两次淬火下横场中XY链的动力学量子相变*

符浩 曹凯源 钟鸣 童培庆2)†

1)(南京师范大学物理科学与技术学院,南京 210023)

2)(南京师范大学,江苏省大规模复杂系统数值模拟重点实验室,南京 210023)

研究了两次淬火下横场中XY 链的动力学量子相变.两次淬火是指系统的Hamilton 量先由H0 淬火到H1,演化一段时间T 后再由H1 淬火到H2.由于横场中XY 链存在两种不同的量子相变(Ising 相变和各向异性相变),因此主要讨论淬火路径对横场中XY 链的动力学量子相变的影响,发现第2 次淬火后系统发生动力学量子相变的临界时间存在三种典型的情形.情形I 对应于临界时间在一定的T 范围内出现,它与由H0 淬火到H1的临界时间相联系.情形II 对应于临界时间在任意T 时总是出现,它与由H0 直接淬火到H2的临界时间相联系.情形III 对应于临界时间也在任意T 时总是出现,它同时与由H0 淬火到H1 以及由H0 直接淬火到H2的临界时间相联系.还发现两次淬火都经过同一类相变点时,第2 次淬火后只会出现情形I 对应的临界时间.而两次淬火经过不同类相变点时,第2 次淬火后的临界时间会出现上述三种情形中的任意两种,它与淬火路径有关.

1 引 言

近年来,随着理论方法和计算机技术的提高以及实验技术的发展,孤立量子系统的动力学行为得到了广泛研究,取得了迅速的进展[1–7].在众多的动力学行为中,动力学量子相变是最近非常活跃的研究课题之一[8–55].动力学量子相变最早是Heyl等[8]在研究淬火下量子Ising 链的动力学行为时发现的.它描述了Loschmidt 振幅随时间演化的奇异性,借助于Loschmidt 振幅与统计物理中的配分函数的相似性,研究发现出现奇异性的时间对应于复时间平面中的Fisher 零点与虚轴的交点[8–11].随后,人们在许多不同的量子系统中都发现了动力学量子相变,这些系统包括XY链[9,16]、Kitaev 蜂窝模型[17]、XXZ链[18]、ANNNI 链[19,20]、非均匀电子系统[21,22]、非均匀自旋系统[11]、长程相互作用系统[23]、量子Potts 链[24]、非厄米格点系统[25,26]、Bose-Einstein 凝聚体[27]、cross-stitch 平带网络[28]和有限温系统[29]等.除了在研究淬火下的动力学行为以外,人们也研究了线性退火[10]与周期Floquet[32]系统的动力学行为.此外,在实验方面,例如捕获离子模拟[33]、动力学涡旋观测[34]、量子模拟器观测[35,36]、核磁共振模拟[37]、单光子量子行走[38]和自旋量子凝聚[39]等,也观察到了动力学量子相变.

最近,Kennes 等[40]研究了两次淬火下横场中量子Ising 链和ANNNI 链的动力学量子相变.他们发现系统在两次淬火均经过Ising 相变点(即从顺磁相淬火到铁磁相,然后再淬火到顺磁相)的情形时,系统第2 次淬火后的动力学量子相变现象的出现与否取决于两次淬火之间的时间间隔,从而可以通过调节两次淬火之间的时间间隔来调控动力学量子相变.这提供了一种调控系统的动力学行为的新思路.由于横场中量子Ising 链的特殊性,他们只讨论了两次淬火均经过Ising 相变点的淬火路径.众所周知,横场中的量子Ising 链是横场中XY链的一种特殊情形,而XY链的相图要比量子Ising 链的相图丰富得多,不仅存在从铁磁相到顺磁相的Ising 相变,还存在从x方向的铁磁相到y方向的铁磁相的各向异性相变.另一方面,一次淬火下横场中XY链的动力学量子相变与淬火的路径有关,如当淬火经过各向异性相变时,它会出现两个特征临界时间.因此,本文主要研究两次淬火的路径以及淬火间时间间隔对横场中XY链的动力学量子相变的影响.

