整体认识一元二次方程中的三个系数

文／陆文娟

如果已知一个一元二次方程，就是知道了ax2+bx+c=0（a≠0）中的系数a、b、c，那么我们可以通过直接开平方法、配方法、公式法或因式分解法把它的根求出来。反之，如果知道一元二次方程的根，就可以反过来求出待定字母a、b、c 的值。这说明一元二次方程的根与三个系数之间有着紧密的联系。下面我们就来整体认识一下这三个系数。

一、正确认识二次项系数

关于x的一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，其中a、b、c是常数，并且a≠0。这句话告诉我们，如果确定了某一个方程是一元二次方程，那么对应的a≠0；反之，只有a≠0，才能保证所给的方程是一元二次方程。

例1已知关于x的方程（m-2）xm2-2+5mx-7=0是一元二次方程，求m的值。

【分析】粗心的同学一看到关于x的一元二次方程，马上想到最高次数是2，进而得到m2-2=2，求得m=±2。事实上，题目告诉我们关于x的方程是一元二次方程，所以首先要保证二次项系数不为0，即m-2≠0，得m≠2；其次才有m2-2=2，求得m=±2。结合上述两条结论，本题正确的结果是m=-2。

二、全面认识根的判别式

一个一元二次方程有没有实数根，只要计算根的判别式，根据判别式的值是大于0、等于0 还是小于0，就可以判断。显然，三个系数a、b、c决定了根的判别式的值。但同学们千万不要忘记，要计算根的判别式，其前提是给出的方程必须是一个一元二次方程。因此，我们要在a≠0的前提条件下，才能考虑计算Δ=b2-4ac的值。否则，就有可能出现差错。

例2当n为何值时，关于y的方程（n-1）y2+2ny+n+3=0 有两个不相等的实数根？

【分析】粗心的同学看到方程有两个不相等的实数根，马上计算根的判别式的值Δ=（2n）2-4（n-1）（n+3）＞0，求出n＜事实上，上面已经说过，要计算根的判别式的值，其前提是要保证二次项系数不为0，即先保证它是一个一元二次方程，所以n-1≠0，得n≠1。本题的解题过程是，先保证n≠1，再满足n＜这样，正确结果为n＜且n≠1。

如果我们把上述问题的叙述稍加改变，就可以得到下面这样一个问题：

当n为何值时，关于y的方程（n-1）y2+2ny+n+3=0 有实数根。这时的问题又该如何求解呢？

【分析】由于问题中没有说是一元二次方程，只说是方程，那么，我们应该把视野放大，从整式方程的角度来看问题。如果n-1=0，即n=1，方程变成2y+4=0，显然，这个方程有实数根。如果n-1≠0，得n≠1，即方程是一元二次方程，此时有根，那么根的判别式大于等于0，求出n的取值范围是n≤。综合上述两种情况，得到最后的结果是n≤。

三、整体认识韦达定理

上面我们介绍了一个整式方程是一元二次方程的前提是a≠0，在此前提下考虑根的判别式的值，进而确定一元二次方程有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根等情况。那么，一元二次方程ax2+bx+c=0 根与系数的关系x1+x2=又该如何整体认识呢？谈到根与系数的关系，首先对应的一元二次方程得有根，而一元二次方程有根的前提是根的判别式Δ=b2-4ac≥0，而要计算根的判别式的前提是方程必须是一元二次方程，即a≠0。由此我们就得出这样的思考先后顺序：首先是a≠0，其次是Δ=b2-4ac≥0，最后才是x1+x2=-。

例3已知关于x的方程（k2-1）x2+（k+1）x+1=0，其中k为实数，此方程的两个实数根x1、x2满足x1·x2=1，求k的值。

【分析】粗心的同学看到x1·x2=1，就会根据韦达定理列出关于k的等式x1·x2==，求出k=±，进而下结论。上面的整体认识告诉我们，首先要考虑二次项系数k2-1≠0，求出k≠±1；其次计算根的判别式Δ=b2-4ac≥0，求出-1≤k≤；最后考虑根与系数的关系x1·x2=，求出k。综合以上三条结论，最后得出正确的结果是

乍一看一元二次方程的二次项系数、根的判别式、根与系数的关系，会觉得是三个不同的知识点，但上面的三个“认识”告诉我们，它们都是研究一元二次方程系数的关键，看似独立，实际却紧密联系，甚至还有先后的逻辑关系。事实告诉我们，很多数学知识之间都是有联系的，学好数学知识的秘诀就是要先把每个知识点熟练掌握，再把相互关联的知识点全面认识，最后对所学章节的知识或同类知识进行整体把握。我们只有逐步跨上了这样三个从低到高的台阶，才能在知识的海洋中自由地畅游。