受干扰的多智能体系统的固定时间双边一致性

谢文丹,刘宏亮,欧阳自根

(南华大学 数理学院,湖南 衡阳 421001)

0 引 言

前期一些文章所涉及到的多智能体一致性算法大多是渐近收敛，即控制算法只能保证被控制的多个智能体在时间趋于无穷大时才能实现状态共同一致，这显然不利于刻画实现生活中的一致性现象，于是有限时间一致性问题逐渐成为新的热点问题。如在参考文献[1]中，作者发展了有限时间稳定性理论，并应用于研究自治的多智能体系统的有限时间一致性问题。在参考文献[2]中，基于符号函数，作者提出了一阶多智能体系统的不连续控制协议。在参考文献[3]中，有限时间控制被推广到单积分动力学的多智能体系统。关于有限时间一致性结果可参阅文献[4-7]及它们的参考文献。然而有限时间收敛的上界会受到系统初始值的影响，另外，能否提前获得初始值也是一大挑战，这更不利于实现工程的应用。为克服这一问题，不依赖于初始值的固定时间收敛定理应运而生(收敛时间不再依赖于初始条件)，在参考文献[8]中，作者给出控制协议的表达式

并在此基础上选取合适的Lyapunov函数V(x)，但在后续的计算过程中，作者对V(x)的导数进行放缩时，直接舍弃了干扰项，所以最终结果看不到系统所受的干扰对它的影响。然而在实际应用中，多智能体的控制输入不可避免地会受到外部环境的干扰，干扰的存在会影响到系统的运动状态，所以研究干扰对系统产生的影响是非常必要的。

本文提出新的非连续控制协议ui(t)，与参考文献[8]相比，保留了干扰项，讨论了τ>bw的情形，最终得到的固定时间，也具有实际意义，即当干扰程度增大时，系统实现稳定所需要的时间变长。

1 预备知识

1.1 标记

在本文中，Rn表示n维欧式空间，集合In={1,2,…,n}，1=[1,1,…,1]T为单位向量，记D={D=diag{d1,d2,…,dn},di={±1}}为对角元素是d1,d2,…,dn的矩阵。sign(·)表示符号函数，其表达式为

1.2 图论

用G来表示通信拓扑图,即G=(V,E,A),其中V={ν1,ν2,…νn}为所有节点的集合,E⊆V×V为图中所有边的集合,邻接矩阵A=[aij]∈Rn×n。因此,(νi,νj)∈E,意味着aij≠0。若对于所有的i,j都存在aij=aji,则称图G为无向图。本文只考虑无向图,即：如果节点νi和节点νj之间存在着信息交流,那么从节点νi到节点νj就有一条无向边。本文默认系统中不存在自环,即aii=0。

用集合Ni={j:(j,i)∈E}来表示节点的所有邻接点的结合,则节点νi的入度为集合Ni中所有节点νj的个数,节点νi的出度为节点νj的指向其它节点的边的个数。如果对于任何一个节点νi,其入度和出度相等成立,则称图G为平衡图。

在本文,当V1∪V2=V，V1∩V2=Ø，满足对于任意的νi,νj∈Vk(k∈{1,2})时，有aij≥0，对于任意的νi∈Vk,νj∈Vl,k≠l,(k,l∈{1,2})时，有aij≤0。除此之外，对于平衡图G,存在对角矩阵D，使得DLD的所有对角元素非负。

1.3 一些引理

引理1[9]：图G的Laplacian矩阵为L=[lij]∈Rn×n，元素定义为

引理2[10]：(i)若ai>0,i=1,2,…,N,且p>r>0,

则

(ii)若a1,a2,…,aN≥0，且0

(iii)若a1,a2,…,aN≥0,且p>1,则

引理3[10]：考虑一个标量系统

其中m,n,p,q均为正奇数，且满足m>n,q>p,以及α，β，γ>0。那么上述等式全局有限时间稳定，且固定时间的上界为

2 主要结果

考虑由n个多智能体组成的系统,且第i个智能体的动力学由下列方程表示

其中xi(t)∈Rn表示第i个智能体在时刻t的状态,ui(t)为第i个智能体的控制输入,wi(t)为外部干扰,且满足|wi(t)|≤bw,其中0

xi(t)≡kijxj(t),t≥T,∀i∈In。

(2)

