培养学生逆向思维 提升数学解题能力

李贺，1977年9月生，男，本科学历，中共党员，中小学高级教师，江苏师范大学附属学校副校长，徐州市珠算协会副秘书长，一直负责小学数学教学和珠心算教学，先后获得徐州市“优秀教育工作者”、江苏省“优秀辅导员”、江苏省“优秀珠心算教练”等称号，荣获三等功一次。其多次承担国家、省市级课题研究任务，所在学校被评为江苏省珠心算实验学校和江苏省珠心算教育实验研究基地，所教学生先后在世界、国家、省级珠心算比赛中获奖。

初中数学课程是一门逻辑课程，也是一门思维课程。在日常授课过程中，为了贴合学生的思维模式，教师一般采用正向思维进行教学。但在实际解题过程中，学生发现有些问题不能用正向逻辑思维来解决，也就是说，采用惯性思维无法求解，需要借助逆向思维。

对大部分学生来说，使用逆向思维解题存在一定的困难，主要原因是他们对数学基础知识掌握不牢固，应用不灵活。所以，教师要通过训练使学生形成逆向思维，从而培养学生的数学技能，启发学生的智力，提升学生的解题能力，发展学生的思维品质，提高学生的数学综合素养。

一、反例法，纠正错误结论

在中学数学中，反例法是常用的逆向思维方法之一。初中生在学习数学的过程中，可能因为没有真正掌握知识，也可能因为没有全面理解问题，或者认识不到知识点之间的联系，在做题过程中思绪模糊、逻辑混乱，从而导致解题错误。针对学生的错误思路，教师可以利用反例法指导学生论证结论，这不仅可以帮助学生找到错误的根源，还可以帮助学生填补自己的知识漏洞，提高学生的解题能力。

例如，求解方程式.

学生解答，方程两边同时乘以1-x2

得

移项得

解得，

解答结束。

该题解答错误的原因是在和方程式相乘时，学生默认（1-x2）因子是不为0的数，但在计算完成后，忘记验证两个结果对因子和方程式的影响。教师可以提醒学生，在求解方程式后，应将结果带入原式进行验算。学生在教师提醒后，通过计算发现，本题的结果只有一个值。所以，教师在教学中利用举反例的方式，不仅能够帮助学生发现错误，正确计算出结果，还能使学生养成良好的解题习惯，提升数学思维品质。

二、逆推法，形成新的结构

逆推法常用于运用正向思维无法直接计算，或者直接计算会消耗大量时间和精力的问题。解答这类问题的关键是感应未知的结果，从结果推向已知的条件，或者从问题的结论入手寻找条件，形成新的结构。所以，学生使用逆推法的前提是对相关知识点很熟悉，这样才能根据题目条件联想可能用到的定理、定义或公式。

例如，已知|a|<1，|b|<1，求证|a+b|<|1+ab|.

观察该题目，条件是单向绝对值不等式，结论是双向绝对值不等式。通过条件可知a和b两个值的范围，但无法获知其真正的值。同时，该题目直接证明存在困难，不管从左到右还是从右到左，都无法进行绝对值的合并计算。所以，在证明题目时，学生要认真思考条件和结论的特点，既然从条件到结论无法直接推导，就可以尝试从结论向条件推导，此时该题目就变成了，如果|a+b|<|1+ab|，那么|a|<1，|b|<1。

一般为了保证绝对值和不等式结果的恒定性，我们通常对非负不等式两侧进行平方运算，

即（a+b）2<（1+ab）2                    （1）

展开得

a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2           （2）

移项得

a2+b2-a2b2-1<0                        （3）

分解因式得

（1-b2）（a2-1）<0                 （4）

由式（4）可以很容易推出該题目的条件。

需要注意的是，在实际解题过程中，学生很少简单运用探究式的正向解题方法，也较少单纯使用逆向思维解题方法，一般是两者结合使用。由此可见，将正向和逆向思维训练结合起来，更有助于提升学生的思维能力。所以，数学教师在日常授课过程中要注重讲解和应用逆推法。学生只有理解了逆推法的使用场合和常见模式，才能在做题时灵活切换正向思维和逆向思维。

