基于范希尔理论的“图形与几何”教学策略

韩建平

[摘 要] 文章基于范希尔理论，从几何思维的五个水平进行论述，尝试沿着“生活实物—抽象图形—解释强化—回归反思”的基本流程展开教学，让学生获得各种解题策略，从而提升自身的数学素养。

[关键词] 范希尔理论;图形与几何;策略

在“图形与几何”教学中，教师要培养学生的空间观念，关注学生的几何直观和推理能力。但从实际教学和学生的学习反馈中，笔者发现，学生在这方面的能力还是非常薄弱的，问题集中在：①学习浅尝辄止。学生在学习时没有建立几何图形的概念，只停留在范希尔理论几何思维的第一个水平上。②想象浮于表面。学生受生理和心理特征、知识结构及认知能力的影响，较难形成完整的空间想象。③解题不求甚解。学生对稍复杂的几何图形规律的探究能力很弱，缺乏对其内在实质性规律的把握。基于上述原因，笔者借鉴范希尔理论中关于几何思维的五个水平的论述，遵循学生的认知特点，旨在探索“图形与几何”教学策略，促进学生数学素养的提升。

一、反复体验，及时反思

小学阶段有相当一部分知识是直观几何和实验几何。教师要为学生提供丰富的表象体验，建立有效的表象。对此，教师需要关注以下几个策略。

（一）用生活经验，建立表象

生活经验是学生发展空间观念的基础。例如，“周长”对三年级的学生来说比较抽象，这是由于在实际生活中，学生对图形形状、大小的接触比较多，而关注周长的时候比较少。生活中的周长是以什么形式出现的？周长应该从研究或解决什么问题引入？学生先有“周长有长有短”的理解，再有周长的概念。小学阶段，几何知识体系中类似的概念教学还有很多，如面积、体积及各种几何图形概念的建立等，在建立图形表象阶段，都可以借助“例举生活现象→讨论辨析→找共性、发现特征→形成图像→体验图形价值→回归生活实例”策略开展教学，这对学生空间能力的培养很有效。

（二）用学具操作，强化表象

对于运动变化的几何知识，学生内心特别惶恐。使用几何学具会让复杂的问题变得简单易解，并能强化表象，有利于学生建立空间观念。例如，四年级教材中提到：“长方形框架拉成平行四边形，周长和面积有变化吗？”我们应围绕“长方形框架拉成平行四边形时，什么变了什么没变”展开，不要急着得出结论。学生可以拿着学具反复拉动，边拉动、边观察、边感悟……再辅以课件的演示。这样的操作真实有感，学生会慢慢发现，它们之间并不是等底、等高的关系。在后来的练习中，学生很少再犯错。在教学中，教师要充分发挥学具的价值，让做题目的过程变成演题目的过程，以此在学生的脑海里留下深刻的印记。对于“等底、等高的三角形面积相等，图形的平移和旋转”等知识，我们可以借助这种策略，反复操作，不断强化学生的自我体验，从而加深表象的建立和问题的解决。

二、建立表征，解决问题

在表象感知基础上，我们要引导学生从具体的表象中，抽象出本质特征，了解建构图形的要素，进一步探求图形的内在属性。这个环节做到位了，有助于学生获得必需的知识和必要的技能。

（一）在知识形成中清晰概念内涵

当教学到提炼几何图形特征的核心环节时，教师要善于引领学生从知识的获取、方法的选择、结论感悟三个层面，从具体到抽象，梳理形成清晰的思路，完整建构概念的内涵。

如“认识梯形”一节，处于范希尔几何学理论第一个水平的学生，只能从外观上识别梯形，无法用语言来描述。我们不妨设计“画梯形→画与众不同的梯形→画更特别的梯形→想梯形”的活动，让学生向分析图形特征过渡。完成第三次画梯形后，教师可以引导学生思考：为什么它们都是梯形？学生在探究图形的性质时，偏向于显性要素。这也告诉我们，教学中不能局限于常规梯形的表征。到最后一个想梯形的环节，学生在操作中越来越能抓住梯形的内涵——只有一组对边平行。经过操作、交流、思辨，梯形之所以只有一组对边平行，原因在于平行的那一组对边不能相等。在一次次总结中，学生不仅更深入地理解了梯形的概念，洞察了梯形的各个特征，学生的思维能力也能得到发展。

