增强文化自信 体现数学文化

王学先 黄邦杰

摘  要：数学文化是对数学知识、技能、能力和素养等概念的高度概括. 中考数学文化试题体现了新时代数学学科核心素养的要求，彰显了数学文化内涵的整体育人功能，充分体现了数学的教育价值. 文章从中外优秀传统数学文化、中外数学家优秀成果、古代生产生活、数学名题、当代科技文化和数学图形六个方面，分析2020年中考数学文化试题的命题特色，挖掘数学文化试题的命题思想及教育价值，为如何命制新颖的中考数学文化试题提供有益借鉴.

关键词：数学文化试题;考查目标;命题特色;育人价值

数学教育承载着落实立德树人根本任务，发展素质教育的功能. 文化是一个国家、一个民族的灵魂. 文化兴国运兴，文化强民族强. 数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成和发展，影响着学生健全品格和健康心理的养成. 在近年来的中考中，以数学文化为背景的试题日益增多，积极引导师生感悟数学学科的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值. 以数学文化为背景命题是渗透数学文化的重要途径，笔者就2020年中考数学文化试题的命题背景及特色进行分析，仅供大家参考.

一、以中外优秀传统数学文化为背景

例1 （江西卷）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图1），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10. 在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位. 根据符号记数的方法，如图2所示的符号表示一个两位数，则这个两位数是           .

分析：此題以古巴比伦记数系统中的符号为载体，考查学生对符号与数对应关系的观察及理解能力.用数形结合的方法探寻规律即可求解.

解：由题意，可得两个尖头形表示[2×10，] 5个钉头形表示[5×1.] 所以如图2所示的符号表示的两位数为25. 故此题答案为25.

【评析】此题考查了学生的数符转换能力和直观能力.试题取材于古巴比伦人用楔形文字表示的记数系统，让学生感受不一样的数学文化. 古巴比伦人的记数法采用十进位法和六十进位法，并用六十进位法计算时间，这种进位法沿用至今.

例2 （湖南·湘潭卷）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献. 在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表所示.

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推，遇零则置空. 示例如下： [6 728][6 708]，则 表示的数是     .

分析：此题以我国古代算筹记数法中纵式与横式的综合使用表示多位数的方法为载体，考查学生的阅读理解能力及数字和符号的转换能力. 在用算筹表示多位数时，表示的各位数字横纵相间，高位到低位从左至右横列，与如今的数字书写习惯相同. 个位在最右，用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推，遇“0”则置空，根据算筹记数法即可求解.

解：根据算筹记数法， 表示的数是8 167. 故此题答案为8 167.

【评析】此题考查了学生对数字和符号的转换能力和记数法. 中国古代的算筹记数法是世界数学史上的一个伟大创造，这种算法当时在世界上是比较先进的，是我国古代的重要科学技术成就. 直到算盘发明及推广之前，算筹都是重要的计算工具. 中国古人伟大的科技成就源于古老的数学智慧，在精巧的算筹上依然熠熠生辉.

例3 （四川·达州卷）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记数，即“结绳记数”. 如图3，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数.由图3可知，孩子自出生后的天数是（    ）.

（A）10                       （B）89

（C）165                     （D）294

分析：此题通过创设“结绳记数”进位制问题情境，考查学生的类比迁移能力. 中国古代文献《周易·系辞》有“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”的记载.“结绳而治”即结绳记事或结绳记数，“书契”就是刻划符号.“结绳记数”法在世界很多地方都曾被使用过.

解：由“在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1”可知，从右至左，第一列绳子上的1个结代表1，第二列绳子上的1个结代表5，第三列绳子上的1个结代表25，第四列绳子上的1个结代表125，所以孩子自出生后的天数等于[4+3×5+1×25+2×125=294]（天）. 故此题选择选项D.

【评析】此题以中国古代的“结绳记数”为背景，考查进位制和算法. 在十进制记数法的基础上，利用类比思想，得“结绳记数”满5进1，从而推算天数.

