解一元二次方程的降次思想

邹兴平

解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程降次，转化为一元一次方程.这种解题思路实质就是降次转化思想，下面举例剖析.

一、用因式分解法降次

对于系数比较特殊的一元二次方程，用因式分解法求解比较快捷，基本思路是利用“若a·b = 0，則a = 0或b  = 0”求方程的根.

例1 如果x2-2x-2 = （x + 1）0可转化为两个一元一次方程，那么x的值为（ ）.

A. 3或-1      B. 0或1    C. 3      D. -1

解析：首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，得x2-2x-2 = 1，进而利用因式分解法解方程，得（x-3）（x + 1） = 0，解得x1 = 3，x2 = -1，∵当x = -1时，x + 1 = 0，故x =-1应舍去，故选C.

方法指导：因式分解法的一般步骤：①化，将方程化为一元二次方程的一般形式（方程右边化为零）;②分，将方程的左边分解为两个一次因式的积;③转，令每个因式分别为零，转化为两个一元一次方程;④解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

二、用直接开平方法降次

例2（2021·江苏·无锡）解方程（x+1）2 - 4=0.

解析：移项，得（x+1）2=4，开平方，得x+1=±2，故x1=1，x2=-3.

方法指导：对于形如（x - m）2 = n（n ≥ 0）的方程，依据正数有两个平方根，它们互为相反数，用直接开平方的方法，可将原一元二次方程转化为两个一元一次方程x - m = ±[n]，得其解为x = m ± [n].

三、用配方法降次

当一元二次方程无法用因式分解法和直接开平方法求解，且其二次项系数为1，一次项系数为整数时，常用配方法求解.

例3 用配方法解方程x2-2x-2 = 0.

解析：首先把常数项-2移到等号右边，得x2-2x = 2，再两边同时加上一次项系数一半的平方得：x2-2x + 1 = 2 + 1，把左边配成完全平方式（x-1）2 = 3，再开方得x-1 = ±[3]，则x1 = 1 + [3]，x2 = 1-[3].

方法指导：配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程. 其基本思路是在直接开平方的基础上，将方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的左边恒等变形，转化为（x + m）2 = n的形式（它的一边是一个关于x的完全平方式，另一边是一个常数），再利用平方根的定义求解.当n ≥ 0时，两边开平方便可求得方程的根;当n<0时，方程在实数范围内无解.