由光速不变原理直接导出光行差公式

刘家明

(广东第二师范学院 物理与信息工程系，广东 广州 510303)

光速不变原理是狭义相对论的一个基本原理，它强烈地表现出与牛顿时空观的不同，往往能给予学生深刻的印象.从光速不变原理出发，可以简单地推导出钟慢效应、尺缩效应这些相对论的典型特征[1].此外，它也可以用于推导洛伦兹变换[1,2]、速度变换公式[3]等等.因此，在狭义相对论的教学中，光速不变原理是非常值得详细讲解的.

而对于光行差公式，常见的教材会根据相位不变的性质、利用波矢的洛伦兹变换来推导[4].也有文献介绍平面波变换法、光子动量法等推导方法[5].

而本文将介绍一个直接由光速不变原理推导光行差公式的方法，这个方法与用光速不变原理导出钟慢效应、尺缩效应联系紧密，可以让学生达到触类旁通、举一反三的效果，使光速不变原理的教学内容更加地丰富.

1 正文

图1 导出钟慢效应的情形

(1)

而要从光速不变原理推导光行差效应时，可以对上面的例子做一点修改，引入一个倾斜的角度.在Σ′中，把镜子沿x′方向平移一段距离L′，并调整光子发射器和镜子的角度，使它们对准，如图2(a). 在Σ′中，光子发出经反射再回到发射器所需时间为

(2)

而发射角度满足

tanθ′=h/L′

(3)

由于在Σ′中，光子发出、返回仍然是同一地点的两个事件，这一点与前文中竖直发射的例子是一致的；所以在Σ中，光子发出到返回到发射器的所需时间t仍满足式(1).

但是在Σ中，镜子的倾斜角度、镜子与发射器的水平距离，都和Σ′中的情况有所不同.设发射时，发射器与镜子的水平距离为L，如图2(b).并记光子从发射器到镜子所需时间为t1，而从镜子返回到发射器所需时间为t2，则发射到返回的总时间：

t=t1+t2

(4)

在图2(b)中，P点、Q点分别为发射器、镜子的初始位置，R点为光子到达镜子时，镜子的位置，S点为光子返回到发射器时，发射器的位置.则由几何关系，有

图2 导出光行差效应的情形

(L+vt1)2+h2=(ct1)2

(5)

(L+vt1-vt)2+h2=(ct2)2

(6)

sinθ=h/(ct1)

(7)

cosθ=(L+vt1)/(ct1)

(8)

利用式(4)中t与t1、t2的关系，将式(5)、(6)相减可得

t1-t2=2Lv/(c2-v2)

(9)

再由式(9)与式(4)可解得

(10)

将式(10)代入式(5)可得

(11)

由式(1)、(2)得

(12)

由式(11)、(12)得

(13)

此即尺缩效应关系.它指示了在静止参考系Σ中，运动物体上两点沿运动方向的距离，要比在运动参考系Σ′中相应两点在该方向上的距离要短.当然，如果只是要推导尺缩效应，可以将光子发射器和镜子都设置在水平方向上[1]，这样计算过程会更简单.而本文作此推导，主要是想说明：在推导角度关系时，并不需要以水平情况的例子为前提.

继续光程差公式的推导，由式(3)及式(7)可得

(14)

而式(8)可改写为

(15)

则联合式(13)、(14)及(15)，可得

(16)

此即光行差公式. 它指示了在静止参考系Σ中运动光源的发光角度，与运动参考系Σ′中相应光线角度之间的关系.这个推导结果与使用洛伦兹变换推导的结果是一致的.

2 结语

本文通过修改教材中的常见案例，引入倾斜角度，直接从光速不变原理导出了光行差公式.此例子思路明确，与常见案例联系紧密，可作为光速不变原理教学中的扩展讨论或课后练习使用.

值得一提的是，本文在推导时，为了展示此例子并不依赖于尺缩效应的例子，计算过程会略显繁复.但是在正常教学过程中，通常是会介绍尺缩效应的例子的.而在有尺缩效应关系的基础上，本例的推导过程可以得到一些简化.