例4 （江苏·盐城卷）把1 ～ 9这9个数填入[3 × 3]方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”. 它源于我国古代的“洛书”（图4），是世界上最早的“幻方”.图5是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中[x]的值为（    ）.

（A）[1]                      （B）[3]

（C）[4]                      （D）[6]

分析：此题给出图示及数量抽象表格，定义“九宫格”的数量特点：其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等. 通过观察图示，读懂“九宫格”含义，列方程即可求解.

解：由图5对角线上的数之和为15，可以求出“九宫格”右下角的数为6. 再列出方程[8+x+6=15.] 解得[x=1.] 故此题选择选项A.

【评析】“洛书”是世界上最早的“幻方”文化，此题以我国古代的“洛书”为背景，考查方程思想，渗透数学的对称美.

例5 （湖北·黄冈卷）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈 = 10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图6，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.则水池里水的深度是        .

分析：此题考查学生的阅读理解能力和观察能力，以及将池深问题抽象为直角三角形问题进行求解的抽象能力. 通过解决实际问题，让学生体会我国古代悠久的数学发展历史，欣赏其辉煌的成就，激发学生的民族自豪感.

解：设水池里水的深度为x尺.

由题意，得[x2+52=x+12.]

解得[x=12，] 即水池里水深12尺.

故此题答案为12尺.

【评析】此题考查了勾股定理及列一元二次方程解应用题.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，奠定了中国传统数学的基本框架. 此命题重视数学文化，弘扬了我国优秀的传统文化.

例6 （浙江·宁波卷）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸;屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余[4.5]尺;将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（    ）.

（A）[y=x+4.5，0.5y=x-1]          （B）[y=x+4.5，y=2x-1]

（C）[y=x-4.5，0.5y=x+1]          （D）[y=x-4.5，y=2x-1]

分析：此題以中国古代数学名著《孙子算经》中的问题为命题素材，考查了学生列方程组解决问题的能力.

解：由用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余[4.5]尺，得[y=x+4.5]. 由绳子对折再量木条，木条剩余1尺，得[0.5y=][x-1]. 所以所列方程组为[y=x+4.5，0.5y=x-1.] 故此题选择选项A.

【评析】此题以《孙子算经》中的“木条”问题为载体，考查学生列方程组解应用题的能力. 让学生体会我国古代数学问题的解决方法，传递我国深厚的文化底蕴.

例7 （内蒙古·呼和浩特卷）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（    ）.

（A）102里            （B）126里

（C）192里            （D）198里

分析：此题将古代算术题译为等差数列求和问题，考查学生的阅读理解及利用方程求解问题的能力.

解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此类推，可得第一天走的路程为32x里.

由题意，得[x+2x+4x+8x+16x+32x=378.]

解得[x=6.] 则[32x=192，6+192=198]（里）.

所以此人第一和第六这两天共走了198里.

故此题选择选项D.

【评析】此题以我国古代数学名著《算法统宗》中的数学问题为载体，考查学生列方程解应用题的能力，既彰显了数学的人文情怀，又激发了学生对中华优秀传统文化的热爱.

二、以中外数学家的优秀成果为背景

例8 （湖南·长沙卷）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”. 这个节日的昵称是“π（Day）”. 国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字. 在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的一个主要标志. 我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年. 以下对圆周率的四个表述：① 圆周率是一个有理数;② 圆周率是一个无理数;③ 圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比;④ 圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比. 其中表述正确的序号是（   ）.

（A）②③              （B）①③

（C）①④              （D）②④

分析：此題利用圆周率的意义和价值进行命题. 圆的周长与直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数. 解题的关键是明确π的意义，并知道圆周率是一个无限不循环小数（无理数），3.14只是取它的近似值.

解：圆周率是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，所以①错误， ②正确;圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比值，所以③正确，④错误. 故此题选择选项A.

