自聚焦透镜的像差模拟

翟龙华，时国平，张玉峰

(池州学院 机电工程学院，安徽 池州 247000)

自聚焦透镜的尺寸极小，改变自聚焦透镜长度，能够使自聚焦透镜的焦距[1]和其他光学特性发生变化。只需调整折射率分布的梯度深度和透镜的长度就可实现超短焦距，采用普通光学透镜则无法实现。实际应用中，不可能存在所谓的绝对光学仪器，即任何像差都没有的光学系统，自聚焦透镜在成像时也不可避免存在像差。由于光线在自聚焦透镜内是弯曲的，所以它的像差计算公式较普通透镜要复杂的多，然而它的像差公式也是有一定规律的，本文结合自聚焦透镜像差的一些规律计算自聚焦透镜的像差并进行了模拟仿真。

1 三级光线追迹法推导初级像差公式

三级光线追迹[2]时，折射率分布表达式只保留到四次方项即可。

(1)

其中，h4为四阶折射率变化常数，为求解方便，作变量变换，令t=gL，然后推导能够普遍表达媒质中光的传播径迹的方程式，即光线微分方程，其表达式为：

X″+X=2h4XR2Y″+Y=2h4YR2

(2)

其中，R=gr，X=gx，Y=gy，Z=gz。上式中的求导都是表示对t的求导。将上述微分方程组简化为一个，即：

Y″+Y=2h4Y3

(3)

为求解这个方程，首先对该方程的齐次方程进行求解：

Y″+Y=0

(4)

根据式(4)得出的解即为一级近似解，然后把它代入三级近似方程中，解之即可得到三级近似解。对式(4)进行拉普拉斯变换，求解后即可得到原方程的解，即一级近似解Y(1)、V(1)：

(5)

式中，V=Y′=dY/dt≈q/n0，即任意点的方向余弦，Y0、V0为光线初值。把一级解代入方程(3)中，得到：

Y″+Y=2h4(Y0c+V0s)

(6)

其中，c=cost，s=sint。由于上式右端只是t的函数，可表示为f(t)，则存在：

Y″+Y=f(t)

(7)

用拉普拉斯变换法求解，得到三级近似解：

Y(3)=Y(1)+f(t)×sint

(8)

其中：

(9)

上式中的积分只含有三角函数，很容易得到解析解。若将上述卷积式中的各个积分积出并且用下列符号表示，即：

(10)

其中，c=cosgL，s=singL。则可以将三级解写成：

(11)

其中：

(12)

式中：

(13)

如图1所示，自聚焦透镜光学轨迹方程由表达式(14)描述。

图1 光线在子午面的轨迹

(14)

当物体相对透镜的物方参数确定后，可利用上述光线追迹方程计算由该透镜所成像的像方参数[6-7]，则像高为Y′：

Y′=Y+gl2tanγ′sinγ′=q′=q=n0Vtanγ′=q(1-q2)-1/2≅q+q3/2+3q5/8

(15)

对于近轴光线，其放大率为：

(16)

2 自聚焦透镜像差定义

上述研究内容中，利用三级光线追迹法推导了自聚焦透镜的初级像差公式，在此基础上，结合自聚焦透镜成像的规律，推导并模拟计算自聚焦透镜成像时的球差、慧差、畸变以及场曲，然后根据光学系统的像差理论计算各类像差的容限，从而更准确地计算自聚焦透镜像差的公差，使得自聚焦透镜的像差模拟结果更可靠。

2.1 球差

设物平面轴上点发出的与轴夹角为u的光线，经透镜后与其相应像平面相交，该交点一般不在轴上像点处。如图2所示，定义与理想像平面的交点到轴的距离为垂轴球差S，轴向交点到理想像平面的距离为轴向球差S′。若该光线与轴的夹角为u′，则这两种球差有如下关系：

S=S′tanu′

(17)

球差：令物高y=0，同时将Y0用V0表示，即可得到球差与V0之间的关系

(18)

由此可得垂轴球差：

(19)

轴向球差为：

S′=S/tanu′=Sm/n0v0

(20)

球差结构面如图2所示。

图2 球差

用Mathematic数学软件对系统中应用的自聚焦透镜的像差进行仿真分析。仿真条件如下：中心折射率为1.5924，折射率分布系数为0.577/mm，半径为0.5 mm，长度为2.72 mm，四级折射率分布为3.7/mm，物距为3000 mm，物高为1000 mm。

