浅谈数学思想与方法在初中数学教学中的应用

曹忠恩

摘要：在一门学科的教学过程中，思想与方法是贯穿于整个过程的灵魂，在引领学生掌握学科知识的同时，教师需要注重学生对于这门学科基本方法以及思维的学习，逐渐能够实现自主学习与探究。在初中数学教学过程中，教师就要带领学生熟悉一些基本的数学思维，如类比思维、数形结合思维以及一些重要的方法，如分类讨论方法等，让学生能够学会更加灵活自由地运用数学知识解决实际问题。

关键词：数学思想；初中数学教学；应用

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）15-0083

一、类比思维的应用

类比思维就是在学习过程中将所学知识点进行分类与比较，发现知识点之间存在的联系与区别，并通过它们之间的共同点进行记忆与理解。初中数学教材编写过程中遵循着循序渐进的原则，引导学生在学习完旧知识的基础上通过变换与推导的方式向新知识靠近。因此，在教学过程中，教师就需要给学生充分渗透类比的思想，引导学生在学习的过程中学会运用比较与联想的方法实现新知识的学习。

例如，学生在之前的學习中已经了解了函数的基本性质与表示方法，也已经学习了一次函数的有关知识，接下来再学习反比例函数的时候，教师就需要注重帮助学生从函数的共同点出发来研究反比例函数的特点，对于一些反比例函数特有的知识点，学生只需单独记忆或者推导即可。在课堂教学开始的时候，教师首先给学生提出问题，“函数有哪些特点？有哪些表示方法？”学生就开始回忆之前学习过的有关函数的知识。接着，教师再问学生：“一次函数的图像是什么样的图形？一次函数的表达式又是什么样的？”学生回答：“一次函数的图像是一条直线，它的表达式是y=kx+b。”教师再说：“很好，看来大家已经基本掌握了函数的有关知识，那接下来我给大家一组数据，请你们把它们画在图上并连成一条平滑的曲线。”教师给学生几组反比例函数的x与y的值，在学生把它们都表示在坐标纸上并连接成线时，教师再给学生提问：“大家来观察你画的这一条曲线，它有什么样的特点？”学生回答：“它是由两条曲线组成的。”教师问：“用我们之前学习过的知识来看看它是否属于函数的图像呢？”学生通过观察与判断可以得出，这就是一种函数的图像。接着，教师就可以正式带领学生进入反比例函数知识的学习。通过类比思想的应用，将一次函数与反比例函数进行比较，将反比例函数的知识归纳进入函数的板块，学生不仅学习到了新的知识，同时也进一步巩固了对旧知识的印象。

二、数形结合思维的应用

数形结合思维在初中数学乃至整个数学学习过程中都有十分重要的作用。数，即数学关系与表达式，形，即形状与图形。在数学学习过程中，二者常常密不可分、相辅相成。一方面，学生可以通过数学表达式与关系式来了解图形的形状与边界，求解图形的面积以及各点坐标；另一方面，通过观察图形，学生可以大致判断表达式中重点符号的正负性以及大致范围。教师在教学过程中需要帮助学生训练数形结合思维，学会将它们结合起来进行解决题目，将题目中的数学关系图形化，将图形数字化，更高效地得出正确结论。

例如一次函数的学习中就涉及许多数形结合思想的问题，最为基础的就是根据一次函数的表达式判断k与b的正负号以及取值。在教学过程中，教师就需要让学生学会自己通过表达式来找到k与b在函数图像上代表了哪一部分的长度。可以采用代数法，对于b，学生可以将x=0代入函数关系式子中，y值即为b的值。对应在图像上，y轴就是x=0的所有点的集合，那么函数图像与y轴的交点也就是b的值。对于k，可以代入两个数求解或比较其大小，或者直接观察图像的斜率，但是要注意正负值的区分，斜率越陡峭则k值越大。在学生的学习过程中，教师就需要让他们将图像与函数表达式结合起来，做到式子中每一个点都能够在图像上找出其对应的位置以及坐标，对于图像上的点也能够利用式子来求出，比如已知x求y就可以将它代入关系式。除此之外，中考时通过图像来求解关系式的题型十分常见，学生需要做到表达式与图像随时转换与联系，这需要教师带领他们在平时学习的进程中进行大量练习，逐渐养成习惯，在之后的反比例函数的题目中也要随时用到。

三、分类讨论思想

数学学习过程中最重要的就是培养学生的分类讨论思维。学生需要做到从多个角度思考问题，并能够相对独立地分析这一条思路的可行性，适当地进行取舍。例如，函数与图形面积的结合问题，在图像上找出符合条件的所有三角形并求面积，这样的题目往往不止有一种答案，学生需要思考出所有可能的答案并一一判断其是否成立，再在这种条件的限制之下求解相关问题。如又一种题目，在一条直线的应用过程中可能会与函数图像上的点包围出许多个三角形，学生需要求解所有可能三角形的面积，那这些三角形是否都能够满足题目的要求，需要学生找到一种合适的判断方法，比如根据题目中所给关系式将三角形的点代入函数关系式，以此来看这个点是否满足我们的要求。或者是从函数关系出发，找到三角形对应的点之后在图像上画出它们的具体位置，看看是否满足三角形的基本条件。分类讨论思想是学生知识点的综合应用，在解决一道需要学生多维度思考的问题的时候，学生各方面的知识都需要运用到位，同时学生思考也需要具有一定的相对独立性，在思考一种情况的时候不能受其他可能情况的干扰，方法可以类似，但是具体的条件不能混淆。在平时的教学过程中，教师需要把这种重要的数学思想传递给学生，让学生学会从多个角度考虑问题，运用综合的方法来解决问题，并一步步验证自己所有的结论，筛选出最符合要求的答案。

（作者单位：河北省新河县振堂中学055650）