【评析】此题考查圆周率及实数概念. 利用数学史[π]的故事，凸显数学的价值. 同时，回顾了我国古代数学家祖冲之研究圆周率领先世界一千多年的辉煌成就，激发了学生的民族自豪感和爱国热情，发挥了数学文化的育人价值.

例9 （山西卷）泰勒斯（图7（1））是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他最早提出了命题的证明. 泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度（图7（2）），这种测量原理，就是我们所学的（    ）.

（A）图形的平移                （B）图形的旋转

（C）图形的轴对称            （D）图形的相似

分析：此题通过提供历史背景与问题情境，考查学生对问题情境（实物图）进行抽象的能力.

解：由相似模型进行分析，得出泰勒斯的测量原理是利用图形的相似. 故此题选择选项D.

【评析】此题以古希腊哲学家泰勒斯利用图形的相似求出金字塔高度的故事考查相似图形变换. 将数学故事融入中考试题，让学生经历类似于数学家的研究过程，体会数学的魅力.

例10 （浙江·嘉兴卷）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干;若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数.设第一次分钱的人数为x人，则可列方程       .

分析：此题选取《算经》中与日常生活密切联系的背景问题，考查学生列分式方程解决问题的能力.

解：根据题意，得第一次每人分得的钱为[10x]元，第二次每人分得的钱为[40x+6]元. 根据第二次每人所得与第一次相同，则可列方程为[10x=40x+6.] 故此题的答案为[10x=40x+6.]

【评析】此题以数学家斐波那契编写的《算经》中的一个实际问题为背景，考查阅读理解及分式方程的应用，让学生体会古今数学与日常生活的联系.

三、以古代生产、生活内容为背景

例11 （江苏·连云港卷）筒车（如图8（1））是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”. 如图8（2），半径为[3 m]的筒车[⊙O]按逆时针方向每分钟转[56]圈，筒车与水面分别交于点[A，B，] 筒车的轴心[O]距离水面的高度[OC]长为[2.2 m]，筒车上均匀分布着若干个盛水筒. 若以某个盛水筒[P]刚浮出水面时开始计算时间.

（1）经过多长时间，盛水筒[P]首次到达最高点？

（2）浮出水面[3.4]秒后，盛水筒[P]距离水面多高？

（3）若接水槽MN所在直线是[⊙O]的切线，且与直线[AB]交于点M，[MO=8 m.] 求盛水筒[P]从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上.（参考数据：[cos43°=sin47°≈≈1115，sin16°=cos74°≈1140，sin22°=] [cos68°≈38.]）

分析：此题以我国古代筒车灌水为背景，考查学生读题、观图、抽象和求解模型的能力.

解：（1）如图9，连接OA.

[M][B][A][O][N][P][水面][图9] [C]

由题意，得筒车每秒旋转[360°×56÷60=5°.]

在[Rt△ACO]中，易求得[∠AOC≈43°.]

因为[180-435=27.4].

所以经过27.4秒，盛水筒[P]首次到达最高点.

（2）如图10，连接OA，OP，过点P作[PD⊥OC]于点D.

由题意，易得[∠AOP=3.4×5°=17°.]

所以[∠POC=∠AOC+∠AOP=60°.]

在[Rt△POD]中，易求得[OD=1.5.]

则[2.2-1.5=0.7].

所以盛水筒P浮出水面[3.4]秒后，距离水面0.7 m.

（3）如图11，当点P在直线MN上时，点P是[⊙O]与直线MN的切点，连接OP，延长CO交[⊙O]于点H.

因为点P在[⊙O]上，且MN与[⊙O]相切，

所以[OP⊥MN.]

在[Rt△OPM]中， 易求得[∠POM≈68°.]

在[Rt△OCM]中， 易求得[∠COM≈74°.]

所以[∠POH=180°-∠POM-∠COM=38°.]

则[385=7.6].

所以盛水筒[P]从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上.

