Banach代数上算子矩阵的伪Drazin逆

王国栋，郭世乐，陈焕艮

(1. 杭州师范大学数学学院，浙江 杭州 311121; 2. 福建技术师范学院电子与信息工程学院,福建 福清 350300)

0 引言

J(A)={a∈A|对所有x∈A,1+ax∈A-1},

并记

然后,给出一个相应的例子来说明相应的结果.

在最后一节中,将第3节的条件进行拓展,并给出了相应的数值例子.

1 算子矩阵

首先,给出一些关键的引理：

(b-a)m+1=bm-1(b-a)(b-a)=bm-1(b2-ba-ab+a2)=

bm-1(b2-ba-a2+a2)=bm-1b(b-a)=bm(b-a).

于是,

由于ab=a2,则有

证明考虑M=P+Q,其中

通过计算有

因为a2=bc,ab=bd,所以PQ=P2.接着继续计算

类似地,可以得到和定理1所对称的结论.

证明注意到

下面给出一个定理1的直接推论：

由引理2可知,

且

2 Schur矩阵

在本节中,进一步探究什么时候Schur矩阵具有伪Drazin逆.接下来,给出本节重要的引理.

于是P2=0,QPQ2=0,PQPQ=0.由引理3可知,只要证Q具有伪Drazin逆.

考虑分解Q=Q1+Q2,其中

验证定理1的各项条件：

紧接着,给出定理2的一个直接推论.

证明显然.

类似的,定理2也有下面的对称形式：

证明注意到

证明考虑M=P+Q,其中

得到P2=0,QPQ2=0,PQPQ=0.由引理3可知,只要证Q具有伪Drazin逆.考虑分解Q=Q1+Q2,其中

当然,定理3也有如下的对称形式：

证明显然.

3 推广

在这一节中,尝试减弱上一节中的某些条件,进而推广一些已有的结论.

于是,

其中,

于是,

综上,完成了定理的证明.

证明验证定理4的各项条件：

abaπ=a2aπaπ=a2aπ;

因此,由定理4即证.

例2设

于是,