（二）给同类的题目建立解题模型

在教学中，学生能从大量题目中发现题目的类似主干，主动抽象出数学结构，在解题时发现并形成解题模型，在实际教学中会产生事半功倍的效果。

如“单位换算”一节，学生逐步学习了长度、面积、体积、重量、时间等的换算。在教学中，我们要抓住换算的本质——守恒。特别是六年级下册的复习中，学生发现这类题目的解题策略是一致的：大单位配小数据，小单位配大数据，在探寻怎么“配”的问题时，自然想到了进率的条件。学生在自主举例、验证中感受到这个结构在所有的单位换算中都能采用，具有很强的实用性。从直观的表象到抽象的数学模型，构建起了真正的数学认知，实现了学生能力上的飞跃。

三、同化经验，体验多样

（一）常规经验，要学会灵活应用

学生在碰到新问题时，常常会出现无从下手的感觉。教师在教学时要引导学生先辨识它属于哪一类的知识，提取出相应的策略来加以解决，如“练习求图形的周长”一课的教学。

右图阴影部分是正方形，求该图形的周长。看到求周长，学生会迅速调动出求图形周长的解题策略：周长在哪里→长方形周长=（长+宽）×2→找到对应的数据，代入公式进行解答。学生运用解题策略到第三步时蒙了，因为题目的呈现打破了他们已有的认知：他们虽然能运用求长方形周長的公式，但本题中的9㎝和6㎝不是他们理解中的长和宽。其实，我们完全可以套用周长建构的经验解决这个问题，而无须另寻他法。我们只需把周长上每条基本线段标上不同的字母（设而不求），发现周长=a+b+a+b+c+b+c+b=a+b+b+c+a+b+b+c，已知9cm=a+b，6cm=b+c，那么a+b+b+c=15cm，所以c=15×2=30cm。

学生不知道怎么用 9cm和6cm的条件，因此在解题中，教师应不断引导学生由特殊条件出发，联想到熟悉的经验，在熟悉的策略驱使下，学生愿意听，也容易听懂。在周长概念框架下，学生真正理解了15×2=30cm的含义。由此可见，借助熟悉的经验，复杂的问题可以简单化，更利于让知识形成体系。

（二）非常规经验，要多面体验扩充

学生用掌握的各种经验，可以解决基本题、变式题、拓展题等。在此过程中，他们体会到了数学经验、解题策略的实际应用价值。同时，教师还可以不断引导学生对非常规经验进行进一步的扩充，形成新的经验和策略，使学生不但能灵活地解决问题，而且在变式训练中拓展解题思路。

关于求不规则物体的体积，人教版教材是分散在几册教材中缓缓呈现的，让学生建立扎实有效的体积概念。五年级下册教材中体积概念的呈现：用乌鸦喝水和鹅卵石放入水杯的操作活动，帮助学生建立体积的概念，教材提供了丰富的表象，也为“求不规则物体的体积”和六年级上册“求饮料瓶的容积”做了第一手准备。到了六年级上册“求饮料瓶的容积”，学生的第一印象是“这是求一个不规则物体的体积”，显然与五年级求土豆、梨的体积有所不同。学生需要对求不规则物体的体积解题策略进行拓展。

学生发现，不能用排水法解决这个新问题，应把思考方向放在如何把不规则形体转化成规则形体上。在操作中，他们发现饮料瓶的容积就是两个圆柱的体积之和，并按照求不规则物体体积的解题策略，解决了新问题：体积=正放时饮料部分圆柱体积+倒放时空余部分圆柱体积。学生调动经验解决新问题，不仅能提高学生的几何素养，还有利于他们更深刻地认知数学，更高效地解决复杂问题。

范希尔理论认为，学生思维水平的提高并不是直接通过讲授获得的，而是通过合适的练习达到的。范希尔理论作为诊断学生几何思维水平的评估指标，可以指导我们设计每个水平上的教学目标与任务，它是我们今后实践研究的方向。