EFMA 零偏稳定性、标度因数稳定性不受影响的情况下，将其标度因数从5 Hz/g 提升到了24.5 Hz/g，量程从±1g 提升到了±25g，验证了该控制方法的可行性与优势。该研究针对频率检测探讨适合的闭环控制方法，为EMFA 增大量程应用范围提供了一种可行的技术途径，同时对于其他谐振式器件的闭环检测也有一定参考意义。