本文第2 节给出了横场中XY链经过两次淬火的计算方法.第3 节中就不同的淬火路径分别进行了讨论,给出了不同淬火路径和时间间隔对XY链在两次淬火下的动力学量子相变的影响.最后总结了第2 次淬火后的临界时间与淬火路径的依赖关系.

2 模型和计算方法

本文研究的淬火过程如下:假设系统在t<0时处在H0的基态|ψ0〉上.在t=0时,系统经过第1次淬火后,Hamilton量由H0变到H1,然后在H1下演化一段时间T.在t=T时,系统经过第2次淬火,Hamilton量由H1变到H2后,随时间的演化.这里的T为两次淬火之间的时间间隔.系统含时Hamilton 量为

本文研究的系统是一般的横场中XY链,其Hamilton 量可写成

其中,l=0,1,2 分别对应于(1)式中的3个Hamilton量,它们的形式是一样的,差别是具有不同的各向异性参数γl(l=0,1,2)和外场hl(l=0,1,2) .这里是第n个格点上的Pauli 矩阵.特别地,当γl=±1 时,系统对应于横场中Ising 链.通过Jordan-Wigner 变换、Fourier 变换和Bogoliubov 变换[56],可以解析地得到

上面的结果同样可以从对Fisher 零点的讨论中得到.借助于Loschmidt 振幅与统计物理中的配分函数之间的相似性,令(4)式中 it=z,然后研究Loschmidt 振幅G(z) 在复z平面上的零点(也被称为Fisher 零点).在热力学极限下,如果Fisher零点与虚轴 R e(z)=0 相交,则其交点对应于发生动力学量子相变的时间.Fisher 零点对应Loschmidt振幅为0的点,即gk(z)=0,由(6)式和文献[8]可知Fisher 零点如下:

这里(9a)式对应于第1 次淬火(H0→H1)时的Fisher 零点,而(9b)式对应于第2 次淬火后的Fisher 零点.公式中的n是整数,每个n给出了一支Fisher 零点.给定n之后,对于每1 个k有1 个zk与之对应,所以这里给出了一系列Fisher 零点.当存在某个k=k∗(k⋆为临界动量)使得|Bk∗/Ak∗|=1,则zk∗就在虚轴上,它对应于两次淬火后的临界时间如下:

其中t∗=π/(2ε2,k⋆) 被称为特征临界时间.如果系统中存在两个以上k∗满足|Bk∗/Ak∗|=1,那么会出现多个特征临界时间.这些临界时间随t周期性出现,并且系统中存在几个特征临界时间就有几个不同的周期重合在一起.从(10)式可以看出它与一次淬火时不一样[8,9],会多出1 个因子.

另一个描述动力学量子相变的物理量是率函数λ(t) .它的定义为

在临界时间,率函数是奇异的.

3 结果和讨论

图1 给出了横场中XY链在h≥0时的相图.图中的实线h=1,−1≤γ≤1上的点是Ising相变点,而0≤h≤1,γ=0 上的点是各向异性相变点.这两条临界线把参数空间分成3 个区域,其中PM 表示顺磁相,FMx表示x方向的铁磁相,FMy表示y方向的铁磁相.我们所讨论的系统的淬火主要是通过改变外场和各向异性参数来实现.

图1 横场中XY 链的相图,其中的点 A ,B,···,F 表示典型的参数值所对应的位置Fig.1.Phase diagram of the X Y chain in a transverse field.The points A ,B,···,F in the phase diagram correspond to the typical parameter values.

为了方便起见,我们用A,B,···,F标记相图中典型的参数值(γ,h) 所对应的位置.用符号A →B →C表示系统从A淬火到B后,再淬火到C的过程,即点A,B和C的参数值分别对应于(1)式中的H0,H1和H2中的外场和各向异性参数,其他的情形是类似的.在下面的讨论中,将研究两类典型的情形.一类是经过同一类量子相变点的两次淬火,其中包括经过Ising 相变点(如A →B →C)和经过各向异性相变点(如C→D →E)的情形.另一类是经过不同类量子相变点的两次淬火,其中包括先经过Ising 相变点再经过各向异性相变点(如B→C →D)、先经过各向异性相变点再经过Ising 相变点(如D→C →B) 以及先经过Ising相变点后同时经过Ising 和各向异性相变点(如C →B →D)的情形.下面具体讨论这五种典型的情形.

