Hartree型非线性薛定谔方程解的无条件唯一性

武江雪，韩 征，方聪慧，付 雪

(杭州师范大学数学学院，浙江 杭州 311121)

1 绪论

本文主要研究了Hartree型非线性薛定谔方程的解在Sobolev空间中的无条件唯一性，其方程如下：

(1)

其中n≥1，γ∈,T>0,s>0,0<β

参考文献[1-12]研究了该方程在Sobolev空间中的柯西问题.特别地，苗长兴等人[9]证明了该方程在Hs(n) 中的局部适定性问题，其中

以下是本文的主要结论：

0<β

则方程 (1) 的解在L∞((0,T);Hs) 中的无条件唯一性成立.

0<β

则方程 (1) 的解在L∞((0,T);Hs) 中的无条件唯一性成立.

3s+1≤β<2s+2.

注记1由以上结论，可对方程 (1) 解的无条件唯一性作出如下总结：

1)对于n=1 和n≥7，s>0，0<β

2 准备工作

定义1如果q，r满足下列条件，则称(q,r)为一组相容对.

引理1(经典的Strichart估计[17]).

1)对 ∀φ∈L2(n)，函数U(t)φ属于Lq(,Lr(n))∩C(,L2(n))，其中(q,r)为相容对.则存在一个常数C，使得对∀φ∈L2(n)，有

‖U(·)φ‖Lq(;Lr)≤C‖φ‖L2.

2)已知区间I⊂，令若(γ,ρ)是一组相容对，且f∈Lγ′(I;Lρ′(n))，则对任意的相容对(q,r)，我们有

其中t∈I.而且，存在一个与I无关的常数C，对∀f∈Lγ′(I;Lρ′)，使得下面的式子成立

‖Φf(t)‖Lq(I;Lr)≤C‖f‖Lγ′(I;Lρ′).

(2)

引理2(非齐次Strichartz估计[18]) 对∀σ∈，满足下列条件:

已知区间I⊂，令如果(q,r) 是一组相容对且则对任意的一个相容对 (γ,ρ)，存在一个与I无关的常数C，使得

其中γ，ρ，q和r满足如下条件

(3)

且还需满足以下条件之一：

如果n=2，则r，ρ<∞；

如果n≥3，则需分以下两种情况：

(4)

引理3(Hardy-Littlewood-Sobolve不等式[19]).若 0<β

其中 1

‖|x|-β*f‖Lq≤Ap,q‖f‖Lp.

则存在一个常数C，使得

(5)

证明根据对偶的性质来证明方程(5)，即转化为证明下面的不等式：

由Hölder不等式可得

又由三角不等式和Hölder不等式可得

综上所述，可得

故引理得证.

引理7令 0<β0，x∈n，以及f(x)，h(x)，ω(x)∈Hs.若 1

(6)

则存在一个常数C，使得

‖[|x|-β*(fω)]h‖Lp≤C‖f‖Lr‖ω‖Hs‖h‖Hs.

‖[|x|-β*(fω)]h‖Lp≤C‖|x|-β*(fω)‖Lp1‖h‖Lp2≤C‖fω‖Lp3‖h‖Lp2,

C‖fω‖Lp3‖h‖Lp2≤C‖f‖Lr‖ω‖Lp2‖h‖Lp2≤C‖f‖Lr‖ω‖Hs‖h‖Hs.

3 定理1和 定理2的证明

由引理1可得

‖u-v‖Lq((0,T);Lr)≤‖f(u)-f(v)‖La′((0,T);Lb′),

(7)

其中(a,b) 是另一组相容对.

(8)

(9)

对于II，由三角不等式得

(10)

(II1)≤‖u-v‖Lr‖u‖Hs‖v‖Hs.

(11)

同理可得

(12)

因此，由方程(7)—(12)和关于t运用Hölder不等式，其中若q，r，a，b，p1和p2满足

(13)

则有

(14)

所以，当β和s满足条件

即可保证条件(13)成立.

因此，如果T充分小，则方程(14)右端可被左端吸收，从而无条件唯一性得证.

由引理2可知

‖u-v‖Lq((0,T);Lr)≤‖f(u)-f(v)‖La′((0,T);Lb′),

类似于上面的证明，我们有

‖f(u)-f(v)‖Lb′≤C‖u-v‖Lr(‖u‖Hs+‖v‖Hs)2.

综上所述，定理1和定理2证明完毕.

4 定理3和定理4的证明

(15)

由引理2可得

(16)

(17)

同理可得

(18)

由方程(15)—(17)及关于t运用Hölder不等式，我们可得

(19)

又由三角不等式可得

又由方程(21)可得

(22)

而对于II，可转化为

(23)

由引理6可得

(24)

同理可得

(25)

因此，由方程(19)—(22)和关于t运用Hölder不等式可得

(26)

其中(γ,ρ)，(λ,p)，(q,r)满足条件(2)，(3)，(4)，即

(27)

(28)

所以，当T充分小时，方程(26)的右端可以被左端吸收，则无条件唯一性成立.

由以上关系可得，当2≤n≤6时，要使条件(26)和(27)成立，β和s需满足以下条件：

当n≥7时，要使条件(27)和(28)存在，β和s需满足先前假设(15).