一个周期性强迫的四维超混沌系统的复杂动力学性质*

陈熙统 鲍江宏

（华南理工大学数学学院，广州510640）

引言

近百年来，动力系统和混沌学得到飞速发展.“混沌学之父”Lorenz在预测天气时，由于将数据省略了万分之一后输入，导致了预测天气结果的截然不同，之后Lorenz提出了震惊世界的“蝴蝶效应”.Lorenz在气象局研究的Lorenz系统，成为新世纪混沌学的开端.之后产生的众多混沌系统包括Chen system［1］、Lorenz-like system［2-5］等极大地推动了混沌学的发展.混沌已经在越来越多的地方被人们发现.在传统的应用数学、物理化学工程、计算机学科中都时常有混沌学的身影，甚至在金融领域，也被人们用来做分析.有目的地研究混沌，超混沌系统是一个关键的、可值得探究的领域.

由于多项式类型微分方程的孤立平衡点是有限的，如果想要构造一个拥有无穷多孤立平衡点的动力系统，那它必然含有非线性项.Yang和Qiao［6］于2019年提出了一个拥有任意多个平衡点的3D动力系统，并具有丰富的动力学性质.

多稳定性（multistability）是指系统对于不同的初始条件和一组固定参数，具有不同吸引子（周期的、拟周期的、稳定的、混沌的或超混沌的）共存的性质［7］.此类系统对噪声、初始条件和系统参数都非常敏感.多稳定性是动力系统中最重要的现象之一.它发生在许多科学领域，包括物理、化学、生物学、经济学和自然.例如，在具有特定特性的商业设备的设计中，为了在噪声环境中稳定所需的状态，就必须避免产生多稳定性.另一方面，在不改变参数的情况下，多稳态允许系统性能的灵活性，并且可以与正确的控制策略一起使用，以诱导不同共存状态之间的切换.有时有无穷多吸引子共存于动力系统中，当这些无穷多的吸引子是不可数时，这种情况称为极端多稳定性（extreme multistability）；当这些无穷多的吸引子是可数时，这种情形称为大稳定性（megastability）［7］.大稳定性在文献中较为少见，通常只在一些非线性振荡器中偶尔出现.

Prakash等［8］研究了一个具有良好多稳定性和大稳定性质的动力系统.Bao和Chen［9］探究了具有直线平衡点的4D系统的多稳定性.Bao和Liu［10］研究了具有曲线平衡点5D动力系统的多稳定性和Hopf分叉等.Leutcho等［11］探究了一个二维具有无穷多吸引子的非线性振荡器的性质.Vo等［12］利用吸引子图像及其吸引域的熵，能量和均匀性分析了一个四维的大稳定性振荡器.

本文基于Hide-Skeldon-Acheson动力系统，构建了一个新的，具有无穷多孤立平衡点，并且具有多稳定性、大稳定性质的四维周期强迫性超混沌系统，并分析了其Hopf分叉.

1 一个新的周期性强迫的四维超混沌系统

1.1 新四维超混沌系统的提出

上世纪末，Hide等人介绍了一种三维的非线性耦合常微分方程，对自激法拉第圆盘同极发电机进行建模，称为Hide-Skeldon-Acheson动力系统［13］：

其中d，f，g，k均为实常数.基于系统（1），我们引入下面的系统：

其中a，b，c，d，e，f，g，k，q和h都是系统的实常数参数.取定系统参数（a，b，c，d，e，f，g，k，q，h）=（0.01，30，0，2，0.001，28.5，1，1.2，0，0）时，选择初始条件为（0.1，0.1，0.1，0.1），对应的李雅普诺夫指数为（0.3546，0.0108，0，-0.9302），李雅普诺夫维数是3.3937，系统（2）展现出超混沌特性.图1给出了对应的z-x-y空间相图和z-w平面庞加莱映射图，证实了系统（2）此时确实存在一个超混沌吸引子.

