两视图的平面体构型思路和方法*

赵 丹

(兰州石化职业技术学院 机械工程学院，甘肃 兰州 730060)

0 引 言

组合体的构型设计[1]是指根据已知条件，以基本体为主，利用各种创造性思维设计组合体的形状、大小并表达成图样的过程。组合体的构型设计的学习和训练可以开发空间思维，培养和提高想象力和创造力，初步建立工程设计的能力。因此，全国大学生先进成图技术与产品信息建模创新大赛是图学届最高级别的国家级赛事，十分注重创新思维能力的培养，组合体构型设计[2]是大赛尺规绘图重点考核对象，通常以二补三的形式达到考察同学们培养学生空间想象力目的。由于给定的两视图不是唯一确定,并且由二视图想象出物体的空间形状是不容易的，面对此类题目，学生往往束手无策, 存在胡思乱想的现象，效率不高[3]。其原因在于对于考察空间想象力有误解，认为构形设计的过程是形象思维的过程[4]，只要发挥想象就可以了，所以才会盲目乱想，殊不知空间想象是建立在逻辑思维[5]的基础上。笔者将详细介绍以基本体为主，利用各种叠加、切割以及数学中组合思维方式来构思组合体，下面以具体案例来详细说明构型方法和思路。

1 管线投影构型设计

如图1，根据管线投影图，在下面框格里按指定投影方向画出管线轴测图。由于最终设计的管线的必须是一根线(如图2所示)，所以直接想象管线走向并不是那么容易。这里基于六棱柱线体为基本体，根据三视图特征，由基本体通过补线、去线、综合三个步骤即可完成管线模型构型设计。具体步骤如下：①确定基本体：根据图1所示管线投影图，可知该管线基本体为正六棱柱，如图3(a)所示；②投影补线：根据管线投影图，在已经确定的基本体中画出可能出现的管线。图1所示管线投影的三视图中，每个视图在矩形框内都多了一条线，因此基本体中需要补出和主视图对应3条线，和俯视图对应的3条线，和左视图对应的3条线，补线结果如图3(b)所示；③投影去线：根据管线投影图，去除掉补线后轴测图中在管线投影图中不存在的管线投影，去除结果如图3(c)所示；④综合得管线投影图。根据投影去线的轴测图，从必不可少的一条管线出发，如果同意方向上由相同的管线投影重合，可以去除某一根管线，整理出如图3(d)，可得2种管线轴测图。

图1 管线投影图 图2 铁丝体

图3 铁丝模型体构型过程

2 平面体的构型设计

2.1 两面投影为矩形时

如图4，根据相同的两个视图，构思不同平面立体，并画出左视图和轴测图[6]。

图4 两面投影为矩形构型题目

如图5所示，当出现两面投影为单框矩形时(图4(1))，平面体基本的形状有两种，四棱柱和三棱柱，矩形框所示的3种形体均为三棱柱的不同放置位置。下面在此基础上讨论两面多框投影为矩形的物体构型。

图5 两面投影为矩形

由上述可知，图4(2)中组合体由大小两个两面投影均为矩形的平面体基本组合而成。构型时需注意：为保证基本体之间的稳定连接，两形体组合时不允许出现点连接、线连接或面接触。图4(2)中组合体其构型思路为：首先确定大矩形框的基本形体为图5(2)所示的三棱柱，记为形体A，小矩形框的基本平面体B可以分解为形体B1-B5，如图6所示；然后将A形体与形体B1～B5组合，如图7所示，组合方式有A∪B1、A-B1、(A-B1)∪B2、(A-B1)∪B3、(A-B1)∪B4、(A-B1)∪B56种；最后，考虑无效构型，其中A∪B3组合出现了线连接，A∪B5组合后出现共面，与投影不符合，为无效组合，而(A-B1)∪B2与(A-B1)∪B4的构型结果为同一形体，按照组合体主视图选择原则，去掉图7(4)所示的(A-B1)∪B4，最后确定该构型结果有3种平面体。

图6 B形体

图7 两面投影为矩形的构型结果

同理，很容易得到图4(3)所示的组合体的3种构型结果，如图8所示。

图8 两面投影为矩形的构型结果

图4(3)所示组合体是将图4(1)两面矩形框投影作了进一步延伸，这里需要利用组合产生更多构型结果，如图9所示。需要注意的是，构型结果(3)和(4)为同一形体，需按照组合体主视图选择原则，去掉图9(4)所示的组合体，最后确定该构型结果有9种平面体。

