多角度探究离心率问题

何艳丽

摘 要：离心率又叫偏心率，用来描述行星运行轨道形状，解释为形状从圆形偏离了多少，是天体计算中定义轨道形状的重要参数。圆锥曲线中的离心率问题综合性比较强，又灵活多变，能很好的考查学生对圆锥曲线定义及相关知识熟练掌握的程度，以及计算的灵活运用的能力，能够很好的考查圆锥曲线的知识，下面就从多角度研究焦点三角形中的离心率问题。

关键词：离心率;圆锥曲线定义;直角三角形

焦点三角形为直角三角形时，分为两种类型，一种是一个焦点与另一焦点及椭圆上点的张角为90°。另一种是椭圆上点与两焦点的张角为90°;利用直角几何关系体现边角之间的关系，向双曲线定义靠拢，得出基本量关系，利用离心率基本公式求得离心率。

例1：设椭圆（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上的点，PF1⊥F1F2，∠F1F2P=30°，则C的离心率为

A. B. C. D.

正确答案：D

方法一：在Rt△ABC中，|F1F2|=2c，∠F1F2P=30°，则|PF1|=，|PF2|=，

由椭圆定义，|PF1|+|PF2|==2a，所以

精简过程：设|PF1|=1，由已知|F1F2|=，|PF2|=2，则。

方法二：在Rt△ABC中，|PF1|=，

则b2=2ac，又b2=a2-c2，所以a2-c2=2ac，所以e2+2e-=0.

解得e=。

这种直角三角形的离心率问题比较简单，可直接找到三边关系，利用椭圆、双曲线基本定义，直接解决问题。

例2：已知F1，F2分别是椭圆（a>0，b>0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆离心率的取值范围是

A.[，1） B.[，1）

C.（0，] D.（0，]

正确答案：B

方法一、图形感知

先直观感知，从椭圆的圆扁程度直接感知，什么樣的椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，什么样的椭圆不存在呢？应该是越扁的椭圆，存在点P使得PF1⊥PF2的几率越大一些，如下图，

所以离心率e是趋近于1的，又张角∠F1PF2最大时，点P在椭圆上下顶点位置，如下图此时离心率e为。

方法二、几何法1设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，

则又，

所以4c2≥，即2c2≥a2，即e2≥，所以≤e<1。

方法三、利用焦点三角形面积

设|PF1|=r1，|PF2|=r2，△PF1F2的面积S=r1r2==b2，所以r1r2=2b2≤==2a2，即b2≤a2，所以a2-c2≤c2，a2≤2c2，e2≥，所以≤e<1。

方法四、坐标法

理解条件PF1⊥PF2，动点P在以F1F2为直径的圆上，又点P在椭圆上，所以P为圆和椭圆的交点，通过坐标法解决。

联立消y得，

因为0≤x2≤a2，0≤≤a2，解得≤e<1。

方法五、几何法2

由上面的方法二可知，P为圆和椭圆的交点，观察下面的图形。

发现如果保证圆与椭圆有焦点，b≤c，

两边平方，b2≤c2，即a2-c2≤c2，a2≤2c2，所以≤e<1。

方法六、用椭圆定义及正弦定理

设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，由已知α+β=90°，α∈（0，）。

因为α∈（0，），所以α+∈（，），所以sin（α+）∈（1，]，e∈[，1）。

利用焦点三角形求解离心率问题中，三角形设置多为特殊的三角形，通过特殊角或者边的关系，利用正余弦定理，得出基本量的关系，从而到达离心率的求解。对于垂直关系PF1⊥PF2的理解还可以有很多角度，比如：向量点积为零，斜率互为负倒数等，每种解法都进行尝试，拓展学生视野，在实践中对解法进行衡量对比，为以后的考试积累经验，形成正确的数学感觉，理解解析几何的本质，形引路，数计算，数形深度融合。

参考文献

[1]李莹琪.椭圆离心率求解方法探究[J].科学咨询（科技·管理），2019（02）：165-166。

[2]申楠.判别式法在高中数学中的应用[J].纳税，2017（23）：174.