非线性边界条件下弯扭耦合梁方程组的吸引子*

张婷 张建文

（太原理工大学数学学院，太原030024）

引言

对于力学中梁结构所确定的无穷维动力系统的研究，很多学者讨论的都是假设梁在对称平面内的弯曲振动，如果不是这种情况，通常梁的弯曲振动将会与扭转振动结合起来.对梁的弯曲与扭转联合作用的数学模型最初由学者Timoshenko［1］提出：

根据系统影响因素的不同，国内外许多学者分别从不同的角度进一步建立了与振动因素相对应的数学模型.Timoshenko［2］最先提出了该模型，并证明解的存在唯一性；Andrade［3］在 Timoshenko的基础上增加一非线性项，在上述相同初始条件下证明了解的存在性、唯一性及正则性；张建文等［4，5］研究了在含有二阶空间导数的线性边界条件下的演化方程的整体解的存在性、唯一性.

以上多数研究的是该类耦合梁方程组在线性边界条件下解的存在唯一性，而对于非线性边界下解的存在唯一性仅有少数研究，如李银玉［6］探究了在含有三阶空间导数的非线性边界下弱解的存在性问题.但是关于弯曲与扭转联合作用下梁方程组系统的吸引子未见相关报道，因此本文主要探究如下耦合梁方程组

其 中 ，c，η1，α，b，γ，a，η2，δ，β0为 常 数 ，且 c2<γ，x∈(0，l).在含有三阶空间导数的非线性边界条件

和初始条件

下的全局吸引子.

在本文中，系统（1）-系统（3）描述了一个弯扭耦合梁的振动，条件（2）的第一、三方程表示该梁在左端点x=0处被铰接.第二、四方程与x=l处的剪切力有关且依赖于函数 f1，g1，f2，g2.进一步作为物理解释，梁的右侧受到非线性弹性力，用f1，f2表示，并受到函数g1，g2表示的一个非线性阻尼.

1 空间和函数假设

假设梁方程组定义在一维空间，令Ω=(0，l)，本文分析基于如下Sobolev空间

2 整体解的存在唯一性

3 全局吸引子

定义3.1 对任何一个有界集B⊂H，存在tB=t(B)≥0满足 S(t)B⊂ B，∀t≥tB，则有界 集B⊂H是半群S(t)的一个吸收集，定义(H，S(t))是一个耗散的动力系统［8］.

定理 3.2 在定理2.2的假设（u0，u1，v0，v1）∈H0下，系统（1）-（3）相对应的半群S(t)在空间H0上存在有界吸收集.

证明: 任取一个有界集B∈H0，使初值(u0，u1，v0，v1)∈ B，满足

首先给出能量等式

引理3.4［10］若S(t)是定义在度量空间H上的耗散的连续半群，当且仅当它在H中渐近光滑，则S(t)在H中有紧的全局吸引子.

定理3.5 在定理2.2的假设(u0，u1，v0，v1)∈ H0下，系统（1）-（3）相对应的半群S(t)在H0中渐近光滑.

证明： 任取一个有界集B∈H0，给定初值，设是 系统的解，那么满足系统（16）及边界条件（18）.设能量等式

定理3.6 根据引理3.4，定理3.2，3.5得系统所确定的半群S(t)在空间H0中有全局吸引子.