图1 系统（2）超混沌吸引子的相图与庞加莱映射图Fig.1 Phase diagram and Poincaré mapping of a hyperchaotic attractor of system（2）

1.2 平衡点与稳定性

若k=h=0，|a|>|b|或k=h=b=0，ac≠ 0，系统（2）没有平衡点；若k=h=a=b=0，gec≠ 0，系统（2）有曲线平衡点（0，（f+qz）∕g，z，dz∕e），其中z∈R；若a=f=g=0，qe≠0，系统（2）具有直线平衡点（0，0，y，0），其中y∈R；若a=b=0，ckh<0，ge≠ 0，系统（2）只有一个平衡点Q（0，f∕g，0，0），对应的特征方程为：

根据Routh-Hurwitz判据，方程（3）的根λ的实部全为负，当且仅当：

这些不等式化简为

当f=g时，上述不等式化简为：

在条件（4）下，Q是渐进稳定的.

1.3 多稳定性

取定系统参数（a，b，c，d，e，f，g，k，q，h）=（0.56，0，1，2，0.01，20，1，0，10，0）时，系统（2）没有平衡点.选择初始条件（-1.9004，-2.1667，1.8691，125.0434），（1.2111，2.2270，2.4232，292.4852），（-1.0330，3.6740，0.8440，470.7031），（0.6574，-7.7984，1.0309，662.9689）时，系统（2）均有周期解，图2是此时系统的相图.当初值为（-1.9004，-2.1667，1.8691，125.0434）时，对应的李雅普诺夫指数为（0，-0.0036，-0.1210，-0.2672）.

图2 系统（2）4个周期解的相图Fig.2 Phase diagram of 4 periodic solutions of system（2）

当选择初始条件为（200，100，100，-100）时，对应的李雅普诺夫指数为（0.0119，0，-0.1421，-0.4571），李雅普诺夫维数是2.0837，这意味着系统（2）存在一个隐藏混沌吸引子.图3展示了对应的w-x-y空间相图和x-y平面庞加莱映射图.

图3 系统（2）隐藏混沌吸引子的相图与庞加莱映射图Fig.3 Phase diagram and Poincaré mapping of a hidden chaotic attractor of system（2）

系 统 参 数（a，b，c，d，e，f，g，k，q，h）=（0.56，0，1，2，0.01，20，1，0，10，0）时，不同的初值可产生周期解或隐藏混沌吸引子，这表明系统（2）具有多稳定性.

2 大稳定性

取定系统参数（a，b，c，d，e，f，g，k，q，h）=（0.01，5，0.11，2，1，20，1，0，0，0）时，系统（2）有无穷多孤立平衡点.当选择初始条件（0，0，u，2u），其中-28≤u≤28，并且间隔为7时，系统均表现为周期解，对应的z-x平面相图，w-x-y空间相图如图（4）所示.特别的，当初值为（0，0，7，14）时，对应的李雅普诺夫指数为（0，-0.3182，-1.0545，-2.1036）.

图4 系统（2）大稳定参数下的相图（周期的）Fig.4 Phase diagram of system（2）under megastability parameters（periodic）

保持其它参数不变（a，b，c，d，e，g，k，q，h）=（0.01，5，0.11，2，1，1，0，0，0），变动f，令f∈［0.1，100］，做出对应的分叉图如图5.特别的，取f=44，即（a，b，c，d，e，f，g，k，q，h）=（0.01，5，0.11，2，1，44，1，0，0，0），系统（2）有无穷多孤立平衡点.当选择初始条件（0，0，u，2u），其中-28≤u≤28，并且间隔为7时，系统均表现为混沌吸引子，对应的z-x平面相图，x-z-w空间相图如图6所示.特别的，当初值为（0，0，7，14）时，对应的李雅普诺夫指数为（0.0196，0，-0.9040，-1.3294）.令u=700000，图7是对应的z-x-y空间相图与x-w平面庞加莱映射图.