图9 两面投影为矩形的构型组合结果

2.2 两面投影为三角形时

如图10，当出现两面投影为三角形时[6]，平面体的形状有两种，四棱锥和三棱锥，依据不同放置位置共5种情况，下面在此基础上讨论多框投影为三角形的物体构型。如图11所示，根据相同的两个视图，构思不同平面立体，并画出左视图和轴测图。

图10 两面单框投影为三角形

图11 两面多框投影为三角形

图11(1)所示组合体由大小两个两面投影分别为矩形和三角形的物体组合而成。首先确定大的形体为三棱柱记为形体A，小的三角形投影可以分解为图10所示的5种位置的形体B1-B5。然后将A形体与形体B1-B5组合，如图12所示，组合方式有A∪B1、A-B1、(A-B1)∪B2、(A-B1)∪B3、(A-B1)∪B4、(A-B1)∪B5共6种，其中(A-B1)∪B3组合出现了线连接，(A-B1)∪B5组合后出现共面，与投影不符合，为无效组合，最后确定该构型有4种平面体。

图12 两面投影为三角形的构型结果

同样的办法，会得到图11(2)组合体的3构型结果，如图13所示。

如图11(3)所示，若矩形框内有对应多个三角的投影，就需要分别找出每个三角形引起物体的构型并组合得组合体整体构型结果。如果仅有左下角三角形，物体的构型有4种，同理如果仅有右上角三角形，物体构型同样有4种，如图13所示。

图13 两面投影为三角形的构型结果

将图13所示的两种结果组合构型，便得图14的所示的16种构型结果，但是16种结果中存在物体空间位置不同带来的同一形体的重复性结果，经辨别后发现(2)和(5)、(3)和(13)、(4)和(9)、(7)和(14)、(8)和(10)、(11)和(16)相同，按照组合体投影主视图选择原则，去除形体相同的重复构型(5)、(13)、(9)、(7)、(8)、(11)，最终构型结果如图15所示10种构型结果。

图14 两面投影为三角形的构型结果

图15 两面投影为不对称的三角形的组合构型组合

图11(4)所示组合体的投影左右两边三角形的完全对称，同样也必须考虑因物体空间位置不同带来的同一形体的重复性结果，需要辨别后加以去除。如图16所示的16个形体中，有些属于同一形体的不同摆放位置，是重复构型。对于重复结构若盲目去判断，比较耗时耗力。首先看每个形体在正方体的基础上切除四棱锥和三棱锥以后，剩余表面中有几个正方形和几个三角形面，在图形下方标出，然后按剩余面相同将形体分为(1)、(2)(3)(5)(9)、(4)(13)、(6)(7)(10)(11)、(8)(12)(14)(15)、(16)6组，分组对比很容易发现(2)和(9)、(3)和(5)、(4)和(13)、(6)和(11)、(7)和(10)、(8)和(15)、(12)和(14)属于同一结构的物体，最后按照组合体投影主视图选择原则，去除形体相同的重复构型(2)、(3)、(4)、(6)、(7)、(8)、(12)，最终物体构型结果如图17所示。

图16 两面投影为不对称的三角形的构型结果

图17 两面投影为对称的三角形的组合构型位置不同

观察图17不难发现，矩形框选部分的两对形体三视图均相同，而物体结构不同，在此证明了三视图也具有不确定性，也就是说三视图也不能唯一确定物体的结构形状。

图11(5)所示组合体的投影左右两边三角形为非对称、有重叠时，需根据投影可见判断三角形之间的对应关系。由于主、俯视图种四个三角形均可见，可判断出，俯视图中前面的三角形与主视图中下面的三角形对应，俯视图中后面的三角形与主视图中上面的三角形对应。建立对应关系后，可按前述构型思路得图18所示该组合体的构型结果，其中，矩形框选部分再次证明了三视图也不能唯一确定物体的结构形状。

图18 两面投影为对称的三角形的构型结果

图19 两面投影非对称的三角形的构型结果

3 结 语

不定形两视图的构型问题，只有在逻辑思维基础上，即以基本体为主，认清体投影的本质，借助各种组合思维方式来构思组合体，才能快速打开构型思路，提高构型效率。构型结果也进一步证实了三视图也不能确定物体的形状。通过构型训练不仅可以掌握更多构型规律和技巧，而且对“体”的概念产生新的了解，对拓展智力构形设计实践提供清晰的分析思路，对创新意识和构型创新设计能力的培养具有指导意义。