一道高考题引发的思考与研究

赵爱华

(新疆乌鲁木齐市教育研究中心 830002)

近年来，在各种重要考试中经常出现以2011年全国Ⅱ卷理科第16题为母版的试题，呈现形式多样，选择题、填空题、解答题均有考查，但是历届学生答题准确率都较低，这引起了我们的关注，并在实践中开展了深入的探究.

一、题目呈现

二、总体分析

一般认为，本题以正弦定理为入口，考查三角函数的性质.但是命题专家在“结论AB+2BC”中的“2”上做了文章，将问题变得扑朔迷离.很多学生在最后的出口上会遇到困难.因此，必须另辟蹊径，突破难点.既然题目在求最值的出口处设置了障碍，那么我们必须以不同的视角来研究此题，找到突破口.事实上，本题远不止一个入口.它蕴含了丰富的教学素材，留给了教师、学生广阔的思维空间.此模型备受专家的青睐，编制了很多翻新试题.

三、本质探究

四、解法探究

视角1 从正弦定理入手，依托三角函数性质作答.

评析本解法中，部分功底不扎实的学生会对(*)处有疑惑，φ究竟有多大？C+φ能取90°吗？导致解题失败.事实上，由正切函数的单调性知30°<φ<45°.从几何角度或三角形内角和可以发现0°

视角2从余弦定理入手，利用判别式作答.

即3=c2+a2-ac.

令t=c+2a.①

即c=t-2a.②

将②代入①整理，得7a2-5ta+t2-3=0.

于是Δ=(-5t)2-28(t2-3)≥0.

评析本解法用整体处理的技巧，从二次方程的角度，构造了以目标函数为参数，边长a为变量的二次方程，自然避开了角对问题的干扰.

视角3 从余弦定理入手，利用三角换元作答.

评析本解法恰当利用了题设转化而得的平方关系式，借助sin2θ+cos2θ=1消元，构造自变量不受限的三角函数，解法干净利落.

视角4 从余弦定理入手，利用极坐标作答.

解法4由解法2知，3=c2+a2-ac.

令c=ρcosθ，a=ρsinθ，代入3=c2+a2-ac,得ρ2(cos2θ+sin2θ-sinθcosθ)=3.

于是c+2a=ρ(cosθ+2sinθ)

整理，得(z-4)t2-(z+4)t+z-1=0.

于是Δ=[-(z+4)]2-4(z-4)(z-1)≥0.

评析本解法恰当应用了极坐标的极径和角度互化功能，实现了极径化极角，将问题等价转化.多次函数转化，将难点一步一步攻克，充分体现了等价转化的数学思想的重要性.

五、一点思考

本题无论从正弦定理入手，还是从余弦定理入手，均可以顺利解答.我们可否认为两个定理是等价呢？答案是肯定的，下面证明之.

在ΔABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c.R为ΔABC外接圆半径.

首先用余弦定理来推导正弦定理：

因为sin2A=1-cos2A

同理可得

其次用正弦定理来推导余弦定理：

由正弦定理知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

=sinBsinC-cosBcosC

=-cos(B+C)

=cosA.

这就是余弦定理的一个表达式，同理可推导另外两个表达式.至此，我们证明了正余弦定理的等价性.在平常解题中，我们只是为了解题方便，运算简单，在二者之间进行了选择，理论上二者在功能上没有本质区别.

六、变式训练

变式1 若实数x，y满足x2+y2-xy=3，则x+y的最大值是 ____.

说明这种变式降低了难度，应用解法1这种通解通法处理目标函数时，能够准确找到辅助角公式的φ，因为此时的辅助角φ为特殊角，学生能恰当处理.

变式2 若实数x，y满足x2+y2+xy=3，则x+y的最大值是 ____.

说明这种变式相当于将原题的角B换成了120°，目标函数没有设置障碍，训练学生举一反三的能力.

变式3 若实数x，y满足x2+y2-xy=3，则2x+y的最大值是 ____.

说明这种变式与原题是等价命题，系数2移动位置，不影响问题的本质与难度，恰好能体现三角形的边AB，BC的对等性.

变式4 若实数x，y满足x2+y2-xy=3，则2x+3y的最大值是 ____.

说明这种变式与原题也是等价命题，目标函数中系数2，3增加了问题的迷惑性，但不影响问题的本质.

说明这种变式改变了目标函数的类型，恰好能引导我们使用三角换元作答，当然别的解法也可以解答，只是没那么快捷.

变式6 若x2+2xy+2y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为____.

说明这种变式改变了非线性可行域和目标函数的类别，但不影响问题的最值是曲线与直线相切造成的这一本质属性.利用判别式、三角换元均可顺利作答.

从而z=x2+4y2

由-1≤sin(2θ+φ)≤1，

七、教后反思

高考题教学的第一层次是讲清楚题目本身，第二层次讲清楚题目后进行变式训练，第三层次是上升到“揭示问题本质”，这种“破茧化蝶”的心路蜕变历程，过程艰难但结果美丽，对老师和学生都大有裨益.

开展深度教学势在必行.这类问题极容易停留在解法1的认识层次上.不思索就不会全面认识问题的深刻内涵，更谈不上培养学生的高阶思维.我们有没有对问题中的系数2产生疑问呢？是否揣摩了命题者的意图呢？这些活动都能提升学生的数学思维品质.深度教学的发生离不开教学的组织与引导.我们必须克服教学过程中表面、表层、表演的局限，引导学生深层、深刻、深度学习.经历从理论到实践的一整套思维方式和行为模式的转化，深度教学才能促进深度学习真实发生，才能克服同类问题反复做反复错的现象.

“授之以鱼，不如授之以渔”，在数学教学过程中，我们要擅于总结同类问题的共性，找到此类问题的解决策略，低起点，小步子，借助问题的不断变式，逐步提升问题的难度，授予学生方法，让学生做一道会一类，这样我们才能做到课堂教学高效率，学生学习高成效.教学难点才能真正被突破.