图5 系统（2）参数f的分叉图Fig.5 Bifurcation graph for parameter f of system（2）

图6 系统（2）大稳定参数下的相图（混沌的）Fig.6 Phase diagram of system（2）under megastability parameters（chaotic）

图7 系统（2）在条件u=700000下的相图与庞加莱映射图Fig.7 Phase diagram and Poincaré mapping of system（2）under condition u=700000

3 Hopf分叉

本节利用文献［14］中描述的投影方法计算与Hopf分叉相关的第一个李雅普诺夫系数.为了计算与表示的方便，在系统（2）中，将a和b设为0，当ckh<0，ge≠0，系统（2）有且只有一个平衡点P0［0，f∕g，0，0］.平衡点P0对应的特征方程为方程（3）.记：

当（a，b，c，d，e，f，g，k，q，h）∈ S，有唯一的平衡点［0，f∕g，0，0］，系统（2）的特征方程拥有两个负的实数根-g，-（kg+1）∕g和一对共轭纯虚根iω.将λ=α（e）+iω（e）代入 f（λ）=0中，对 e求微分，可以得到：

考虑到iω是f（λ）=0的根，进而可以得到

因此∈条件满足，证明了（a，b，c，d，e，f，g，k，q，h）∈ S时，Hopf分叉在 P0［0，f∕g，0，0］处发生.Hopf点的稳定性取决于第一李雅普诺夫系数的值，如定理1所述.

（1）如果l1>0，系统（2）在P0有一个横向Hopf点，且这个Hopf点是不稳定的（弱排斥焦点）.此外，对于每一个e

（2）如果l1<0，系统（2）在P0有一个横向Hopf点，且这个Hopf点是稳定的（弱吸引焦点）.此外，对于每一个e>e0但是接近e0，在不稳定的平衡点P0附近会存在一个稳定的极限环.

证明: 对系统（2）进行变换：

系统（2）变换为如下系统（仍用y表示y1），并且（a，b，c，d，e，f，g，k，q，h）∈ S时，唯一的平衡点P0移动至O［0，0，0，0］.

从式（5）的计算可知，横截性条件满足.现在来计算第一李雅普诺夫系数，它是用来表明平衡点的稳定性和周期轨道是否存在的量.由文献［14］可知，对于参数（a，b，c，d，e，f，g，k，q，h）∈ S，我们有特征根λ1=-g，λ2=-（gk+1）∕g，λ3，4=iω.计算可得：

下面对Hopf分叉的存在和第一李雅普诺夫系数的结果进行数值模拟，取参数（a，b，c，d，f，g，k，q，h）=（0，0，-0.56，0.1，0.5，1.5，0.2，0，1），取e=0.2164.计算可得第一李雅普诺夫系数l1=-0.0577，选 择 初 始 值（0.0240，0.3332，0.0094，0.1646），可以得到一个稳定的极限环.对应的x-zw平面相图和x-z-y平面相图如图8所示.

图8 系统（2）Hopf分叉的数值模拟Fig.8 Numerical simulation of Hopf bifurcation of system（2）

4 结论

基于三维的Hide-Skeldon-Acheson动力系统，构建了一个新的、具有无穷多孤立平衡点的、四维周期强迫性超混沌系统，主要做了以下研究：（1）分析新系统的平衡点与稳定性；（2）在一组系统参数下，变化初始条件，得到了四条周期轨和一个隐藏混沌吸引子，表明新系统具有多稳定性性质；（3）在一组系统参数下，数值模拟表明了系统中可共存可数无穷多周期解或混沌吸引子，表明新系统具有大稳定性质；（4）利用横截性条件，证明了Hopf分叉的存在，并计算出第一李雅普诺夫系数.接着进行数值模拟，在第一李雅普诺夫系数小于0的情况下，找到了对应的稳定的极限环.