带边Seifert流形的H′-分解的结构

雷逢春， 徐 妍

(大连理工大学 数学科学学院，辽宁 大连 116024)

每个紧致连通可定向三维流形M都有Heegaard分解， 即存在M中一个可定向闭曲面F，F把M切成两个压缩体C1和C2，C1∩C2=∂+C1=∂+C2=F，C1∪FC2=M.最近， 可以证明， 任意紧致连通可定向三维流形M都有H′-分解，即存在M中一个紧致连通可定向曲面F，F把M切成两个柄体H1和H2，H1∩H2=F，H1∪FH2=M.显见，当M是闭三维流形时，Heegaard分解与H′-分解是一致的；当M是带边三维流形时，Heegaard分解与H′-分解是不同的分解，文[1]给出了柄体的H′-分解的特征描述.

Seifert流形是一类重要的三维流形， 其拓扑分类已完全清楚， 对其Heegaard分解的结构也有着很透彻的了解.如在文[2]中，J. Schultens给出了带边Seifert 流形的特征描述, 在文[3]中, J. Schultens给出了紧致可定向曲面×S1的Heegaard分解的分类，在文[4]中，Y.Moriah和J.Schultens证明了Seifert流形的不可约的Heegaard分解或是竖直的，或是水平的.

本文研究了带边Seifert流形的H′-分解的结构，主要结果给出这类流形的H′-分解的特征描述.本文第2节介绍了必要的预备知识和若干引理，第3节给出主要定理和证明.

1 预备知识

本文中涉及的三维流形和曲面都默认是紧致可定向的，未详细定义的概念都是标准的，可参见文[5]或文[6].

设D为平面上的单位圆盘，D上的点用极坐标(θ,r)表示.设p和q为一对互素的整数，p>0.显然，商空间D×I/(θ,r,0)～(θ+2πq/p,r,1)为一个实心环(≌D×S1),记作T(p,q).记商映射为ρ:D×I→T(p,q).对于圆心O∈D,e=ρ({O}×I)是T(p,q)中的一条简单闭曲线；对于x=(θ,r)∈D{O},ρ((θ,r,0)×I)∪ρ((θ+2πq/p,r,0)×I)∪…∪ρ((θ+2πq(p-1)/p,r,0)×I)是T(p,q)中的由p条简单弧依次首尾相连构成一条简单闭曲线.这些简单闭曲线均称为是T(p,q)的纤维.称T(p,q)为一个标准的(p,q)-型纤维化实心环.若p>1,称e为T(p,q)的奇异纤维，称T(p,q)的非e纤维为正则纤维.当p=1时，T(1,q)的每个纤维均为正则纤维.

容易看到，T(p,q)是它的所有纤维的无交并.

设T1、T2是两个标准的纤维化实心环(型可能不同)，h:T1→T2为一个同胚.若h把T1的每个纤维送到T2的纤维，则称h为保纤同胚.此时，也称T1和T2是同构的.

定义1设M是一个3-流形.若M可以分解成一族互不相交的简单闭曲线(称每个这样的简单闭曲线为一个纤维)的无交并，使得每个纤维在M中有一个管状邻域保纤同胚于一个标准的纤维化实心环，则称M为一个Seifert流形.

将Seifert流形M的每个纤维粘成一点所得的商空间是一个曲面B，称之为M的底空间，对应的商映射记为π:M→B.M的每个奇异纤维在底空间B上的像点称为奇点.显然，每个奇点都是B的孤立点，即它在B上有一个邻域，其中，只有其本身是奇点.若M是紧致的，则M只有有限多个奇异纤维，这时B只有有限多个奇点，且落在B的内部.

令S为M所有奇异纤维之并，s=π(S)为所有奇点之集，则π|MS:MS→Bs是曲面Bs上的一个S1-丛.由此可知，紧致可定向的Seifert流形M的每个边界分支均为环面.详可参见文[7].

定义2设M为一个紧致Seifert流形，F为M中一个真嵌入曲面.若F为M中若干正则纤维之并，则称F是一个竖直曲面；若F与M的所有纤维均横截相交，则称F是一个水平曲面.

定义3设M1,M2为两个紧致连通可定向三维流形，Fi⊂∂Mi是一个紧致连通曲面，i=1,2，h:F1→F2为一个同胚.令

M=M1∪M2/x～h(x),∀x∈F1,

称M为M1和M2沿F1和F2的一个融合,记作M1∪hM2,或M1∪FM2,其中，F=F1=F2.当M1和M2都是压缩体,且∂+M1=F=∂+M2,称M1∪FM2为M的一个Heegaard分解;当M1和M2都是柄体,称M1∪FM2为M的一个H′-分解.

