核心素养下高中数学运算能力有效教学探讨

2021-10-01刘云庄

高考·上 2021年5期

刘云庄

摘要：高中数学学习中，教师需要引导学生合理选择运算途径，旨在确保运算迅速且运算准确性。在高中解析几何综合大题复习中，运算能力一直是考验学生数学思维能力与思维品质的重要指标之一。文章基于高中数学几何综合大题为案例，探讨如何有效提升学生的运算素养，培养能力。

关键词：高中数学;几何试题;运算能力;探讨

提到数学运算，高中数学解析几何综合题占据重要位置，因为解析几何综合题避免不了大量的运算过程。且看2015江苏高考第18题试题：如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的离心率且右焦点F到左准线l的距离为3。求：（1）略，文章不讨论本小题;（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=二、B，求直线AB的方程。

看完这道题目，大家先不看解题过程，自己试着做下，是不是有以下解题思路：①设直线AB的方程为y=k（x-1）;②由直线方程与椭圆方程，联立消元整理为关于x的一元方程;③利用根与系数关系，计算弦长AB;④再利用根与系数关系，求出点C坐标，进而写出直线PC的方程;⑤求出点P坐标，计算出PC的长;⑥解方程PC=二、B，求出k值，再写出直线AB的方程。然而，你真正计算发现，这里涉及5次运算：一是直线方程代入椭圆方程的一元二次方程，二是弦长AB，三是C点坐标，四是PC的长度，五是解方程PC=二、B。到最后，能顺利得做出来吗？在教学分析中，笔者在多媒体课件展示过具体官方解题过程：

看完第（2）题的官方参考解题过程，不难发现：解决的关键在于运算！怎样才能有效运算呢？其实这就是考验教师对学生的方法指导。由于运算能力是解题思路与运算技能的结合，数学解题离不开一定的数学运算。再看高考数学对运算能力的考查分为三种：一是根据法则、公式进行运算与变形;二是根据问题的条件寻找与设计合理、简便的运算途径的基本要求;三是根据题目要求对数据进行估算或近似计算。

一、高考数学运算中运算与变形问题

随着新高考的改革，高考解题几何综合题运算不是简单的认为是“加减乘除”，而是涉及大量的字数代数式计算，好比小学数学学习简便运算，即如何最快最准确的完成运算工作。在根据上面的高考试题中，看如何做到运算与变形：

（一）关于消元整理得到关于x一元二次方程问题

首先，直线AB的方程代入椭圆方程中，由于，这个方程组中能想到分式化成整式的运算，而不是将整理成。接着，需要了解到一元二次方程的结构特征，诸如一道解析几何综合题出现过二次三项式的问题，能整理吗？

曾看到学生这样整理：

……

还看到学生这样整理：

……

其实，教师不能否认这些同学的运算是正确的，但是这样计算下去显然缺乏方向感。这样的计算方法显然是错误的，需要寻找新的方法。其实这道题的目标是关于x的一元二次方程，正确的做法是应该将变成完全平方式，即。

（二）关于AB弦长的问题

在解析几何综合大题中，直线被圆锥曲线截得的弦长一直是常规题型，很多学生考虑到运用弦长公式进行求解。在前文中高考试题弦长AB计算过程如下：

（三）关于PC长的问题

需确定C点坐标，尤其横坐标用根与系数的关系得出，即，再由点C在直线y=k（x-1）上得到，。接着，由PC⊥AB能得到直线PC的方程为，又点P在左准线x=-2上，所以。下面探讨这个代数式的化简，即整个运算关键过程所在！也许你会想到先通分再化简，即

也有同学想到先展开再合并同类项，即

最后，计算PC长会有两种不同的表达方式，会遇到不一样的运算处境。

方法一：

方法二：

其实，方法一运用了通分运算是解题突破口，看似通分运算比较繁琐，然而在通分后的代数式结构可以用相同的公因式，将根式计算简单化。而方法二始终将分母1+2k2作为一个整体看待，没有纵横联合，到此很多学生走上平方式展开整理的歧途。实际上，代数式的运算与数字运算都需要简便运算，到了高中数学的运算是代数式的运算问题，即运用简便运算时分析代数式的结构需要有一个整体把握。在方法二中，若能发现与的结构关联：，问题就能迎刃而解。

二、高考数学运算中运算途径的选择问题

解析几何综合大题的核心就是运算，运算才是硬道理！但运算不等于盲目运算，盲目运算就是将自己“算死”。教师需要强调学生在这类大题运算过程中如何巧妙地选择运算途径。那么如何设计合理、简便运算途径呢？针对上面的试题，这节再深入探讨，做到充分利用题目已知信息，进行合理、恰当的转化。

（一）关于AB弦长的问题

在平面解析几何中，关于弦长很多人都会选择弦长公式，然而在这道试题中利用直线过椭圆焦点，即焦点弦问题，则利用焦半径求弦长能大大降低运算量，即。

（二）关于PC长的问题

求PC的长一定要用两点间距离公式吗？在前面的解法中了解，运算难度都是因为两点间的距离公式引起的，那么在一条直线上的两点间距离要怎么求呢？实际上，两点间的距离公式是建立在平面上任意两点之间的，一单两点在一条斜率给定的直线，这个时候的两点间距离就是弦长。在解析几何中，知道弦长公式的表达式需要用到x1+x2与x1·x2，这里再用根与系数关系处理（设而不求）。我们知道x1与x2，还是用弦长公式求解弦长吗？。

因此，

这样，我们直接避开了求直线PC的直线方程与P点的纵坐标，将运算难度大大降低。

（三）关于切入点的问题

在上面的讨论中谈到解析几何如何寻找切入点非常关键。在本题中为了求直线方程，且知道该直线过定点F。因此引入直线的斜率来求解问题是最符合正常逻辑思维的事情，然而又考虑到等量关系PC=二、B，我们要考虑用什么量来表达这个程度又是需要思考的問题。

在上面的分析中，，，另一方面，。为此，线段PC、AB的长度都与点C坐标有关，即我们可以通过设点C坐标来处理问题，这样能有效避开大量的运算问题（一元二次方程、弦长公式、C点坐标、两点间距离公式），运算量直接降低。由PC=二、B得，（*）

这是唯一的代数式运算问题，问题是里面涉及两个未知数，如何求解？还得找一个能建立有关于xc与yc的方程吗？其实，这里需要涉及终点弦问题中的“点差法”。为此，由，得，所以，

再将这个式子代入（*）得，

，

即，

两边平方整理得，，即。

结束语

高中数学核心素养中，运算是一种重要内容，为此如何选择合理的运算途径成为运算能力培养的核心。在高中数学教学中，教师需要引导学生根据不同条件与题目特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，并善于通过观察、分析、比较，作出合理的选择。