【评析】此题以我国古代水力驱动的灌溉工具为背景，考查学生的数学模型抽象及求解能力. 通过传播中国悠久的文明和智慧，增强学生“数学来源于生活，又服务于生活”的意识，让学生感受我国古人的聪明智慧，传承民族精神，树立民族自信心.

四、以数学名题为背景

例12 （河南卷）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的. 人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器.图12是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等;DB与AC垂直于点B，DB足够长.

使用方法如图13所示，若要把[∠MEN]三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过[∠MEN]的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明. 如下给出了不完整的“已知”和“求证”，试补充完整，并写出“证明”过程.

已知：如图13，点A，B，O，C在同一直线上，[EB⊥AC，] 垂足为点B，      .

求证：      .

分析：此题以数学名题为背景来设计，是中考数学文化试题命题的一大特色. 数学名题一般与著名的数学家联系紧密，或者与著名的数学定理、公式、图形等相关，或者蕴涵经典的思想与解法. 通过观察图13理解操作过程，抽象出数学模型（全等直角三角形）即可求解.

解：已知：如图13，点A，B，O，C在同一直线上，[EB⊥AC，] 垂足为点B，[AB=OB，] EN切半圆O于点F.

求证： ∠1 = ∠2 = ∠3.

证明过程如下.

如图14，连接OF.

由已知条件，可得[∠ABE=∠OBE=90°.]

易证得[△ABE≌△OBE.]

所以[∠1=∠2.]

由切线的性质，得[∠2=∠3.]

所以[∠1=∠2=∠3.]

【评析】此题利用古希腊人提出的三等分角，即用圆规与直尺把一个任意角三等分的问题为素材，考查学生构建几何模型解决问题的能力. 此题是在利用尺规作图不能解决三等分任意角的背景下，构建几何模型解决问题，让学生认识到数学模型的作用，通过推理及证明过程，提高学生的逻辑推理能力，培养创新精神.

例13 （湖北·武汉卷）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图15，[AC]是[▱ABCD]的对角线，点[E]在[AC]上，[AD=AE=BE，∠D=][102°，] 则[∠BAC]的大小是      .

分析：此题通过“三角”模型（[∠BCD=3∠BAC]），让学生联想数学名题“尺规三等分角”问题，使数学名题成为解题的思考起点，从而巧妙地将数学文化渗透于解题过程中.

解：设[∠BAC=x.]

易证得[∠ACD=x.]

由[AD=AE=BE，] 易证得[∠BCA=2x.]

因为四边形[ABCD]为平行四边形，

所以[∠D+∠DCB=]180°，

即[102°+3x=180°.]

解得[x=26°.]

故此题答案为26°.

【评析】此题源于在探索“尺规三等分角”的过程中所产生的新问题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质，以及学生的逻辑推理能力、运算能力和转化思想.

五、以当代科技文化为背景

例14 （四川·成都卷）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成. 该卫星距离地面约36 000千米，将数据36 000用科學记数法表示为（    ）.

（A）[3.6×103]                  （B）[3.6×104]

（C）[3.6×105]                  （D）[36×104]

分析：此题以我国科技成就为背景来创设问题情境，体现出数学学科的育人价值. 根据科学记数法的概念即可求解.

解：依据科学记数法，得[36 000=3.6×104.] 故此题选择选项B.

【评析】此题考查用科学记数法表示较大的数. 以我国在卫星导航科技方面取得的成就凸显科技实力的提高，激发学生的爱国热情和民族自豪感.

例15 （福建卷）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10 907米. 假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为[+100]米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10 907米处，该处的高度可记为      .

分析：此题以我国科技成就为背景，创设数学应用问题，在体现数学应用价值的同时，展示科技文化自信，有助于引导学生关注生活中的科技文化，提高学生对数学作为基础学科重要性的认识.

