含参数的一元二次不等式的分类求解策略

2021-09-22梁东

理科爱好者(教育教学版) 2021年3期

【摘要】解含参数的一元二次不等式的主要难点在于分类讨论，除了常用的三种分类方法：对二次项系数a的讨论、对判别式?的讨论、按方程ax2+bx+c=0的根x1，x2的大小来分类，本文还介绍了一种“通法”。

【关键词】一元二次不等式;含参数;解法;分类讨论

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）16-0088-02

一元二次不等式作为基础不等式，在高中数学中有非常广泛的应用。它的解法不但将二次函数、二次方程和二次不等式密切联系起来，体现了数与形的完美结合，而且是导数中求单调区间、极值、最值的常用工具[1]。对含参数的一元二次不等式的求解，始终是学生学习的一大难点，学生往往不清楚该如何对参数进行分类讨论。对含参数的一元二次不等式常用的分类求解方法有三种[2]，下面通过四个例子指出其中的奥妙。

1 对二次项系数a的讨论

若二次项系数a含有参数，则需要对a的符号分类，即分a>0，a=0，a<0。

例1：解关于x的不等式：ax2?（2a+1）x+2<0（a∈R）。

解析：二次项系数含有参数，因此须对a的符号进行讨论。

解：原不等式可化为（ax?1）（x?2）<0。

①当a>0时，原不等式等价于（x?2）（x?）<0。

∵ （x?2）（x?）=0的两个根分别是2，，

∴ 当a∈（0，）时，2<，则ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|2

当a=时，ax2?（2a+1）x+2<0的解集是 ?;

当a∈（，+∞）时，<2，则ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|

②当a=0时，原不等式为?x+2<0，解得x>2，即ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|x>2}。

③当a<0时，ax2?（2a+1）x+2<0等价于（x?2）（x?

）>0，由于<2，故ax2?（2a+1）x+2<0的解集是{x|x<或x>2}。

综上所述，当a<0时，ax2?（2a+1）x+2<0的解集为{x|x<或x>2};

当a=0时，ax2?（2a+1）x+2<0的解集为{x|x>2};

当0

};

当a=时，ax2?（2a+1）x+2<0的解集为?;

当a>时，ax2?（2a+1）x+2<0的解集为{x|

2 对所对应方程根的个数进行分类

若判别式?=b2?4ac中含有参数，无法确定所对应方程根的个数，则需要对判别式?的符号分类，即分?>0，

?=0，?<0。

例2：解关于x的不等式x2+ax+5≤0。

解析：由于判别式?=a2?20中含有参数，因此须对?的符号进行讨论。

解：∵ ?=a2?20，

∴ 当a∈（?，）即?<0时，不等式的解集为 ?;

当a=±即?=0时，不等式的解集为{x|x=?};

当a>或a0，对应方程的两根分别为x1= ，x2= ，顯然x1> x2，

∴ 不等式的解集为

。

3 按方程ax2+bx+c=0的根x1，x2的大小来分类

若不等式对应的方程的根为x1，x2，且其中含有参数，则须对x1，x2的大小分类，即分x1> x2，x1=x2，x1< x2。

例3：解关于x的不等式12x2?ax>a2（a∈R）。

解析：不等式可分解为（4x+a）（3x?a）>0，故只需比较两根与的大小。

解：原不等式可化为12x2?ax?a2>0，即（4x+a）（3x?a）>0。

令（4x+a）（3x?a）=0，解得x1=，x2=。

①当a>0时，<，不等式的解集为{x|x<或x>};

②当a=0时，x2>0，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0};

③当a<0时，>，不等式的解集为{x|x<或x>}。

综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x|x<或x>};当a=0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0};当a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>}。

上面三个例子，分别代表了含参数的一元二次不等式求解的三种常见的类型，但如果参数涉及多种类型的讨论，那么分起类来就会难以把握。如何掌握好分类讨论的层次呢？一般按下面的次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类;其次根据根的个数，即?的符号进行分类;最后在根存在的前提下，再根据根的大小进行分类。通过对上述三个例子的解题过程进行分析，可以发现一个简易的分类方法：根据一元二次不等式中二次项系数等于0和判别式等于0时所得到的值作为数轴的分点，然后对参数进行分区间讨论。

例4：解关于x的不等式：（a2?1）x2?3ax+3<0

解：（a2?1）x2?3ax+3<0 （*）

a2?1=0a=1或a=?1;

?=（?3a）2?4×（a2?1）×3=0a=2或a=?2;

∴当a0且?<0，（*）解集为?;

当a=?2时，a2?1>0且?=0，（*）解集为?;

当?20且?>0，（*）解集为（，）;

当a=?1时，（*）3x+3<0x

当?10，（*）解集为（?∞，）∪（，+∞）;

当a=1时，（*）?3x+3<0x>1，（*）解集为（1，+∞）;

当10且?>0，（*）解集为（，）;

当a=2时，a2?1>0且?=0，（*）解集为?;