3.1 两次淬火经过同一类相变点

3.1.1 均经过Ising 相变点的两次淬火

首先讨论均经过Ising 相变点(A→B →C)的两次淬火情形.T-t平面内的临界时间在图2(a)中给出.图中的实线描述了临界时间与时间间隔T的关系.在图中的两条虚线分别对应于T=0.5,1.0.相应的Fisher 零点分别在图2(b1)和图2(b2)中给出.而相应的率函数随时间t的变化在图2(c)中给出.

图2 (a)淬火路径A→B→C对应的临界时间图,图中两条虚线对应的时刻分别为T=0.5和1.0;(b1)T=0.5和(b2)T=1.0且t>T 时的Fisher 零点分布;(c)两次淬火过程中的率函数,黑色和红色实线分别对应 T =0.5 和 1 .0 ;(d) |Bk/Ak|与k的关系,黑色和红色实线分别对应 T =0.5 和1.0Fig.2.(a) Location of the critical times in the t -T plane for the path A →B →C .The dotted lines mark the times for T=0.5 and 1 .0 ,respectively.(b) The Fisher zeros for t >T with(b1) T =0.5 and(b2) T =1.0,respectively.(c) The rate functions corresponding to T =0.5 and 1 .0 ,respectively.(d) The relationship between | Bk/Ak| and k for T =0.5 and 1 .0,respectively.

从图2(a)可以看出,当TT2时,由于此时的时间间隔大于了第1 次淬火后的特征临界时间,故第2 次淬火前会出现动力学量子相变.在T2T4后,系统第2 次淬火前会出现动力学量子相变,但是第2 次淬火后的动力学量子相变将会循环出现前面的情形.

下面分析系统在第2 次淬火后出现动力学量子相变的原因.根据前面的讨论,图2(d)给出了|Bk/Ak|与k的关系,图中的黑色和红色实线分别对应于T=0.5 和T=1.0 .从图2(d)可以看出:当T=0.5 时,对于任意k均满足|Bk/Ak|<1,因此系统不存在动力学量子相变.而当T=1.0 时,出现两个k⋆使得|Bk⋆/Ak⋆|=1,它们分别对应于图2(b2)中Fisher 零点与虚轴的两个交点(每个n).此时系统存在动力学量子相变.

这说明当淬火路径为A→B →C时,第2 次淬火后的动力学量子相变的出现与否取决于两次淬火之间的时间间隔T.这与横场中量子Ising 链[40]的情形是类似的.

3.1.2 均经过各向异性相变点的两次淬火

其次讨论均经过各向异性相变点(C →D →E)的两次淬火情形.图3(a)给出了T-t平面内的临界时间.同样地,可以看出当T比较小时,第1 次淬火后不出现动力学量子相变,第2 次淬火后只有在一定T的范围内会出现动力学量子相变.当T大于第1 次淬火后的较小的特征临界时间T5时,第2 次淬火前只有1 个临界时间,而当T大于第1 次淬火后的较大的特征临界时间T6时,第2 次淬火前有两个临界时间.在这个过程中,第2 次淬火后始终有动力学量子相变.随着T的继续增大,第2 次淬火之后的动力学量子相变会消失,然后循环出现前面的情形.作为1 个例子,给出了T=1.25(对应于图3(a)中的虚线)时由(9b)式给出的Fisher 零点(如图3(b))和率函数(如图3(c)).从图3(c)可看出,当t<2.5 时率函数有3 个奇异点,分别对应于图3(a)中的①到③.其中点②和③的临界时间对应于图3(b)中n=1的Fisher 零点与虚轴的交点.而点①的临界时间是对应于(9a)式所示的Fisher 零点与虚轴的交点(没有给出).

