改进邓肯-张模型及其在软岩填料中的应用

刘江波，刘凯，田军，刘晓明

(1.海口市市政工程设计研究院，海南 海口 570100；2.中交第二航务工程勘察设计院有限公司；3.湖南省张桑高速公路建设开发有限公司；4.湖南大学 土木工程学院)

自土力学建立以来，国内外研究者对土建立了众多各具特色的本构模型，基于偏应力-应变关系为双曲线形式假定推导得到的邓肯-张非线性弹性模型是其中的一个。虽然将土视为弹性材料不尽合理，但是由于邓肯-张双曲线模型具有物理意义明确，参数确定容易等优势，其应用的广泛程度反而超过许多理论严密的模型，是各种岩土工程商业数值分析软件必备的模型，对其进行持续研究和改进仍具有重要实用价值。罗刚、张嘎等针对邓肯-张对土体剪胀性描述不足方面进行改进；孔德志等则讨论了多种考虑中主应力影响的改进邓肯-张模型的合理性；沈启鹏等基于钙质结合土的应力应变特性，对邓肯-张进行修正；杨爱武、王立忠、王晓妮在改进模型中考虑了土体结构性的影响。

压实填土是道路、大坝等构筑物的主体，其变形对构筑物的正常工作具有重要意义，在压实填土的变形分析中，邓肯-张模型也得到了广泛应用。但是，三轴试验表明：与邓肯-张模型推导时所依据的正常固结土试验数据不同，压实填土或是因受到强力机械压实作用的原因，其(σ1-σ3)-ε1关系曲线形态与双曲线的符合程度随围压不同显现出不同差异：在高围压下接近双曲线，随围压降低逐渐偏离至差异显著。将邓肯-张模型直接应用在压实填土构筑物的数值分析中时，可导致填筑体体积应力小的部分(填筑体上部)变形计算结果不准确，而这部分正是填筑体直接承受外荷载作用的部分。

软岩填料属于典型压实填料，它是由大块软岩经人工重复破碎和压实而形成，其颗粒大小随重复破碎次数不同而不同。为了研究软岩填料变形和强度特性随颗粒粒径不同的变化规律，该文对最大粒径分别为2、10、20 mm软岩压实填料试样进行三轴试验，在试验中发现，粒径越大，试样击实到相同密度所用能量越大，而击实能量越大的试样(σ1-σ3)-ε1关系与双曲线差异也越大；另一方面，相同粒径条件下围压越小时(σ1-σ3)-ε1曲线形态与双曲线差异也越大。试验说明填料压实过程和围压对试验结果有重要影响，邓肯-张模型中并没有能反映该影响的参数。经过研究，该文在邓肯-张模型的基础上，加入一个能反映填料压实程度和围压大小的参数，改善(σ1-σ3)-ε1曲线形态与试验结果的符合程度，改进的模型不仅完全保留了邓肯-张模型意义明确、参数易于确定的优势，而且其更适用于压实填料，有望用于各类压实填土构筑物的变形数值分析中。

1 改进邓肯-张模型

1.1 邓肯-张E-B模型

邓肯-张E-B模型是在常规三轴试验结果上建立的，首先假定(σ1-σ3)-ε1满足双曲线关系，可用式(1)表示，并在此基础上推得切线模量Et的表达式如式(2)，接着假定切线体积模量Bt与应力水平无关，仅随围压σ3而变，其关系满足式(3)。

(1)

(2)

(3)

式中：Et为切线模量；Bt为切线体积模量；pa为大气压；而内摩擦角φ、黏聚力c、破坏比Rf、K、n、Kb、m为邓肯-张(E-B)模型中的7个参数，可以由常规三轴试验得出。

1.2 模型曲线方程的改进

填土在压实过程中会受到强外力作用，可导致其(σ1-σ3)-ε1关系与双曲线出现差异，对多组典型压实填土的三轴试验结果进行分析，发现了如下规律：

(1)(σ1-σ3)-ε1曲线形态与围压相关，围压较高时与双曲线较接近，围压降低渐渐偏离双曲线至差异显著。

(2)在围压较低时的(σ1-σ3)-ε1曲线会出现明显的转折点，该点之前偏应力随轴向应变上升较快，之后接近水平。

为准确描述该变形规律，同时保留原始E-B模型的优点，在式(1)右边增加一项lε12[如式(4)所示，作者原创]，曲线形态就可以得到调整(图1)，其中：当l=0时，为双曲线；当l→∞时，曲线逼近双折线。

(4)

图1 l值对(σ1-σ3)-ε1曲线形态的影响

1.3 改进的邓肯-张模型

由于改变了(σ1-σ3)-ε1曲线方程，需在式(4)基础上重新推导切线模量Et的表达式。在常规三轴压缩试验中，由于dσ2=dσ3=0，所以根据式(4)可导得切线模量为:

(5)

(6)

(7)

由式(4)变换，可以得到ε1的表达式：

(8)

将式(8)代入式(5)得到：

(9)

将式(6)和(7)式代入式(9)得到：

(10)

根据莫尔-库仑强度准则，有：

(11)

初始模量Ei与围压满足关系：

(12)

将式(11)、(12)代入式(10)，得到：

(13)

