构造一元二次方程解题

于志洪

在解答某些非一元二次方程的问题时，若能抓住问题特征则可以通过构造一元二次方程来解决.下面举例介绍.

例1 已知a，b，c为实数，且a + b + c = 0，abc = 1，求证：a，b，c中必有一个不小于[32.]

解析：由所给条件的形式，容易联想根与系数的关系，因为a，b，c必有一个大于0，不妨设c > 0，则a + b = -c，[ab=1c]，则a，b是方程[x2+cx+1c=0]的两个根，再由方程有两个根，可得Δ = [c2-4c≥0]，得[c≥43=3283>2783=32]，即[c>32.]

点评：若条件中有[x1+x2=s]，[x1x2=t]，可利用根与系数的关系构造方程[x2-sx+t=0.]

例2 已知[a=122+18-28]. 求[a2+a4+a+1]的值.

解析：因为[a=122+18-28=-2+（2）2-4×4×（-2）2×4]，

所以a是一元二次方程[4a2+2a-2=0]的一个实数根.

故[a2=24]（[1-a]），所以[a4=18]（[1-a]）2.

则[a4+a+1=18]（[a+3]）2.

由已知可得a > 0，则[a2+a4+a+1=] [24]（[1-a]）[+24]（[a+3]） [=2.]

点评：若条件中出现[x=-b±b2-4ac2a]结构时，则可构造方程[ax2+bx+c=0]（[a≠0]）.

例3 已知实数x，y满足[4x4-2x2=3]，[y4+y2=3]，求[4x4+y4]的值.

解析：由[4x4-2x2=3]，得[-2x22][ + -2x2=3]，由[y4+y2=3]，得（[y2]）[2+y2=3]，所以[-2x2]與[y2]是关于z的方程[z2+z-3=0]的两个根，则由根与系数的关系，得[-2x2+y2=-1，-2x2·y2=-3.]

所以[4x4+y4=-2x2+y22+2·2x2·y2=1+2×3=7.]

点评：若条件中有结构相同的两个等式[ax21+bx1+c=0]，[ax22+bx2+c=0]（[a≠0]），则可构造方程[ax2+bx+c=0]（[a≠0]）.

例4 设a为实数，[M=] （[2+3-a]）2，[N=4]（[a-1-2-3]），求a为何值时，M > N.

解析：因为M > N，则（[2+3-a]）2 [- 4]（[a-1-2-3]） > 0，

故可以1，[2+3-a]，[a-1-2-3]为系数构造一元二次方程，

即[x2+] （[2+3-a]）[x+ ]（[a-1-2-3]） = 0.

因为[1+]（[2+3-a]） + （[a-1-2-3]）[=0]，所以方程必有一个根为1.

即[x1=1，x2=] [a-1-2-3]. 当[x1≠x2]，即a[ ≠] 2 + [2+3]时，Δ > 0，即M > N.

所以当[a≠2+2+3]时，方程有两个不相等的实数根，此时有M > N.

点评：当条件中出现[b2-4ac]结构时，可联想根的判别式[Δ=b2-4ac，]构造方程[ax2+bx+c=0（a≠0）.]

例5 已知关于x的方程[x3-ax2-2ax+a2-1=0]只有一个实数根，求实数a的取值范围.

解析：由于初中没有学过一元三次方程的解法，于是转换视角将关于x的一元三次的方程改写为关于a的一元二次方程.

即原方程化为[a2-（x2+2x）a+（x3-1）=0]，[Δa=] [-（[x2+2x]）][2-4]（[x3-1]）= （[x2+2]）[2]，对任意x均有[Δa] > 0，由一元二次方程的求根公式得[a=x2+2x±（x2+2）2]，于是[2a=x2+2x±] （[x2+2]），即[2a=x2+2x+] （[x2+2]），或[2a=x2+2x-]（[x2+2]），由[2a=x2+2x-] （[x2+2]），得x = a + 1，于是[2a=x2+2x+]（[x2+2]）必须无实数解，即[x2+x-] （a - 1） = 0无实数解，故[Δx=12+4]（a - 1） < 0，解得[a<34.]

点评：当条件等式中含有几个元时，可以确定一个主元构造一元二次方程解题.