探究课本习题、提高复习效率

2021-10-15陈健

中学生学习报 2021年13期

摘要：众所周知，每年各地的中考试题大都源于教材，但高于教材，所以对课本习题的研究就成为必然，同时也是教师的责任和义务，体现了教师的基本功. 同时通过题目变化，渗透数学思想方法，积累解题经验，提高复习效率，下面就一道课本习题作为中考复习中的探究谈点做法，以期抛砖引玉。

关键词：中考;证法;探究

人民教育出版社2013年6月版八年级下册69页第14题，题目：四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形ABCD外角平分线CF于点F. 求证：AE=EF.（图1）

一、证法探究

分析：思路1，抓住∠BAE和∠CEF相等，构造与△ECF全等的三角形，从而会想到AB的中点G，连接EG，（如图2），证△AGE≌△ECF，问题得到解决。

思路2，构造与△ABE全等的三角形，从而会想到过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H，（图3）直接证△ABE与△EHF全等较困难，观察可知这两个三角形相似，又有CH=FH，设EC=a，则AB=2a，BE=a，设CH=b，则FH=b.由△ABE∽△EHF得，整理得2ab=a2+ab，a=b，，问题得到解决。

思路3，连接AF，将AE、EF放在△AEF中，将证明线段相等转化为证明角相等。连接AC，（图4）易证∠ACF=90°，又∠AEF=90°，所以A、E、C、F四点共圆，所以∠EAF=∠FCH=45°，问题得到解决。

二、题目中其余线段之间或角与角之间结论探究

结论1.设EF交DC于点M，由相似可知CM= AB，从而可以求AB的长，求CM的长。

结论2.连接DF，由原题结论易知△DCF是等腰直角三角形，从而可设置为：连接DF，试确定△DEF的形状并说明理由。

结论3.探究CF与正方形的边长之间的数量关系，由证明方法1知，CF=EG= .

三、變静为动

1.点E不是BC的中点，为BC上一动点，且不与B、C重合，（图5）原题中的结论还成立吗？

由探究知，证法中的1、3可推广到一般，那么证法2也是否可以推广到一般呢？

设FH=x，EC=y，正方形的边长为a.由∆ABE∽∆EHF。所以，即ay=xy+y2，a=x+y.问题解决，从而给学生一种类比，从特殊找一般的证明思路。

2.当E从B向C运动变化时，直线EF与DC的交点M与点C之间的线段CM有一个由短到长，由长到短的变化过程，从而CM存在一个最大值。从而可设置为问题一：当点E从点B出发向点C运动，设正方形的边长为a，EF交CD于点M，求CM的最大值。

分析：由△ABE∽△ECM，设CM=y，CE=x，则BE=a-x.则，当x= = 时，ymax= ，由此可以复习建立二次函数模型求最值，渗透函数思想。

继续延伸，当点E在BC的延长线上时，结论如何？（图6）证法探究，类比原题证法1，在BA的延长线上取一点M（图7），使AM=CE，连接ME，易证∠EMA=∠ECF=450，∠MAE=∠CEF=1350，问题可证。原题中的方法2、3仍可证，当点E在BC的延长线上时，AE=EF仍然成立。