中考数学二次函数综合题答题策略研究

王兆武

【摘要】在现行的中考体系中，数学科目是区分度最大的，其中二次函数综合题是拉开区分度的主要因素。文章从近十年甘肃省数学中考试题结构类型分析入手，具体分析了二次函数综合题中求点的坐标问题的答题策略之“设”“列”“算”“查”“疑”“舍”六要素，旨在提高学生分析和解决问题的能力，力求帮助考生最终在数学考试中胜出。

【关键词】数学;中考;二次函数;答题策略

我国实行九年义务教育，初三和高一虽然只相差一级，却是很多学生学习生涯的分水岭，这就有形无形地提升了初中毕业会考的地位。中考之重，对所有考生乃至家庭都是不言而喻的。数学具有区分度鲜明这一特征，能否做好二次函数综合题在很大程度上决定了考生（特别是数学成绩比较好的考生）能否得到高分。一个有效的应考策略，可以使考生拥有良好的应试心理状态，从而有充足的时间去检查其他题目，并最终在数学考试中胜出。笔者结合多年数学教学经验，就二次函数综合题的解答策略谈几点意见，希望能帮助考生尽可能在数学考试中获得理想的成绩。

一、试题结构类型分析

近年来，甘肃省通用数学试卷最后一道大题均为二次函数综合题。作为最后一道上难度、拉区分度的大题，其实前面的一两问往往并不难，具体表现是：共三问的题目，第一问简单;四问的题目前两问简单，只需要准确计算就可以得分，而后面的两问才是真正有难度的问题。因此，能否准确而又顺利地解答后两问就直接关系到考生时间充裕程度和应考心理状态。有了充足的时间和良好的心理状态，考生再回头检查前面所做题目时，就能更容易检查出自己的错误，从而得到理想的分数，并最终在考试中胜出。

本文就如何在二次函数综合题目中求点的坐标谈几点解答策略，希望能对使用甘肃省通用试卷的考生有所帮助。

二、解答策略六要素：“设”“列”“算”“查”“疑”“舍”

在二次函数问题中求点的坐标，一般情况下，题目设置都不会特别简单，解答此类题目需要综合运用所学知识。同时，解答的思路、方法、逻辑等也对考生综合运用知识的能力有较高的要求。笔者根据自己多年的一线教学经验，按照解题的顺序，总结出以下六个关键点——“设”“列”“算”“查”“疑”“舍”，仅供广大考生参考借鉴。

（一）“设”就是设点的坐标

纵观近十年数学中考，根据点位置的不同，可以分为两类：第一，点在线段上，包括坐标轴;第二，点在抛物线上。不同的位置，设坐标的方法也不同，但所设点的坐标必须满足直线关系式（点在线段上）或抛物线关系式（点在抛物线上），且未知数尽可能少，这样才能保证后面所列方程是一元方程，从而减小运算量。如：2013年可设点，2016年设点，2017年则设点。如果将点的坐标直接设为，增加运算量不说，还有可能会在后面的运算中造成思维混乱。未知数设得合理与否看似是小问题，却直接关系到解题过程是否顺利，时间长短在不在计划范围内，进而影响考生心情和考试成绩。因此，决不能忽视设未知数的技巧。

（二）“列”就是找等量关系列方程

找等量关系的关键是所求点需要满足的条件。仔细研究近年二次函数综合题目，对点限定的条件大体分为三类。

1.构造特殊图形（2012年构造等腰梯形，2018年构造菱形，2019年构造等腰三角形）。构造等腰梯形的问题比较简单，只需要根据两腰相等列方程，因為两底是位置关系，列不出方程;构造菱形是根据边相等列方程，没有必要赘述;构造等腰三角形最为复杂，要分成三种情况讨论，再根据题目的其他限定条件舍去不合要求的情况。若问题中出现了其他特殊图形，如直角三角形、平行四边形等，完全可以仿照上面的分析思路列方程，形有别而神相似。

2.满足角度或线段数量关系（2013年，2014年PO与x轴正半轴夹角等于）。这种情况的解决方法基本上都是作垂线构造直角三角形，再用勾股定理、三角函数等知识解决。线段相等的问题完全可以按照构造特殊图形的办法解答，没有本质区别。

3.满足某图形面积最大或最小。面积最值问题基本上都是列出新的二次函数关系式，利用二次函数的最值列方程求解，原因有三个方面。（1）其他方法，如一次函数、反比例函数等通过自变量取值限定也有最值，但这种情形难度太低，失去了二次函数综合题拉大区分度的设置原旨，出现的可能性不大。（2）面积本身就需要乘法计算，若是其中一个量变成常量，也就降低了题目的难度，相信考生能轻松解决。（3）二次函数最值问题需要清晰的思路加上正确的方法和准确的计算，属于综合能力考查，出现在最后一道题中最为恰当。需要注意的是，这种情况在题目中通常还会有其他的限定条件，如2013年、2014年为抛物线上对称轴右侧一点，2015年、2016年、2018年为抛物线上某直线上方或下方一点，而2020年是抛物线上第三象限一点。这些限定都需要排根，排根其实不是增加难度，恰恰相反，是降低难度，因为排根后，舍去不合题意的根就会使讨论的情况变少或不需要讨论，大大减小了运算量。比如，2019年要求构造等腰三角形的问题中，有一种情形，当时，所得结果就不合题意，需要舍去，这就使得符合题意的点的坐标由三个减少为两个。这样设置，一是为了考查考生的细心程度，二是适当降低题目的难度，毕竟中考不是数学竞赛。

