不同梁理论下功能梯度梁的自由振动分析★

莫淇茗，杨小蝶，李腾飞，谈志康，鲁 东，金春花

(南通大学交通与土木工程学院,江苏 南通 226019)

1 概述

功能梯度梁(Functionally Graded Beam,FGB)是一种由功能梯度材料(Functionally Graded Material,FGM)构成的具有抗高温和抗裂性能的新型梁。其材料特性从一个表面到另一个表面连续变换,可以消除层状复合材料中界面处的应力集中[1]。因此,FGB也引起了学术界和工程界越来越多的关注并得到广泛应用。例如,微悬臂梁的谐振特性可用于高灵敏度的生物传感器,可以满足多种高精度要求的探测用途[2];由微梁制成的气体传感器,能检测各种气体的成分和浓度,被广泛应用于探测各种有毒有害气体,各种可燃性气体,温室效应与分析食品的气味和人的呼气以了解食品的新鲜度及人体的健康状况等[3]。

在求解结构中梁的动力学性能时,弱式求积单元法(Weak Form Quadrature Element Method,QEM)性能优越,当前在结构力学领域得到了越来越多的应用,包括结构元件和结构的静力弯曲特性、屈曲特性、自由振动、动态响应分析以及应力强度因子计算等,结果均证明了QEM的准确、高效和可以根据收敛性要求自适应的优点[4]。该法本质上也是一种高阶有限元。其差别在于QEM针对用变分形式描述的问题进行必要的单元划分,借助微分求积法则对泛函的积分式进行数学离散近似,然后利用变分原理得到代数方程组进行求解。由于使用数值积分和微分求积法则对问题的变分表达和场变量进行高阶近似,因此具有高效、准确的特点,数值求解能力出色。

为了解决FGB的振动问题,国内外许多科研人士利用不同的梁理论研究了FGB梁的横向振动问题[5-6]。特别是经典的欧拉—伯努利梁理论,以及考虑了剪应力和转动惯性对振动变形的影响的铁木辛柯梁理论,这些理论广泛应用于各类常规梁、层合梁以及波长接近厚度的高频激励梁。本文基于这两种理论,借助弱式求积单元法用较小的计算资源求得高精度结果的特点,分析FGB的自由振动性能。通过讨论梯度指数以及高跨比来研究梁的自由振动频率,为FGB的设计和应用提供了参考。

2 FGM振动方程

考虑如图1所示的功能梯度梁,长为l,横截面是高和宽分别为h和b的矩形。e为几何中面与物理中面之间的距离。梁材料密度和模量均沿y方向梯度分布,则可以设密度为ρ(y),弹性模量为E(y),剪切模量为G(y)。

为了便于比较,材料属性假设沿厚度方向依据幂指数的变化:

(1)

其中,c，m分别为陶瓷和金属。P(y)或者是弹性模量E(y)或者是质量密度ρ(y),幂指数k是一个非负变量。很容易就可以看出梁底面(y=-h/2)是纯金属,梁表面(y=+h/2)的材料是纯陶瓷。

在铁木辛柯梁理论下,其位移场假设为:

(2)

其中,u*(x,y,t)，w*(x,y,t)分别为梁的轴向和横向位移分量；u(x,t)，w(x,t)分别为梁中面上任意点处的轴向和横向的位移分量;t为时间,且当γ(x,t)=0时,该位移场退化为欧拉伯努利梁理论。此时的动能和应变能可表示为:

(3)

(4)

其中,Axx,Bxx,Dxx,Axz以及Axx的具体表达式和I0,I1和I2的定义可以参见文献[4],此处由于篇幅有限,不再赘述。借助弱式求积单元法,功能梯度材料梁单元的自由振动分析动力学方程可以简写为如下形式:

[k]{Q}=ω2[m]{Q}

(5)

其中,ω为圆频率；[m]，[k]分别为质量矩阵和刚度矩阵。采用广义特征值求解器求解方程(5)后就得到梁的频率和相应的振型。

3 算例分析和讨论

在工程实际中常常需要考虑梁的自由振动,算例中材料密度和弹性模量根据幂指数取值沿厚度方向发生变化,为了方便比较,选取l/h=5和l/h=20跨高比,幂指数k分别取0(均匀材料)，0.2，0.5，1，2，5，10和1020(纯金属)。上下表面两种组分材料属性如表1所示,频率参数λ的定义如下:

表1 功能梯度材料属性

(6)

考虑杨氏模量和质量密度同时按照式(1)梯度变化,则当跨高比l/h=20时,一端固定一端自由的悬臂梁在两种理论下的数值解与已有文献数值对比情况如图2所示,而两端固定时的情况如图3所示。

从图中可以看出,两种边界条件下随着幂指数的增大,无量纲频率参数值均不断降低,且降幅较大;而不管是哪种边界条件,对跨高比为l/h=20的梁来说,欧拉—伯努利梁理论下求解的结果更好,误差很小,而铁木辛柯梁理论下的计算结果误差较大,说明欧拉—伯努利梁理论更适用于细长梁,铁木辛柯梁理论过度考虑了剪切变形对梁固有频率的影响。

从图2和图3的数值对比来看,同样跨高比情况下,梁端约束对自由振动频率的影响比较大,两端固支梁的基础频率远高于悬臂梁的基础频率。

对于短粗梁情况,考虑跨高比为l/h=5的情况,此时在铁木辛柯梁理论下的自由振动数值结果如图4所示,从图4可以看出,不管是两端固定的CC梁还是一端固定一端自由的CF梁,基础频率数值结果和现有文献吻合较好,说明对于短粗梁来讲,剪切变形对梁自由振动的影响非常重要,不能忽略,铁木辛柯梁理论比较适宜该种情形。同时,也可以看出随着梯度指数k的增大,梁振动的无量纲频率参数也在不断变小,尤其是两端固定约束情形下,下降趋势更为明显。这也说明了梁两端的约束方式直接影响到功能梯度梁的自由振动频率。

4 结论

1)功能梯度梁的自由振动问题中,欧拉—伯努利梁理论更适用于细长梁,而考虑剪切变形的铁木辛柯梁理论更适用于粗短梁,计算其固有频率时必须考虑梁的跨高比,从而选择合适的梁理论。

2)对于功能梯度梁,增大梯度指数k值将使梁的自由振动基础频率变小,故在工程中可以通过调节梁组分的梯度指数来调整频率,从而避免共振问题的出现。