这里,当i,j∈Vr,r={1,2}时,kij=1,否则kij=-1。其中,V1和V2满足等式V1∪V2=V,V1∩V2=Ø。

由于系统(1)不存在领导者，所有的智能体的状态的改变仅仅依赖于邻居智能体的作用。在此情形下，受文献[11]的启发，针对控制目标(2),本文提出下面一致性协议：

其中μ>0,η>0,θ>1，且θ为正的奇整数。

定理1 对于给定系统(1)，假设G为结构平衡图。那么当τ>bw协议(3)可实现目标(2)，且T满足

证明：设Lyapunov函数

由Α的对称性，有

所以，V(x)的导数为

将协议(3)代入式(5)得

注意到|wi(t)|≤bw，对任意的i和t有

故

也即

(6)

另外，通过计算，可以得到

于是

此外

所以

(-Lx)T(Lx)=xTLTLx。

(8)

将式(8)代入式(7)可得

由引理1知xTLTLx≥λ2(L)V(x)，故有

由引理3可得

t≥T1时,V(x)=0。

其中

因此，固定时间双边一致(4)得以实现。证毕。

3 仿 真

为了验证文中提出的控制协议的有效性，考虑一个包含6个智能体的系统，分别标记为a1,a2,…,a6，其交互拓扑结构如图1所示。邻接矩阵和Laplacian矩阵分别为：

图1 多智能体的交互拓扑图Fig.1 Interactive topology of multi-agent

这样可得λ2(L)=1.769 9。首先，设计参数μ1=2,η1=2,τ1=2,bw=1,θ=3，满足条件μ>0,η>0,τ>bw,和θ>1,θ为正的奇整数，取步长△=0.000 1，干扰项wi(t)=1,由定理1,系统(1)在协议(3)下可以实现固定时间双边一致，而且由公式(4)可以估计固定时间T=1.003 2，通过Matlab仿真得到图2和图3。其中多智能体的两种初始状态分别如下：

图2 初始条件(1)下平衡图Fig.2 Equilibrium graph under initial condition 1

图3 初始条件(2)下平衡图Fig.3 Equilibrium graph under initial condition 2

(1)x1(0)=[4.2,2.4,0.6,-1.2,-3,-4.8]T。

(2)x2(0)=[4,2,0,-2,-4,-6]T。

由图2和图3可见，系统在不同的初始条件下均可以在固定时间内达到双边一致平衡，且初始条件对收敛时间的上界没有影响。

其次，选取参数μ2=5.1,η2=6.2,τ2=5,bw=1,θ=3，满足条件μ>0,η>0,τ>bw,θ>1,θ为正的奇整数，取步长△=0.000 1，干扰项wi(t)=1,由定理1,系统(1)在协议(3)下同样可以实现固定时间双边一致，而且由公式(4)估计固定时间T=0.351 6，对比图3和图4(或图2和图4)，很容易发现固定时间与参数的选取有关，而且当参数μ，η，τ-bw的取值越大，系统实现固定时间双边一致所需要的时间越小。

图4 参数改变下的平衡图Fig.4 Equilibrium graph with parameterchange

最后，考虑两种不同类型干扰对智能体系统的影响，设计两种不同类型的干扰，分别为1)wi(t)=2.6,i={1,2,…,6}；2)wi(t)=1.9arctan(it),i={1,2,…,6}，得到图5和图6。由图5和图6可知，6个智能体在受干扰的情形下，可以实现固定时间双边一致，并且通过设计不同类型的干扰，会对智能体系统产生不同程度的影响。结果表明，干扰项的上界越大，系统实现固定时间双边一致所需要的时间越长。

图5 干扰类型(1)下的平衡图Fig.5 Equilibrium graph under interference type 1

图6 干扰类型(2)下的平衡图Fig.6 Equilibrium graph under interference type 2

4 结 论

通过引用代数图论,Lyapunov函数,以及固定时间稳定性理论,在提出控制协议的基础上,来处理多智能体系统在受干扰情形下的固定时间双边一致性问题，在结构平衡图下,智能体可以实现固定时间双边一致，系统的收敛时间上界不受系统的初始值条件的影响，只与控制协议的系数和拓扑图的结构有关。另外，当外部干扰程度不太大时(|wi(t)|≤bw),系统依然可以在某个固定时间内达到固定时间双边一致。