（三）“算”就是准确计算

二次函数综合题本身就是一道运算量较大的题目，再加上考试进行到这里，考生的精力普遍有所下降，如果只是因为计算错误丢分的话就太不值了。计算习惯、能力好坏将直接影响得分，日常学习中一定要多加训练，绝不可忽视。这个问题看似小儿科，却让教师非常头疼，一再强调，还是年年出现。根据以往经验，由于所谓的“粗心”，在计算中丢分的学生超过半数。笔者曾经参加了多次中考数学阅卷，考生在答题时丢负号的、把加号和乘号看错的，以及忘了平方运算等令人遗憾的错误屡见不鲜。所以，这里要提醒广大考生，读题必须仔细，特别是关键词语要一读再读，绝不能出现题还没读完就开始解答的情形。请牢记，数学考试，计算务必准确、细心，书写力求工整、有序。

（四）“查”就是求出点的坐标后回头再检查

这时候的检查主要包含三个方面。一看点的坐标是否合理，是不是满足函数关系式，有没有考虑到题目的限定条件等。这时，验算必不可少。二看位置是否合理。对于这一点，可以重新读题，再审限定条件，对照题目总要求和具体的限定条件，确认点的坐标是否合理。比如限定点在第三象限，点的坐标必须是（负，负），限定在对称轴右侧的就不能出现在对称轴左侧，轴上的点纵坐标为0等，这里不再一一列举。三看结果是否齐全，有无遗漏。这一查对构造等腰三角形的问题尤为重要，因为等腰三角形有三种情况。如2019年第28题：“（2）是否存在这样的点Q，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形。”就要分为，，三种情况来讨论。其中，前两种得到点的两种坐标，第三种所得结果不合题意需要舍去。这里既要检查有没有分三种情况讨论，又要检查不合题意的根有没有舍去。

（五）“疑”是指对结果的怀疑和再检查

在二次函数综合题中求点的坐标，一般说法是：“是否存在一点，若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由。”实际情况是基本上没有不存在的情况出现，因为不存在的情况出现时，要么太简单，没有考查意义，要么太复杂，学生完成率太低，也不符合出题宗旨。若是考生得出了该点不存在的结果，一定要重新再做一遍，确认结论。当然，未来的中考中或许会出现不存在的情况，希望考生在中考综合复习时做一做此类题目，积累经验，做到有备无患。

（六）“舍”就是战略性放弃解答这道题中难度较大的一两个小题

在中考考场上，数学是为数不多时间不足的科目之一，每年都有百分之七十左右的考生因为时间不够而无法完成所有题目的解答。经过综合复习训练，每一位考生都很清楚自己的时间够不够用，有没有把握考满分，搞清楚了这些问题再去做出最适合自己的抉择，就更科学了。考试实际上是一个时间利用率问题，花大量时间去做一道自己没有把握的題，不如节省出时间去做其他题目或检查已经做过的其他题目。事实上，数学成绩的高低取决于做正确了多少道题，而不是做了多少道题，两小时内尽可能准确地完成更多分数的题才是我们的最高追求。所以，放弃一两个特别费时间且没把握完成的小题，是考试中时间效益最大化的体现，这里的“舍”，是为了得到更多。

三、关于中考

都说“考场如战场”，而中考考场上的士兵们都是一些心理还没有完全成熟却很自以为是的孩子，当试卷答到最后一道题时，体力和脑力都已经损耗了大部分，能不能得高分甚至满分不仅仅是知识和技巧的较量，更是习惯和意志品质的较量。因此，考前准备和应考身体状态、心理状态也非常重要。考试前复习要全面，牢牢抓住数学试卷中占百分之七十的基础知识题和百分之二十的中档题，就已经基本成功了。考试前注意调整良好的应试身体状态和轻松的心理状态，以最好的状态迎接考试;考试过程中仔细审题，答题时认真计算，工整书写;最后给自己留一点时间检查一下答题卡的填涂情况，以防因小疏忽失大局。

其实，再好的策略也比不上雄厚的实力，要想在考场上最终胜出，学习时多用功才是正道。只有用雄厚的实力辅以良好且适合自己的应考策略，才能在考场上脱颖而出。

【参考文献】

钟海青.教学模式的选择与运用[M].北京：北京师范大学出版社，2006：185.

范莉花.一道初三数学压轴题的研究与教学思考[J].上海中学数学教学，2018（05）：32-35.