在一次淬火中,经过各向异性相变点与经过Ising 相变点不同,它会出现两个特征临界时间.每个特征临界时间所对应的两次淬火后的一支临界时间线与前面讨论的临界时间线相类似.为了进一步理解第1 次淬火后出现的临界时间与第2 次淬火后出现的临界时间之间的联系,图3(d)给出了(9a)式中 t an2(θ0,k −θ1,k)/2 以及在T=T5,T6时(9b)式中|Bk/Ak|随动量k的变化.当tan2(θ0,k −θ1,k)/2=1(即图中的黑色实线与点线的交点)时对应的横坐标k1和k2为两个特征动量,它们对应了一次淬火后经过各向异性相变点时的两个特征时间.我们发现,当T=T5≈1.1574 时|Bk/Ak|=1(即图中的红色实线与虚线的交点处)时对应的动量与k1重合,这表明图中左起第1 条的蓝色临界时间线是跟第1 次淬火后的第1 条临界时间线相联系.而当T=T6≈1.3879 时|Bk/Ak|=1(即图中的蓝色实线与虚线的交点)对应的动量与k2重合,这表明图中左起第2 条的蓝色临界时间线是跟第1 次淬火后的第2 条临界时间线相联系.

图3 (a)淬火路径 C →D →E 对应的临界时间图,图中虚线对应的时刻为 T =1.25 ;(b) T =1.25 且 t >T 时的Fisher 零点分布;(c) T =1.25 时两次淬火过程的率函数;(d)黑色实线是 t an2(θ0,k -θ1,k)/2 与k的关系,图中红色和蓝色实线为|Bk/Ak|与k的关系,对应的时间间隔分别为 T =T5 ≈1.1574 和T=T6 ≈1.3879Fig.3.(a) Location of the critical times in the t -T plane for the path C →D →E .The dotted line marks the time for T =1.25 .(b) The Fisher zeros for t >T with T =1.25 .(c) The rate function corresponding to T =1.25 .(d) The black line corresponding to the relationship between t an2(θ0,k -θ1,k)/2 and k.The red and blue lines corresponding to the relationships between|Bk/Ak| and k for T =T5 ≈1.1574 and T =T6 ≈1.3879,respectively.

3.2 两次淬火经过不同类相变点

3.2.1 先经过Ising 相变点再经过各向异性相变点的两次淬火

下面讨论先经过Ising 相变点再经过各向异性相变点(B→C →D)的两次淬火情形.图4(a)中给出了T-t平面内的临界时间.与前面不同的是,可以看出在第2 次淬火后系统中会出现两种类型的临界时间线.一种临界时间线与前面讨论的一样(图中的蓝色曲线),它的出现与否和时间间隔T有关.另一种临界时间线与前面讨论的不一样(图中的红色曲线),它在任意T下总是出现.作为1 个例子,给出了T=1.5(对应于图4(a)中的虚线)时由(9b)式给出的Fisher 零点(图4(b))和率函数(图4(c)).类似地,当t较小时的率函数有3 个奇异点①到③,其临界时间与图4(a)和图4(b)中的①到③相对应.

同样地,图4(d)给出了T=T7≈1.5210 时的与k的关系(红色实线).从图4(d)可以看出,与图2(d)不一样的是,当k→0 时,而当k→π 时.根据连续性原理,一定存在一个k⋆使得=1(如图4(d)中的k5),因此系统会产生动力学量子相变.这就是图4(a)中的红色临界时间线出现的原因.而且,当T=0 时系统相当于直接由B点一次淬火到D点,此时系统存在动力学量子相变,临界时间就是图4(a) 中的红色实线与T=0的交点.所以红色临界时间线与直接从B→D淬火的临界时间相联系.另外,从图4(d)中的红色实线可以看出还存在两个临界动量k3和k4,与3.1.1 节类似,它们对应于蓝色的临界时间线.为了进一步分析这条临界时间线与第2 次淬火前的临界时间的关系,给出了 tan2(θ0,k −θ1,k)/2 与k的关系,结果如图4(d)中的黑色实线所示.它在虚线处与红色实线相交于k=k3,这表明图4(a)中蓝色临界时间线与第2 次淬火前的临界时间相联系.

