三种教材“锐角三角函数”概念获得的对比研究

奚雯燕

[摘  要] 文章分别对苏教版、人教版、浙教版锐角三角函数概念的获得做了对比，在比较的基础上提出相应的教学建议.

[关键词] 教材对比;锐角三角函数;概念;整合

锐角三角函数是初中数学内容的重要章节.一方面是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理、相似三角形等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展研究;另一方面，又为解直角三角形等奠定了基础.本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用.

三种教材对“锐角三角函数”

概念获得的对比研究

1. 苏教版教材的编排

某体育馆为了方便观众，设计了不同坡度的台阶.

【观察与思考】

（1）哪个台阶更陡？

（2）下面哪个台阶最陡？你是如何判断的？

（3）比较两个台阶，你有什么发现？

一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，Rt△AB3C3…

分析：教材提供了三个问题，引导学生从实际问题的几何直观逐步过渡到对抽象图形的数学思考：第一个问题主要基于几何直观判断台阶哪个更陡;第二个问题则是提供了三个不同直角边长的三角形（抽象的台阶），感受直角三角形的直角边的长度会影响台阶“陡的程度”，将直观感受过渡到量的刻画，寻找数学语言描述陡与缓.一种是通过斜面与水平面的夹角大小描述，夹角大则陡;另一种是通过边的比较描述，例如①与②水平长度相同，高越大，台阶越陡，②与③高度相同，水平长度越短，台阶越陡，于是三个台阶中②最陡，但是剩下两个台阶谁更陡，暂时还解决不了.也就是当水平长度之间、高度之间都不相同时，怎么比较台阶陡与缓，需要进一步探究.第三个问题是基于（2）中未解决的问题作的铺垫，发现两个三角形相似，对应角相等，台阶的倾斜程度一样.但是教材到这里，就把正切的概念引出来，笔者认为有点突然.对于教材（3）中的问题，发现当角确定时，边的比值也随之确定，把这个确定的比值叫角的正切，似乎前面解决台阶的倾斜程度完全没有必要.既然问题已经提出，解决（3）之后，可以继续探究（2）中①与③的倾斜程度.既然相似不改变倾斜程度，那么相似就成为①与③倾斜程度比较的桥梁.通过相似，将①与③其中一个图形进行放缩，使得放缩以后的图形与另一个图形水平长度或者高相同，这样就能比较出放缩以后的图形与另一个图形的倾斜程度，从而能比较①与③倾斜程度.这个过程是本节课最精彩的地方，让学生进一步感受除了斜面与水平面的夹角大小可以刻画倾斜程度，高度与水平长度的比也可以刻画倾斜程度.前者的经验，孩子在生活中已经具备，后者经验的获得是本节课的重点也是难点.在这个过程中发现夹角确定，高度与水平长度的比也随之确定，为了表示两者之间的这种关系，引入符号tan，给出名称，这种关系就是函数关系，但三角函数这个词要到正弦、余弦讲完之后才真正给出.在两课时学习过程中，先认识三角函数中的部分（正切、正弦、余弦），再认识整体（三角函数），是不利于学生理解函数这个模型的.

2. 人教版教材的编排

问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管.在山坡上修建一座扬水站. 对坡面的绿地进行喷灌，观测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？

思考1：在上面的问题中，如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？

这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.

分析：教材问题从现实生活中引入，体现了数学服务于生活. 思考1是利用“直角三角形30度角所对直角边是斜边的一半”解决问题，本質上是让学生感悟无论直角三角形大小如何，当一个角为30°时，这个角的对边与斜边的比始终等于，是一个定值.思考2借助勾股定理可以发现，无论直角三角形大小如何，当一个角为45°时，这个角的对边与斜边的比始终等于，是一个定值. 探究的目的是为了将从特殊情况下得到的结论推广到一般并进行证明. 与苏教版不同的是，人教版三角函数中第一个学习的是正弦，而苏教版第一个学习的是正切，先学哪一个并不重要. 人教版研究的问题指向性更强，始终围绕锐角、对边、斜边这三个量展开，从特殊角的对边与斜边比值固定推广到一般情况，先易后难，符合学生的认知规律. 但结论推广的过程有些快，在解决完思考之后，教材就把探究问题给了出来，缺少类比联想的过程. 每一个问题的产生都是基于观察、发现. 学生产生问题的能力普遍低于解决问题的能力，能力的培养应该贯穿在整个教学过程中. 笔者认为在思考2之后，也可以让学生说一说前面我们在研究什么问题，后面可能会研究什么问题，可以采用怎样的研究方法.让学生学会研究数学的方法远比解决单个问题更有价值.对于锐角A仍然可以赋值，比如50°等，让学生画图、量长度、计算、猜想，并用几何画板进行动态演示. 让学生经历从特殊到一般，猜想、归纳、证明的完整过程.