解：因为高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为[+100]米，所以“海斗一号”下潜至最大深度10 907米处，可记为[-10 907]米. 故此题答案为[-10 907]米.

【评析】此题考查正数、负数的意义及其应用. 基于我国科技成就，结合数学知识的应用，让学生体会科技发展与数学的联系，感受数学应用的广泛性.

六、以数学图形美为背景

例16 （湖南·衡阳卷）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）.

分析：此题以用数学家名字命名的几何图形为载体，从轴对称和中心对称的角度分类，四个不同图形各代表了一类，考查学生对轴对称图形和中心对称图形的理解. 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后，对称轴两侧的部分能够相互重合;中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180°后的图形能够与原来的图形重合.

解：赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形;科克曲线既是轴对称图形，也是中心对称图形;笛卡儿心形线是轴对称图形，不是中心对称图形;斐波那契螺旋线既不是轴对称图形，也不是中心对称图形. 故此题选择选项B.

【评析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的性质，将数学文化融于几何图形中，引导教学关注几何图形中所蕴涵的文化现象和思想.

例17 （甘肃·武威卷）生活中到处可见黄金分割的美，如图16，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图16中[b]为2米，则[a]约为（    ）.

（A）1.24米            （B）1.38米

（C）1.42米            （D）1.62米

分析：此题以实际生活为素材，将数学知识融入学生熟知的问题中，激发学生学习数学的兴趣，体现数学的应用价值与美育价值.

解：由题意，得[a∶b≈0.618.] 代入[b=2]，解得[a≈][1.24.] 故此题选择选项A.

【评析】此题以设计人体雕像为背景，探讨人体黄金分割之美和黄金分割比的定义，不仅体现了数学的审美价值，还表达了数学上对称、协调、和谐的美育思想.

例18 （四川·成都卷）如图17，六边形[ABCDEF]是正六边形，曲线[FA1B1C1D1E1F1]…叫做“正六边形的渐开线”，[FA1， A1B1， B1C1， C1D1， D1E1，][ E1F1，]…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角. 当[AB=1]时，曲线

分析：正多边形的渐开线是平滑流畅的，展示了连贯纤细的曲线美. 此题将数学的神奇美蕴含在试题中，让学生品味数学变化的魅力，欣赏数学图形美，激发学生对后续数学学习的兴趣和热情. 解题的关键是熟练运用弧长公式进行计算.

解：根据题意，可得[FA1=60×π×1180=π3，] [A1B1=][60×π×2180=2π3，] [B1C1 ][=60×π×3180=π]，[C1D1= ][60×π×4180=][4π3]，[ D1E1]=[60×π×5180=5π3]，[ E1F1=][60×π×6180=2π.]

则[π3+2π3+π+4π3+5π3+2π=7π.]

所以曲线[FA1B1C1D1E1F1]的长度是[7π.]

故此题答案为[7π.]

【评析】此题以正六边形的渐开线为载体，考查弧长的计算. 学生在欣赏优美的曲线的同时，要根据曲线组成部分、各部分位置关系、各部分数量关系来综合计算每一段曲线的长度，体现了数学文化具有比数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵.

七、结束语

在中考数学命题中精心创设数学文化试题，既能弘扬中华优秀传统文化，增强学生的民族自豪感和自信心，又能积极引导广大师生在教学中重视数学文化，认识数学文化的博大精深，感受数学文化的熏陶，提高数学欣赏水平.数学文化试题的命制要坚持立德树人的根本任务，突出时代性、文化性和创新性;选择合理、真实、自然的素材，用新颖的呈现方式，从而有效考查學生的数学文化素养水平. 数学文化广泛渗入命题、到达课堂、融入教学，则更有利于激发学生数学学习的热情，使学生热爱数学，进而达到数学文化育人的目的.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]李文林. 数学史教程[M]. 北京：高等教育出版社，2000.

[3]梁宗巨. 数学历史典故[M]. 沈阳：辽宁教育出版社，1995.