图4 (a)淬火路径 B →C →D 对应的临界时间图,图中虚线对应的 时刻为 T =1.5 ;(b) T =1.5 且 t >T 时的Fisher 零点分布;(c) T =1.5 时两次淬火过程的率函数;(d)黑色实线是 t an2(θ0,k -θ1,k)/2 与k的关系.红色实线为 | Bk/Ak| 与k的关系,对应的时间间隔为T=T7 ≈1.5210Fig.4.(a) Location of the critical times in the t -T plane for the path B →C →D .The dotted line marks the time for T =1.5 .(b) The Fisher zeros for t >T with T =1.5 .(c) The rate function corresponding to T =1.5 .(d) The black line corresponding to the relationship between t an2(θ0,k -θ1,k)/2 and k.The red line corresponding to the relationship between | Bk/Ak| and k for T=T7 ≈1.5210.

3.2.2 先经过各向异性相变点再经过Ising相变点的两次淬火

接下来讨论先经过各向异性相变点再经过Ising 相变点(D→C →B)的两次淬火情形.同样地,图5(a)给出了T-t平面内的临界时间.可以看出在第2 次淬火后系统中会出现两种类型的临界时间线.一种与前面讨论的一样(图中的蓝色曲线),它的出现与否和时间间隔T有关.另一种临界时间线(图中的绿色曲线)在任意T下总是出现,但与3.2.1 节不一样,它在t=T(对角线上)处与第1 次淬火后的临界时间线相连.作为1 个例子,给出了T=1.5(对应于图5(a)中的虚线)时由(9b)式给出的Fisher 零点(图5(b))和率函数(图5(c)).当t<2.5 时率函数有5 个奇异点,分别对应于图5(a)中的①到⑤.其中点③到⑤的临界时间对应于图5(b)中n=0的Fisher 零点与虚轴的交点.而点①和②的临界时间是对应于(9a)式所示的Fisher 零点与虚轴的交点(没有给出).

同样地,给出了T=T8≈1.1574 时的与k的关系,结果如图5(d)中的红色实线所示.与3.2.1 节类似,当k→0 时→∞k →π,而当 时.所 以也必定有一个k⋆使得.也就是图5(d)中的k=k7的临界动量,它对应的临界时间线即为图5(a)中的绿色临界时间线.显然这条临界时间线在T=0 时与直接从D→B淬火的临界时间相联系.但是与3.2.1 节不同的是,这条临界时间线还与第2 次淬火前的临界时间相交于t=T处.为了进一步说明这种情况,给出了tan2(θ0,k −θ1,k)/2与k的关系,结果如图5(d)中的黑色实线所示.从图5(d)可以看出红色实线与黑色实线在虚线处相交于k7,这表明图5(a)中的绿色临界时间线不仅与直接从D→B淬火的临界时间相联系,还与第2 次淬火前的临界时间相联系.另外图5(a)中的蓝色临界时间线与前面讨论的类似,这可以从图5(d)中的蓝色实线(对应于T=T9≈1.3879 )与黑色实线在虚线处相交于k6看出.

图5 (a)淬火路径 D →C →B 对应的临界时间图,图中虚线对应的时刻为 T =1.5 ;(b) T =1.5 且 t >T 时的Fisher 零点分布;(c) T =1.5时两次淬火过程的率函数;(d)黑色实线是t an2(θ0,k -θ1,k)/2 与k的关系,其中红色和蓝色实线为 | Bk/Ak| 与k的关系,对应的时间间隔分别为 T =T8 ≈1.1574 和T=T9 ≈1.3879Fig.5.(a) Location of the critical times in the t -T plane for the path D →C →B .The dotted line marks the time for T =1.5 .(b) The Fisher zeros for t >T with T =1.5 .(c) The rate function corresponding to T =1.5 .(d) The black line corresponding to the relationship between t an2(θ0,k -θ1,k)/2 and k.The red and blue lines corresponding to the relationships between |Bk/Ak|and k for T =T8 ≈1.1574 and T =T9 ≈1.3879,respectively.

3.2.3 先经过Ising 相变点后同时经过Ising和各向异性相变点的两次淬火

最后讨论先经过Ising 相变点后同时经过Ising 和各向异性相变点(C→B →D)的两次淬火的情形.图6(a)给出了T-t平面内的临界时间.可以看出在第2 次淬火后系统中会出现两种类型的临界时间线(红色和绿色实线).无论T取什么值,这两种临界时间线在第2 次淬火后一定存在.作为1 个例子,给出了T=1.5(对应于图6(a)中的虚线)时由(9b)式给出的Fisher 零点(图6(b))和率函数(图6(c)).类似地,图6(d)中的点①到③分别对应于图6(a)中的点①到③,而点②和③分别对应于图6(b)中的点②和③.