定义4设N为m-流形M中一个嵌入的n-流形，n

从纤维丛理论可知，若紧致连通可定向3-流形M是闭曲面F上的I-丛，ρ为其伴随映射，则∂M是F上的∂I-丛，ρ|∂M:∂M→F是一个2重覆盖映射.M由ρ|∂M完全决定.若|∂M|=2,则M≌F×I；若|∂M|=1,则称M为一个扭的I-丛，此时，F是不可定向的曲面.

例

(1)设F为一个曲面，F×I、F×S1都是纤维丛,也称这样的纤维丛为积丛或平凡丛.

(2)设M为一个莫比乌斯带，C为M上的中位线，则M是C上的I-丛.M为非平凡丛，通常称这样的丛为扭的I-丛.一般地，从Pn中除去一个开的n-球体所得的流形是Pn-1上扭的I-丛.

三维流形中的不可压缩曲面的定义、边界不可压缩的曲面的定义可参见文[5]或文[6].若三维流形M中的一个真嵌入曲面F是不可压缩的、边界不可压缩的，且F不平行于∂M的子曲面，则称F是M中的一个本质曲面.特别地，若F是一个2-球面，且F不界定M中一个实心球，则称F为一个本质球面.若M包含一个本质球面，则称M是可约的，否则，称M是不可约的.

引理1设M=M1∪FM2是两不可约三维流形M1和M2沿F的融合.若F在M1和M2中均是不可压缩的，则M是不可约的.

引理1的证明可参考文[8].下面引理出自文[7]，将在第3节中用到.

引理2设M为一个紧致连通不可约可定向的Seifert流形.则M中的每个本质曲面可以同痕于一个水平曲面或一个竖直曲面.

2 主要定理及证明

下面给出紧致连通可定向带边Seifert流形的H′-分解的特征描述.

定理1设M为一个紧致连通可定向带边流形，H1∪FH2是M的一个H′-分解.假设F在H1和H2中均是不可压缩的.则M是一个Seifert流形当且仅当M为下列两种情形之一：

(1)H1和H2均为实心环体，且曲面F是∂Hi上的竖直平环，i=1,2;或

(2)对于i=1,2，Hi是Si上的扭I-丛，ρi为其伴随映射，ρi|F:F→Si是一个2重覆盖映射,且粘合映射h:F→F是周期自同胚.

证首先证明必要性.由假设和引理1可知，F在M中是不可压缩的，M是不可约的.M是一个紧致带边可定向Seifert流形，故∂M的每个分支都是环面.由引理2，F同痕于M中一个水平曲面或竖直曲面.下面就这两种情形分别讨论.

情形1：F同痕于一个竖直曲面.

不妨设F就是一个竖直曲面.F为M的若干正则纤维的无交并，故F是一个S1-丛，从而F或是一个平环，或是一个环面，或是一个Klein瓶.因F是带边曲面，F只能是一个平环.又∂M的每个分支都是环面，故∂F所在的∂Hi的分支均为环面，i=1,2.因Hi是个柄体，从而Hi是一个实心环体，且F是∂Hi上的竖直平环，i=1,2.

情形2：F同痕于一个水平曲面.

不妨设F就是一个水平曲面.设π:M→B为M到底空间B的商映射.此时F到底空间B的投射πF:F→B是一个n-重的分歧覆盖，使得对M的每个(p,q)-型纤维化实心环中的奇异纤维C，π(C)是个重数为p的分歧点，p整除n.

因πF:F→B是满射，F与M所有纤维都相交.M的纤维均与F横截相交，从每个纤维的标准化邻域与F相交的每个分支的局部情况可知沿F切开M所得流形MF是一个I-丛.

F分离M为柄体H1和H2.对于i=1,2,每个Hi是其中的嵌入曲面Si上非平凡的I-丛,否则，Hi=Si×I,F=Si×{0},Si×{1}⊂∂M,矛盾.这样，每个Hi是Si上的扭I-丛,ρi为其伴随映射，ρi|F:F→Si是一个2重覆盖映射,i=1,2.由πF:F→B是一个n-重的分歧覆盖可知，粘合映射h:F→F是周期为n的自同胚.

充分性显然.定理得证.