洛伦兹变换的低速近似

魏益焕，齐晓华

(渤海大学 物理科学与技术学院，辽宁 锦州 121000)

洛伦兹变换的提出先于狭义相对论建立的时间.1892年，洛伦兹提出了长度收缩假说；1904年，洛伦兹在《运动物体小于光速的电磁现象》一文中提出了洛伦兹变换.在狭义相对论建立之前，洛伦兹变换的出现还只是为了解释一些特定的物理现象，它否定的仅仅是伽利略变换的形式，并没有完全突破牛顿时空观的框架.在狭义相对论中，洛伦兹变换是两个基本原理所导致的一个结果[1].

相对性原理的内涵依赖所适配的时空坐标变换的形式.时空坐标变换的性质反映时空的几何结构.在牛顿时空中，惯性系之间的时空坐标变换为伽利略变换.在狭义相对论时空(四维闵氏时空)中，时空的性质由洛伦兹变换来反映.由洛伦兹变换能给出伽利略变换吗？所需要的条件又是什么呢？文献[2]认为，仅仅要求低速条件是不充分的.本文将就这一问题进行一些讨论.

1 洛伦兹变换的低速近似

1.1 洛伦兹变换

狭义相对论的两个基本原理是该理论的物理基础和核心内容.相对性原理自身是物理规律表述的一个要求.对于任何一个关于自然科学的理论，都有规律表示不变性的要求，否则就不能很好地描述自然.由狭义相对论中的两个基本原理，可导出两个惯性系之间的坐标变换—洛伦兹变换.

图1 相对运动的两惯性系

假定两个参考系S′和S的3个空间坐标轴取向都相同，且S′系相对S以不变速度v沿x轴的正方向运动，则洛伦兹变换为[3]

(1)

在y和z两个空间方向上，新坐标取相同值或相差一个常数.上式也可称为1+1维闵氏时空的坐标变换.

一般情况下，式 (1)中的空间坐标x是时间t的函数，x=x(t)，对于这个函数形式没有特殊要求.当x=x(t)满足线性关系时，变换(1)会线性地依赖时间t.该情况下，容易导出两个惯性系间的速度变换式.

1.2 洛伦兹变换的低速近似

一般地认为，在低速条件v<

(2)

忽略掉v/c的三级小量后，上式化为

(3)

我们称式(3)为洛伦兹变换(1)的低速近似.

通常情况下，在对洛伦兹变换进行近似处理的过程中，只考虑了涉及到速度比率v/c的因素.实际上，还有一个因素也需要考虑，就是x与vt的关系，它涉及到是否可以忽略掉式(3)下式中的vx/c项的问题.

在x<

显然，存在第三种情况x≫vt.该情况下，忽略v/c的二级小量后，式(3)可近一步化为

(4)

为了近似地给出伽利略变换，需要近一步给出关于空间坐标的限制条件：

(5)

上式不同于文献[2]给出的条件x<

2 讨论

在低速情况下，一般可认为洛伦兹变换近似化为伽利略变换.其实不然，伽利略变换丢掉了反映时空结构性质的重要信息，只能说伽利略变换近似适用于低速情况.作为反映物理时空性质的变换，伽利略变换是经验性的.只有对伽利略变换进行适当修改，才可以作为低速条件下洛伦兹变换的近似形式.