根据以上参数我们模拟出球差曲线。轴向球差曲线图如图3所示，垂轴球差图如图4所示。

图3 轴向球差曲线图

图4 垂轴球差曲线图

其中，纵坐标为轴上点对入射自聚焦透镜高度与自聚焦透镜半径的比值，横坐标为对应球差。图中正负只表示方向，不表示大小。从图中可以看出轴向球差、垂轴球差随着高度增加而单调增加。当入射自聚焦透镜高度与自聚焦透镜半径的比值为1时，轴向球差与垂轴球差分别达到最大值-0.323 mm、0.149 mm。

2.2 慧差

慧差是一种轴外物点所对应的像差，与入射光瞳的大小和位置有关。如图5所示，在子午面上考虑三条代表性的光线：分别通过入瞳的中心、上、下两端。主光线，或p光线，通过入瞳的中心；第二主光线，即a光线和b光线，分别通过入瞳的上、下两端。经过透镜后获得它们与理想像平面的交点的高度，则定义子午慧差为：

图5 子午慧差

C=(Ya+Yb)/2-Yp

(21)

慧差与入瞳位置和半径有密切关系，入瞳半径为：

(22)

其中，r为自聚焦透镜的半径。于是求慧差时初始值可以写为：

(23)

其中，E=gρ/(L+Ze)，H=gy/(L+Ze)。用同样的参数条件可模拟子午慧差曲线，如图6所示。

图6 慧差曲线图

图6中，纵坐标为轴外点的孔径角与最大孔径角的比值，横坐标为对应子午慧差。从图中可以看出子午慧差随着孔径角增加而单调增加。当孔径角达到最大值时，子午慧差达到最大值0.213 mm。

将上述主光线与理想像平面的交点Yp与对应的像高h′比较，于是得到相对畸变为：

D=(Yp-h′)/h′

(24)

D>0时，称为枕形畸变；D<0时，称为桶形畸变。当主光线初值为0时，存在：

(25)

用同样的参数条件可模拟畸变曲线，如图7所示。

图7 畸变曲线图

图7中，纵坐标为轴外点的孔径角与最大孔径角的比值，横坐标为对应畸变。从图中可以看出畸变随着孔径角增加而单调增加。当孔径角达到最大值时，畸变值达到最大值14.8%。

2.3 场曲与象散

场曲与象散是成像产生的像差。发自轴外点的一束光线，一般不会聚于相应的理想像点。对称于入瞳中心的子午光线会聚于子午像点；对称于子午面的弧矢光线会聚于弧矢像点。这两点一般并不在理想像面上，而是在一个像面上，该像面上第一点的子午和弧矢曲率均不相等。子午像点和理想像面的距离为子午场曲，弧矢像点与理想像面的距离为弧矢场曲，这两个场曲的差即为象散。

如图8所示，设物体在无穷远处，某一倾角为u的光线p以及在子午面内平行于p并上移一微小偏量σm的另一光线。于是，可用如下公式表示子午场曲：

图8 子午场曲

(26)

再利用下式表示子午场曲变化情况，过程如下：

(27)

然后求极限得子午场曲：

(28)

(30)

用同样的参数条件可以模拟出子午场曲、弧矢场曲曲线分别如图10、11所示：其中，纵坐标为轴外点的孔径角与最大孔径角的比值，横坐标为对应子午场曲、弧矢场曲。从图中可以看出子午场曲、弧矢场曲及像散随着孔径角增加而单调增加。当孔径角达到最大值时，子午场曲、弧矢场曲分别达到最大值0.316 mm、0.074 mm。

图10 子午场曲图

图11 弧矢场曲曲线图

3 自聚焦透镜像差的公差计算

根据光学系统的像差理论[8]，可得出各类像差的容限如下：

(3)畸变ΔD≤5%。

自聚焦透镜像差与公差结果如表1所示。

表1 自聚焦透镜像差与公差

从表1可以看出，自聚焦透镜的各类像差均大于其像差公差。其中，以彗差和畸变最为明显，它会破坏轴外视场的成像清晰度。所以自聚焦透镜在大视场角成像时，务必要校正它的慧差与畸变。校正像差的常用方法主要有光焦度法、合理设置孔径光阑的位置以及采用对称式的结构。光焦度法使光学系统的正、负透镜的光焦度满足某个特定的方程，这可校正系统中的球差与色差。合理设置孔径光阑的位置，使孔径光阑与系统中心重合，可校正系统的畸变。对称式的结构，可校正系统的慧差，亦可校正轴外点的垂轴球差。

4 结论

本研究根据光线的三级追迹法推导了自聚焦透镜的光线轨迹方程。在定义自聚焦透镜的各种像差的基础上，根据光线轨迹方程给出计算自聚焦透镜的像差公式，对自聚焦透镜的单色像差进行了数值模拟并计算了自聚焦透镜的像差结果。给出了光学系统中可存在的像差公差，并与模拟结果进行比较。结果表明自聚焦透镜的各类像差均大于其像差公差。