三、反证法，证明假设失败

反证法也是初中数学学习中常用的逆向思维方法之一。反证法解题的原则是不直接从题设推出结论，而是从结论的反面出发，假设所要证明的结论不成立，在这个假定的条件下进行一系列的求证或计算，最终得出一个矛盾的结论，并以此为条件否定假设的条件，从而证明所要证明的结论是正确的。所以，用反证法解答数学题，既容易也困难，学生只要找到相应的命题就可以解答该数学题，但如果对相应的数学知识不熟悉，则无法解题。命题的寻找范围比较广，可以是定理、定义或公式，也可以是生活中相矛盾的事情，或者是与定理相矛盾的式子等。

例如，求证：三角形的三个角中至少有一个角不大于60°。

反证法的步骤如下：题目中结论为三角形的三个角中至少有一个角不大于60°，假设三角形的三个角都大于60°，进行内角和的加法运算，∠A+∠B+∠C>3×60°=180°。

三个内角的和大于180°，与内角和的定理矛盾，所以上述假设不成立，所以三角形中至少有一个角不大于60°。

反证法证明的要求较为严格，首先，必须理解“至多”“至少”概念，并能对其进行正确的否定;其次，必须有明确的推理特点，虽然否定结论的目的是得出矛盾，但是矛盾出现的时间和式样是不确定的，所以使用反证法推理数学证明题，必须严格遵守推理的规则，进行有序和有据的推理，直到推出具体的矛盾，才能认为推理结束。

反证法推理的矛盾是多种多样的，可以与题设全部矛盾，也可以部分矛盾，当然也可能是和已知的真命题矛盾等。相对其他逆推式算法，反证法具有更高的灵活性，对学生知识掌握程度提出了更高的要求。同时。反证法对学生思维的逻辑性和严谨性提出了更高的要求，学生只有完全掌握和熟悉定理、定义等内容，才能说理清楚、论证严谨，进而真正提高数学解题能力。

四、综合法，学会执因索果

执因索果指的是从条件入手，逐步推导出所需要的结论，将其反映在解法上，通常称为综合法。这种方法的解题程序是从已知逐步推向未知，要求学生在实际计算分析过程中感受逆向思維的应用，逐步培养逆向思维，从而拓展学生的解题思路，提升学生的解题能力。

例如，已知有a和b两个正数，a≠b且a+b=1，试证明>4.

从已知条件进行分析，条件包含三个内容，分别是①a>0，b>0;②a≠b;③ a+b=1。

对结论进行从左到右计算推导：

上式中等式成立的条件是，即a2=b2;

∵a和b都是正数，

∴a=b，此时.

但是题目要求a≠b，所以>4.

在该题目的论证计算过程中，学生既使用了正推法，又使用了逆推法，通过运用综合性的解题方法完成题目的证明求解过程。

运用执因索果的逆向分析法，对学生的数学理解和应用能力提出了较高要求，不仅要求学生在解题过程中可以熟练利用题目中已知条件，还要求学生能够灵活应用定理和公式等内容。

以上是笔者在日常教学中常用的四种数学解题方法，当然还有其他方法，如综合例证法等。不管采用哪种解题方法，目的都是培养学生的逆向思维能力。在实际教学中，教师应要求学生在实际解题过程中灵活应用不同的方法，做到知其然并知其所以然，这样才能使学生真正掌握多种解题方法，形成逆向思维，从而提升学生的思维品质，让学生不仅能在数学解题中逆向思考，还能在其他课程中运用逆向思维进行深度学习，进而提高学生的综合素养。

◎ 作者/李贺  江苏师范大学附属学校