其中：

式(13)为改进邓肯-张模型切线模量的计算表达式，其中参数l是与填土压实过程及试验围压有关的参数，其确定方法和意义在下文分析。

2 软岩填料三轴试验曲线特征

2.1 试样制备

为了研究软岩填料变形和强度特性随颗粒粒径不同的变化规律，对最大粒径分别为2、10、20 mm填料试样进行了三轴试验。软岩填料基本性质为：岩块天然抗压强度为24.0 MPa；破碎后形成的填料，实测天然含水量为9%、现场压实后干密度为1.79 g/cm3。按现场级配进行缩尺，得到不同最大粒径的软岩缩尺填料，缩尺填料最大粒径dmax分别为2、10、20 mm，实测级配曲线如图2所示。

图2 现场填料及缩尺填料的颗粒级配曲线

然后按现场密实度(干密度1.79 g/cm3)将不同最大粒径填料人工击实成直径101 mm、高200 mm的标准中三轴试样。记录击实过程中不同试样所用能量如表1所示。表1说明试样粒径越大击实到同一干密度所需能量越大。

表1 压实填料制样过程中的击实功

2.2 三轴试验结果

将制备好的中三轴试样饱水后，在4种围压(100、200、300、400 kPa)下进行固结排水剪切(CD)试验，试验剪切速率取0.024 mm/min，加载到轴向变形为15%时停止试验。得到不同最大粒径试样的应力应变关系如图3所示。

图3 三轴试验的应力应变关系曲线

由图3可知：不同最大粒径软岩填料试样应力应变曲线总的形态特征基本相似：ε1-εv曲线均显示低围压下试样先剪缩后剪胀，高围压下一直剪缩；(σ1-σ3)-ε1曲线在高围压下接近双曲线，而随着围压减小(σ1-σ3)曲线形态与双曲线差异越来越大。

取偏应力峰值点或15%轴向应变对应的偏应力为峰值强度，绘制摩尔应力圆并拟合强度包线，得到不同最大粒径的试样摩尔库仑强度指标见表2。表2表明：试样的黏聚力c和内摩擦角φ随着试样最大粒径的增大而增大。

表2 不同最大粒径试样的强度参数

3 参数l的物理意义和确定方法

根据式(4)对试验结果进行非线性拟合反演得到参数l如表3所示。

表3 参数l的反演计算结果

从表3可知：l值随着围压的增大而减小，随着粒径的增大而增大。试样在低围压下表现出剪胀特征，说明压实填土在低围压下表现出一定的结构性土的特征，从围压角度看，l值在一定程度上反映了试样的超固结性质；另一方面，结合表1击实过程中试样所需击实能量可知，击实土样因为受到强力机械作用，随着粒径越大试样在形成过程中吸收的能量越大，试样可以获得更紧密的结构，在低围压试验时，可呈现弱超固结的性质。可见l是一个反映压实填料压实过程的参数，该文称之为压实条件参数，该参数为无量纲参数。

据此，可假定l符合式(14)形式：

(14)

式中：p0为先期固结压力；σ3为围压大小；χ、ω为材料常数，与压实后的材料性质相关。

要依据式(14)确定压实条件参数l，首先要知道试样的先期固结压力。为此，该文开展了不同最大粒径试样的等压固结试验。为使文章简洁，不再赘述试验过程和数据处理过程，仅将最终得到的先期固结压力p0以及压缩指数Cc的结果列于表4。

表4 各向等压固结试验结果

根据表3、4结果，分别拟合式(14)中的材料参数，结果如表5所示。

基于表5所得参数，将式(14)计算结果与试验结果绘制于图4中。结果表明：用式(14)确定参数l是合理的。

表5 各参数的反演结果

图4 公式(14)对l的拟合效果

4 改进邓肯-张模型效果

将式(14)代入式(13)中，得到完整的改进邓肯-张模型切线模量计算公式如式(15)所示：

(15)

其中：

改进邓肯-张模型参数共9个，分别为K、n、φ、c、Rf、Kb、m、χ、ω，比原邓肯-张模型参数多2个。其中7个参数的意义与邓肯-张模型相同。

为说明改进模型的效果，该文分别采用邓肯-张E-B模型和改进邓肯-张模型对前述软岩填料缩尺试验数据进行整理，得到模型参数如表6、7所示。由于不同最大粒径试样分析结果相似，限于篇幅，该文仅将dmax=20 mm的结果列出。

表6 E-B模型参数(dmax=20 mm)

表7 改进邓肯-张模型参数(dmax=20 mm)

然后，将两个模型的预测结果与试验数据绘制在图中比较两个模型的效果，如图5所示。

图5表明：相比于邓肯-张模型，新模型显著地提高了各围压(尤其是低围压)下填料的应力应变曲线预测效果，是对邓肯-张模型的改进。改进后模型是对邓肯-张模型的微调，保留了邓肯-张模型意义明确、参数易于确定优势的同时，更适用于压实填料。

图5 E-B模型和改进模型预测效果(dmax=20 mm)

5 结语

针对邓肯-张模型不能反映压实土的(σ1-σ3)-ε1关系曲线在低围压下不符合双曲线的情况，在邓肯-张模型中加入一个压实条件参数l，得到新的(σ1-σ3)-ε1关系方程，基于此重新推导切线模量Et的计算公式，结合不同最大粒径软岩填料制样过程和三轴试验结果，提出了新参数确定方法，得到了改进的邓肯-张模型，最后将改进模型应用到压实软岩填料的三轴试验数据分析中，证明改进模型合理可行。该文提出的改进模型仅对邓肯-张模型进行了微调，保留了邓肯-张模型意义明确、参数易于确定、在数值软件中易于修改的优势，更适用于压实填料。