3. 浙教版教材的编排

两个物体在倾斜角不同的斜面上向上运动相同的距离，它们上升的高度相同吗？

在倾斜角（∠α，∠β）不同的两个斜面上，物体前进的距离都是1，而它在水平和铅垂两个方向上运动的距离却各不相同. 物体在斜面上运动时，在斜面上所经过的距离和水平方向、铅垂方向经过的距离，与斜面的倾斜角之间有什么关系呢？

合作学习：

通过上面两个实践操作你发现了什么？

分析：教材从学生已有的知识基础和生活经验出发，明确本节课将围绕角的大小与边比值的关系展开研究. 合作学习过程从特殊到一般，符合学生的认知规律.通过回忆熟悉的定理，让学生明白直角三角形中锐角与边比值存在关系，并大胆猜测直角三角形中任意角α的对边与斜边比值是否固定. 在探索比值的相关量的过程中，发现比值随角度变化而变化，从而使学生初步形成锐角三角函数的概念，巧妙地把三角函数放在函数的概念体系中进行教学，让学生体会了锐角三角函数产生的必要性. 对照函数概念进一步确认角度是自变量，比值是因变量，突破难点;在动手操作的过程中，让学生参与知识形成的全过程. 浙教版教材最大的亮点是第一课就把锐角三角函数的概念给出，这与苏教版和人教版不同.在过程性方面，浙教版在第一课时主要围绕锐角三角函数存在的必要性展开，为什么我们要学习锐角三角函数，是基于怎么样的情境去进行这样的探究，更体现了学习数学的价值，展示了研究数学问题的一般方法，具有示范性. 但不足之处在于，既然研究比值，那么三条边可以产生六个比值，为什么只研究了一部分，从锐角三角函数的概念来讲并不完整.

三种教材对“锐角三角函数”概

念获得的教学设计整合

锐角三角函数编排在“函数”和“相似三角形”之后，在概念的获得过程中用相似的知识进行证明.作为本章的起始课，笔者认为定位应该更高些，将研究锐角与边的关系的必要性交代清楚.在探究关系的过程中，不断并反复让学生感悟到直角三角形中锐角确定，边的比值随之确定这个事实，唤起记忆，让学生关系借助已有学习经验，生成新知.每一版教材编写都有自己的设计意图.作为教师，我们不是教教材，而是用好教材，重组教学活动，优化教学路径，引导学生找到知识的生长点和延伸点.结合各版本，笔者对锐角三角函数概念的引入进行了如下教学设计，仅供参考.

环节1：引入课题

问题1：直角三角形的两个锐角之间有什么关系？

问题2：直角三角形的三边之间存在怎样的关系？

问题3：在直角三角形中，我们已经知道了边的关系、角的关系，接下来我们要研究什么关系？

设计意图：启发学生认识到直角三角形的边的关系和角的关系是分离的，各自有自己的关系，还没有研究直角三角形中边与角的关系.因此，研究直角三角形中边与角的关系是摆在师生面前的共同问题，是必须要解决的问题，即“直角三角形的边角关系是什么”是这节课要研究的问题.

环节2：引出比值

问题4：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC等于多少？

问题5：你能快速解决这个问题的依据是什么？

设计意图：从角与边，过渡到边的比值.

问题7：直角三角形3条边，两两组合有多少种？

设计意图：从一个比值过渡到初中阶段的三个比值.

活动1：填表（Rt△ABC，∠C=90°）

设计意图：对于含有30°、45°的直角三角形，让学生初步体会“角度固定，比值也固定”，为后面猜想作铺垫.

环节3：探索角与边之比的对应关系

问题9：当∠A为30°、45°时，表格里的比值是固定值，那么当∠A取其他锐角时，比值是否也固定呢？

设计意图：从特殊角过渡到一般角（具体度数），进一步强化“角度固定，比值也固定”的结论.

师生活动：在操作过程中，每个人取的B点并不一样，但是分别比较接近，但又不完全一样，因为得到数据的方式是测量，测量会产生误差. 几何画板演示分两个阶段，第一步在∠A一边上移动点B，即改变直角三角形的大小，让学生进一步体验到“角度固定，比值也固定”;第二步改变射线AB的位置，让学生体會到“角度改变，比值也改变”，每一个固定的∠A，都有唯一确定的比值与之对应，可使其对后面的函数有更直观的理解.

设计意图：通过几何画板演示，初步确认猜想的正确性，体会角度与比值之间的对应关系.

活动2：填表（Rt△ABC，∠C=90°）

问题10：将直角三角形更一般化，如果∠A的大小为α（固定），表格中的比值仍然是固定值吗？为什么？

操作2：作一个任意∠A，在∠A的一边上任意取一点B，作BC垂直于∠A的另一边，垂足为C，在射线AB上取异于B的一点B1，作B1C1垂直于∠A的另一边，垂足为C1，需要证明什么结果？如何证明？

设计意图：这个操作设计可以由学生完成，如果学生想不到，教师可以借助在几何画板中的拖动效果加以引导，让学生完成作图. 同时加深学生对“角度固定，比值也固定”的理解;猜想的证明过程又可以培养学生的推理论证意识.

设计意图：得出结论“角度固定，比值也固定” .

设计意图：得出结论“角度变，比值也变” .

环节4：引出锐角三角函数概念

活动3：填表（Rt△ABC，∠C=90°）

设计意图：引出正弦、余弦、正切和锐角三角函数概念，并引入符号表示.

整合教材的启示

每一版教材各有千秋，每一位研究者站在不同的角度，看待问题也会有不同的结果.整合教材不是对原本教材的否定，而是在已有教材的基础上再创造. 教材整合是一个动态的过程，是教师立足于真实课堂教学情境，基于自身教学经验，以教材为依托的自我建构过程.进行教材整合的前提是要跳出教材，站在教材之上.作为一名教师，要想跳出教材，就要认真钻研教材. 教师要认真研究教材编写的意图、每个环节的目的，挖掘开发课程资源，对教材精心“加工”. “加工”的度要符合学生的实际，适合学生的发展. 能让学生最大化地实现学习目标的“加工”，就是有效“加工”.