追“根”溯源，与“系数”共舞
2021-10-08徐莉
徐莉
一元二次方程根与系数的关系，深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们解决一元二次方程根的问题的重要工具。
具体内容如下：一元二次方程x2+px+q=0（p、q为常数，p2-4q≥0）的两个实数根为x1、x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q;对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根为x1、x2，那么x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。
一元二次方程根与系数的关系在应用时要注意以下几点：
1.使用一元二次方程根与系数的关系时，要先把方程化为一般式，并注意隐含条件a≠0;
2.一元二次方程根与系数的关系应用的前提是方程有实数根，因此在应用时，一定要记住根的判别式b2-4ac≥0这一隐含条件;
3.只适合于一元二次方程，其他的方程不适用。
一元二次方程根与系数的关系主要有如下几方面的应用：
1.不解方程，求与方程根有关的代数式的值;
2.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定字母的值;
3.与根的判别式相结合，解决一些综合问题;
4.常见的涉及代数式的一些重要变形：
x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，
（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，
[1x1]+[1x2]=[x1+x2x1x2]，
（x1+a）（x2+a）=x1x2+（x1+x2）a+a2。
苏科版数学教材九年级上册第22页有这样一道题：
例题 小明在一本课外读物中读到如下一段文字：
一元二次方程x2-
【解析】设一次项系数为b，则（2+[3]）+（2-[3]）=-b，可得一次项系数b为-4;设常数项为c，则（2+[3]）×（2-[3]）=c，可得常数项c为1。
【小结】本题是有关一元二次方程根的计算问题。当根是无理数时，运算将十分烦琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易，化繁为简的作用。
变式1 （2021·湖南永州）已知关于x的一元二次方程px2+2x+q=0的两根分别为m、n。
（1）若m=2、n=-4，求p、q的值;
（2）若p=3、q=-1，求m+mn+n的值。
【解析】（1）方法一：把m=2、n=-4代入方程，得[4p+4+q=0，16p-8+q=0，]
解得p=1，q=-8。
方法二：利用根与系数的关系可知m+n=[-2p]，mn=[qp]。将m=2、n=-4代入，得[-2p]=-2，[qp]=-8，
解得p=1，q=-8。
（2）将p=3、q=-1代入方程px2+2x+q=0得3x2+2x-1=0。
方法一：利用因式分解变形得到方程（x+1）（3x-1）=0，
解方程，得m=-1，n=[13]，
所以m+mn+n=-1-[13]+[13]=-1。
方法二：利用根与系数的关系可知m+n=[-2p]=[-23]，mn=[qp]=[-13]，
整體代入，得m+mn+n=（m+n）+mn=[-23][-13]=-1。
【小结】本题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查变式的能力。利用根与系数的关系可以减少运算量，降低出错率。
变式2 （2020·湖北仙桃、潜江、天门、江汉油田）关于x的一元二次方程x2+2（m-1）x+m2-m=0有两个实根α、β，且α2+β2=12，那么m的值为（）。
A.-1 B.-4
C.-4或1D.-1或4
【解析】因为α、β是关于x的一元二次方程x2+2（m-1）x+m2-m=0的两个实根，
所以α+β=-2（m-1）=-2m+2，αβ=m2-m。
因为α2+β2=（α+β）2-2αβ=12，
所以（-2m+2）2-2（m2-m）=12，
整理得m2-3m-4=0，利用因式分解变形得（m-4）（m+1）=0，
解得m=4或m=-1。
又因为关于x的一元二次方程x2+2·（m-1）x+m2-m=0有两个实根，
所以b2-4ac=[2（m-1）]2-4（m2-m）≥0，
解得m≤1，
所以m=-1。
故选A。
【小结】本题有两个实数根α、β满足α2+β2=12，可联想到根与系数的关系，利用变形α2+β2=（α+β）2-2αβ得到关于参数m的方程。但是同学们要注意，运用根与系数关系的前提是一元二次方程有解，即满足根的判别式b2-4ac≥0，这往往是容易忽略的隐含条件，解题时要特别留意。
变式3 （2021·北京）已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0。
（1）求证：该方程总有两个实数根;
（2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值。
【解析】（1）证明：根据题意，得a=1，b=-4m，c=3m2，
所以Δ=b2-4ac=（-4m）2-4×1×3m2=4m2。
又因为无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
所以原方程总有两个实数根。
（2）因为x2-4mx+3m2=0，即（x-m）·（x-3m）=0，所以x1=m，x2=3m。
又因为m>0，且该方程的两个实数根的差为2，所以3m-m=2，
解得m=1。
【小结】本题综合考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系。一般地，如果题目中的两根满足等式（或不等式），可以将此关系式进行恒等变形，然后利用根与系数的关系，建立含参的方程（或不等式），从而求出参数的值（或不等式的范围）。
变式4 （2019·内蒙古包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（）。
A.34B.30
C.30或34 D.30或36
【解析】分三种情况：（1）当a=4时，b<8。由a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，可得4+b=12，则b=8，不符合题意。
（2）当b=4时，a<8。由a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，可得4+a=12，则a=8，不符合题意。
（3）当a=b时，由a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，可得a+b=12，ab=m+2，则a=b=6，m+2=36，所以m=34。
故选A。
【小结】本题首先要对a、b分类讨论，其次求出的a、b的值还要满足三角形的三边关系。根据题意，可分以下三种情况：（1）当a=4时，b<8;（2）当b=4时，a<8;（3）当a=b时，a>2。同学们在解题时一定要注意取舍。
一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是解决有关一元二次方程根的问题的重要工具。相关知识的运用方法灵活多样，是设计考查创新能力试题的载体，在中考中与此有联系的试题出现的频率很高，应是同学们重点关注的内容。通过以上内容的学习，同学们能大致了解考查根与系数这个知识点的题目类型了吧？希望同学们既要熟悉问题的常规解法，也要灵活使用特殊的简捷解法，提高自身的解题能力。
（作者单位：江苏省无锡市新吴区新城中学）