同样地,也给出了tan2(θ0,k −θ1,k)/2 和(T=T10≈0.9170 时)与k的关系,分别对应于图6(d)中的黑色和红色实线.与前面不同的是,当k →0 和k→π 时均有,并且中间某个k时,所以对于任意的T,一定存在两个k⋆,使得.其中1 个临界动量(k8)对应的临界时间线即为图6(a)中的绿色临界时间线.它与图5(a)中的绿色临界时间线类似,这同样可以从图6(d)中的黑色实线与红色实线在虚线处相交于k8看出.而另1 个临界动量(k9)对应的临界时间线即为图6(a)中的红色临界时间线.它与3.2.2 节中的红色临界时间线类似,只与直接从C→D淬火的临界时间相联系.

图6 (a)淬火路径 C →B →D 对应的临界时间图,图中虚线对应的时刻为 T =1.5 ;(b) T =1.5 且 t >T 时的Fisher 零点分布;(c) T =1.5 时两次淬火过程的率函数;(d)黑色实线是 tan2(θ0,k -θ1,k)/2 与k的关系,其中红色实线为 | Bk/Ak| 与k的关系,对应的时间间隔为T=T10 ≈0.9170Fig.6.(a) Location of the critical times in the t -T plane for the path C →B →D .The dotted line marks the time for T =1.5 .(b) The Fisher zeros for t >T with T =1.5 .(c) The rate function corresponding to T =1.5 .(d) The black line corresponding to the relationship between t an2(θ0,k -θ1,k)/2 and k.The red line corresponding to the relationship between | Bk/Ak| and k for T=T10 ≈0.9170.

4 结 论

本文讨论了两次淬火下横场中XY链的动力学量子相变.研究发现,在第2 次淬火后,系统在T-t平面内的临界时间线有三种典型的情形.情形I:临界时间只在一定的T范围内出现,它与第1 次淬火(H0→H1)过程中的临界时间相联系,在T-t平面中用蓝色曲线表示;情形II:临界时间在第2次淬火后总是出现,它与从H0直接淬火到H2的过程中的临界时间相联系,在T-t平面中用红色曲线表示;情形III:临界时间在第2 次淬火后也总是出现,它同时与H0→H1和H0→H2的淬火过程中的临界时间相联系,在T-t平面中用绿色曲线表示.

上述三种情形的临界时间线是否出现,取决于淬火路径.考虑了两类典型的淬火路径,一类是经过同一类量子相变点的两次淬火,其中包括经过Ising 相变点或者经过各向异性相变点.此时第2次淬火后只有情形I的临界时间线.另一类是分别经过不同类量子相变点的两次淬火,其中包括三种情形.第一种是先经过Ising 相变点再经过各向异性相变点,此时第2 次淬火后有情形I 和情形II的临界时间线.第二种是先经过各向异性相变点再经过Ising 相变点,此时第2 次淬火后有情形I 和情形III的临界时间线.第三种是先经过Ising相变点再同时经过Ising 和各向异性相变点,此时第2次淬火后有情形II 和一种情形III的临界时间线.这表明两次淬火下横场中XY链的动力学量子相变不仅与时间间隔T有关,还与两次淬火的路径有关.

除了上述的五种淬火路径,还有四种其他的淬火路径.一种是均同时经过Ising 和各向异性相变点的两次淬火情形,它与均经过Ising 相变点的两次淬火情形类似.另一种是先同时经过Ising 和各向异性相变点再经过各向异性相变点的两次淬火情形,它与先经过Ising 相变点再经过各向异性相变点的两次淬火情形类似.还有一种是先经过各向异性相变点再同时经过Ising 和各向异性相变点的两次淬火情形,它与先经过各向异性相变点再经过Ising 相变点的两次淬火情形类似.最后一种是两次淬火先同时经过Ising 和各向异性相变点再经过Ising 相变点的两次淬火情形,它与先经过Ising相变点再同时经过Ising 和各向异性相变点的两次淬火情形类似.